华九上第26章随机事件的概率 电子教材word版.docx
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华九上第26章随机事件的概率电子教材word版
第26章2
§26.1概率的预测3
1．什么是概率3
2．在复杂情况下列举所有机会均等的结果6
阅读材料9
§26.2模拟实验10
1.用替代物做模拟实验10
2．用计算器做模拟实验11
小结14
复习题15
课题学习16
附表随机数表16
第26章随机事件的概率
班级联欢会上举行抽奖活动：
每个同学的名字都写在小纸条上投入抽奖箱，其中男生22名，女生20名．老师闭上眼睛从搅匀的小纸条中抽出一张，恰好抽中男同学的概率大，还是抽中女同学的概率大？
§26.1概率的预测
1．什么是概率
我们已经知道，抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能的结果：
“出现正面”和“出现反面”．这两个结果发生的可能性相等，所以各占50%的机会．50%这个数表示事件“出现正面”发生的可能性的大小．
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率（probability）．例如，抛掷一枚硬币，“出现反面”的概率为
，可记为P（出现反面）＝
．
再例如，投掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字1”的概率为
，可记为P（出现数字1）＝
．
这两个问题比较简单，都可以经过分析得出概率，但有很多问题，人们也经常采取重复实验、观察频率值的办法，这种办法我们已经比较熟悉了．让我们一起回顾已经做过的几个实验及其结果，并完成表26．1．1．
表26．1．1做过的几个实验及其实验结果
实验
关注的结果
频率稳定值
所有机会均等的结果
关注结果发生的概率
抛掷一枚硬币
正面
0．5左右
正面；反面
抛掷两枚硬币
两个正面
0．25左右
两个正面；两个反面；先正后反；先反后正
投掷一枚四面体骰子
掷得“4”
0．25左右
数字：
“1”；“2”；“3”；“4”
投掷一枚六面体骰子
掷得“6”
0．167左右
从一副没有大小王的扑克牌中随机地抽一张
黑桃
0．25左右
我们发现，原来这几个动手实验观察到的频率值也可以开动脑筋分析出来，当然，最关键的有两点：
（1） 要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；
（2） 要清楚所有机会均等的结果．
（1）、
（2）两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率，如
P（掷得“6”）＝
，读作：
掷得“6”的概率等于
．
问题1
掷得“6”的概率等于
表示什么意思？
有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”，你同意吗？
请你再做投掷骰子实验，一旦掷到“6”，就算完成了1次实验，然后数一数你投掷了几次才得到“6”的．看看能否发现什么．
小明的实验结果如表26．1．2所示，在他10次实验中，有时很迟才掷得“6”，有时很早就掷得“6”，平均一下的话，平均每5．4次掷得一个“6”．你是平均几次掷得“6”的？
表26．1．2平均投掷骰子几次得到1次“6”
实验
每次掷得的点数
投掷次数
第1次实验
4
3
4
5
3
1
5
2
1
2
2
4
5
3
6
15次
第2次实验
4
6
2次
第3次实验
2
5
2
5
5
4
5
4
1
6
10次
第4次实验
2
4
6
3次
第5次实验
5
3
5
5
4
6
6次
第6次实验
5
6
2次
第7次实验
5
1
2
3
1
1
6
7次
第8次实验
2
6
2次
第9次实验
5
6
2次
第10次实验
5
5
2
5
6
5次
10次实验的平均值
（15＋2＋10＋3＋6＋2＋7＋2＋2＋5）÷10＝5．4
从实验结果看，原来这句话应该表示：
如果掷很多很多次的话，那么平均每6次有1次掷出“6”．
思考
1． 已知掷得“6”的概率等于
，那么不是“6”（也就是1~5）的概率等于多少呢？
这个概率值又表示什么意思？
2． 我们知道，掷得“6”的概率等于
也表示：
如果重复投掷骰子很多很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到
附近．这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？
练习
投掷一个均匀的正八面体骰子，每个面上依次标有1、2、3、4、5、6、7和8．
（1） 掷得“7”的概率等于多少？
这个数表示什么意思？
（2） 掷得的数不是“7”的概率等于多少？
这个数表示什么意思？
（3） 掷得的数小于或等于“6”的概率等于多少？
这个数表示什么意思？
在以前的学习中，我们主要是通过大数次的实验，用观察到的频率来估计概率的．这样做的优点是能够用很直观的方法解决许多日常生活中与随机性有关的问题，如游戏公平性问题、中奖机会问题等．它的缺点是估计值必须在实验之后才能得到，无法预测．这一节，我们主要学习在较为简单的问题情境下如何预测概率．
例1班级里有20个女同学，22个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．如果老师闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大？
分析全班42个学生名字被抽到的机会是均等的．
解P（抽到男同学名字）＝
＝
，
P（抽到女同学名字）＝
＝
＜
，
所以抽到男同学名字的概率大．
思考
1． 抽到男同学名字的概率是
表示什么意思？
2． P（抽到女同学名字）＋P（抽到男同学名字）＝100%吗？
如果改变男女生的人数，这个关系还成立吗？
3． 下面两种说法你同意吗？
如果不同意，想一想可以采用哪些办法来说服这些同学．
（1） 有同学说：
抽到男同学名字的概率应该是
，因为“抽到男同学名字”与“抽到女同学名字”这两个结果发生的机会相同．
（2） 有同学说：
虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽一张纸条的话，概率实际上还是一样大的．
例2一只口袋中放着8只红球和16只黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别是多少？
解P（取出黑球）＝
＝
，
P（取出红球）＝1－P（取出黑球）＝
，
所以，取出黑球的概率是
，取出红球的概率是
．
例3甲袋中放着22只红球和8只黑球，乙袋中则放着200只红球、80只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何其他区别．两袋中的球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取1只球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
思考
小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球；小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大；小丽则认为都一样，因为只摸1次，谁也无法预测会取出什么颜色的球．
你觉得他们说得有道理吗？
解在甲袋中，P（取出黑球）＝
＝
，
在乙袋中，P（取出黑球）＝
＝
＞
，
所以，选乙袋成功的机会大．
练习
袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，闭上眼从袋中摸出1个球，求以下6个事件发生的概率．
（1） 摸出的球颜色为绿色；
（2） 摸出的球颜色为白色；
（3） 摸出的球颜色为蓝色；
（4） 摸出的球颜色为黑色；
（5） 摸出的球颜色为黑色或绿色；
（6） 摸出的球颜色为蓝色、黑色或绿色．
2．在复杂情况下列举所有机会均等的结果
例4抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的概率是一样的．你同意吗？
分析对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2次抛掷来说也是这样．而且每次硬币出现正面或反面的机会都相等．由此，我们可以画出图26．1．1．
在图26．1．1中，从上至下每一条路径就是一种可能的结果，而且每种结果发生的机会相等．
解抛掷一枚普通的硬币3次，共有以下8种机会均等的结果：
正正正，正正反，正反正，正反反，
反正正，反正反，反反正，反反反，
P（正正正）＝P（正正反）＝
，
所以，这一说法正确．
在分析这一问题的过程中，我们采用了画图的方法．这幅图好像一棵倒立的树，因此我们常把它称为树状图（tree diagram），也称树形图、树图．它可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明．
思考
有的同学认为：
抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种情况：
（1） 全是正面；
（2） 两正一反；（3） 两反一正；（4） 全是反面．因此这四个事件出现的概率相等．你同意这种说法吗？
为什么？
问题2
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，会出现哪些可能的结果？
有人说，摸出的不是红球就是白球，因此摸出红球和摸出白球这两个事件是等可能的．
也有人说，如果给小球编号，就可以说：
摸出红球，摸出白1球，摸出白2球，这三个事件是等可能的．
你认为哪种说法比较有理呢？
如果将摸出的第一个球放回搅匀再摸出第二个球，两次摸球就可能出现3种结果：
（1） 都是红球；
（2） 都是白球；（3） 一红一白．
这三个事件发生的概率相等吗？
分析
先用画树状图的方法看看有哪些等可能的结果：
从图26．1．2可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出现的概率相等．在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这三个事件中，“摸出________”的概率最小，等于________，“摸出一红一白”和“摸出________”的概率相等，都是________．
思考
在分析问题2时，一位同学画出如图26．1．3所示的树状图．
从而得到，“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的概率相等，“摸出一红一白”的概率最大．
他的分析有道理吗？
为什么？
问题3
掷两枚普通的正六面体骰子，所得点数之积有多少种可能？
点数之积为多少的概率最大，其数值是多少？
我们可以用表26．1．3来列举所有可能得到的点数之积．
表26．1．3
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
8
10
12
3
3
6
9
12
15
18
4
4
8
12
16
20
24
5
5
10
15
20
25
30
6
6
12
18
24
30
36
表中每个格子里的乘积出现的概率相等，从中可以看出积为__________的概率最大，其数值等于__________．
练习
1． 同时投掷两枚正四面体骰子，下列事件出现的概率相等吗？
（1） 所得点数之差的绝对值恰为偶数；
（2） 所得点数之差的绝对值恰为奇数；
（3） 所得点数之差的绝对值恰为质数．
2． 在九九乘法表的运算结果中随意抽取一个，将下列事件出现的概率从小到大排序：
（1） 恰为偶数；
（2） 恰为奇数；（3） 小于10；（4） 大于100；（5） 末尾是0；（6） 3的倍数．
习题26．1
1． 你同意以下说法吗？
请说明理由．
（1） “从布袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思就是：
肯定会取出一只红球，因为概率已经很大了；
（2） “从布袋中取出一只红球的概率是0”，这句话的意思就是：
取出一只红球的可能性很小；
（3） 布袋中有红、白、黑三种颜色的球，这些球除颜色外没有任何其他区别．因为我对取出一只红球没有把握，所以我就说“从布袋中取出一只红球的概率是50%”；
（4） “从布袋中取出一只红球的概率是0．1%”，这句话的意思就是说话的人认为一定取不到红球．
2． 班级里有15个女同学，27个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．
（1） 如果班长闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么每个同学被抽中的概率是多少？
男同学被抽中的概率是多少？
女同学被抽中的概率是多少？
（2） 如果班长已经抽出了6张纸条——2个女同学、4个男同学，他把这6张纸条放在桌上，闭上眼睛在盒中余下的纸条中再抽第7张纸条，那么这时余下的每个同学被抽中的概率是多少？
男同学被抽中的概率是多少？
女同学被抽中的概率是多少？
3． 在一个布口袋里装着白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色之外没有任何其他区别，其中有白球5只、红球3只、黑球1只．袋中的球已经搅匀．
（1） 闭上眼睛随机地从袋中取出1只球，分别求取出的球是白球、红球、黑球的概率；
（2） 若取出的第1只球是红球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？
（3） 若取出的第1只球是黑球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再随机地取出1只球，这时，取出白球、红球、黑球的概率又分别是多少？
4． 在分别写有数字1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片．试求以下事件的概率．
（1） 该卡片上的数字是5的倍数；
（2） 该卡片上的数字不是5的倍数；
（3） 该卡片上的数字是质数；（4） 该卡片上的数字不是质数．
5． 如果抛掷四枚普通的硬币，那么所有机会均等的结果有哪些？
6． 有人说：
“投掷两个普通的正方体骰子，掷得两个6的概率应是
的一半，也就是
．”请用树状图或列表说明为什么这一说法是错误的．
7． 取三枚硬币：
在第一枚的正面贴上红色标签，反面贴上蓝色标签；在第二枚的正面贴上蓝色标签，反面贴上黄色标签；在第三枚的正面贴上黄色标签，反面贴上红色标签．同时抛掷三枚硬币，求下列事件出现的概率：
硬币落地后，
（1） 颜色各不相同；
（2） 两黄一红；（3） 都是红色；（4） 两红一蓝；（5） 两黄一蓝．
阅读材料
电脑键盘上的字母为何不按顺序排列
电脑在今天已走进了千家万户，大大提高了人们学习与工作的效率．当你的指尖敲打着电脑键盘的时候，不知是否想过：
键盘上的字母为什么不按顺序排列？
我们不妨一起来做一项统计：
先选取一篇文章（见附文），然后统计总的字母数、每个字母出现的频数及频率（见附表），可以发现灵活手指管辖的区域中字母出现的频率一般较高，这样就体现出了不按字母顺序排列的优越性．
这个实验的方法并不复杂，有兴趣的话，你不妨尝试一下，多选几篇类型不同的文章，看看是否有新的发现？
前面所做过的许多实验告诉我们，实验的次数越多，就越能得到与机会的真实值更为接近的估计值．这里也一样，统计的文章越多越长，你就越能看出电脑键盘不按字母顺序排列的好处．
附文：
Anoldmandiedandlefthissonalotofmoney．Butthesonwasafoolishyoungman，andhequicklyspentallthemoney，sothatsoonhehadnothingleft．Ofcourse，whenthathappened，allhisfriendslefthim．Whenhewasquitepoorandalone，hewenttoseeNasreddin，whowasakind，cleveroldmanandoftenhelpedpeoplewhentheyhadtroubles．“Mymoneyhasfinishedandmyfriendshavegone，”saidtheyoungman．“Whatwillhappentomenow?
”“Don’tworry，youngman，”answeredNasreddin．“Everythingwillsoonbeallrightagain．Wait，andyouwillsoonfeelmuchhappier．”Theyoungmanwasveryglad．“AmIgoingtogetrichagainthen?
”heaskedNasreddin．“No，Ididn’tmeanthat，”saidtheoldman．“Imeantthatyouwouldsoongetusedtobeingpoorandtohavingnofriends．”
附表：
字母总数
597
食指管辖的字母
左
R
T
F
G
V
B
右
Y
U
H
J
N
M
出现频数
19
40
12
17
5
4
16
14
40
0
66
18
出现频率
3.2%
6.7%
2.0%
2.8%
0.8%
0.7%
2.7%
2.3%
6.7%
0%
11.1%
3.0%
中指管辖的字母
左
E
D
C
右
I
K
出现频数
66
37
5
36
3
出现频率
11.1%
6.2%
0.8%
6.0%
0.5%
无名指管辖的字母
左
W
S
X
右
O
L
出现频数
18
31
0
52
29
出现频率
3.0%
5.2%
0%
8.7%
4.9%
小指管辖的字母
左
Q
A
Z
右
P
出现频数
2
55
0
12
出现频率
0.3%
9.2%
0%
2.0%
§26.2模拟实验
1.用替代物做模拟实验
在以前利用稳定的频率值估计概率的实验中，我们都有现成的实物作为工具，但有时手边恰好没有相应的实物，或者用实物进行实验困难很大．这时，就需要借助替代物进行模拟实验．
问题1
（1） 在“抛掷一枚均匀硬币”的实验中，如果没有硬币，该怎么办？
（2） 在“投掷一颗均匀骰子”的实验中，如果没有骰子，该怎么办？
（3） 抽屉里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，在夜晚不开灯的情况下，你随意拿出2只，
怎样用实验估计它们恰好是一双的概率？
你打算如何进行实验？
如果手边没有袜子应该怎么办？
对于问题
（1），我们可以用两张扑克（1张黑桃，1张红桃）代替，分别代表硬币的正面与反面．你还能想出其他什么替代物吗？
对另外两个问题呢？
请把你能想到的替代物填入表26．2．1中．
表26．2．1
问题中的实物
模拟实验中的替代物
1
2
3
4
（1）
一枚均匀硬币
两张扑克，
“黑桃”代表“正面”，
“红桃”代表“反面”．
（2）
一颗均匀骰子
（3）
3双黑袜子
1双白袜子
思考
假设用小球模拟问题1中的问题（3）的实验过程，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子．
（1） 有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？
（2） 如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果又会怎样？
练习
在下列实验中，如果没有相应的实物，该怎么办？
尽可能多地说说你的方法．
（1）“抛掷两枚均匀硬币”的实验；
（2）“投掷两颗均匀骰子”的实验．
2．用计算器做模拟实验
当你走在放学的路上，可曾被大幅的彩票招牌吸引？
当你看到宣传海报上醒目的大字“特等奖100万元！
”时，可曾想过要试试手气？
下面让我们一起来探索彩票中的数学问题．
问题2
某彩票的投注方式如下：
你可以从1~35中选出7个号码组成一组投注号码．中奖号码只有一个，只要你选的7个号码中有一个与中奖号码相同即可获奖．此时中奖概率有多大？
你可以先写出自己打算投注的7个号码：
________，________，________，________，________，_______，________．
然后开始实验：
每次在1~35的范围内产生一个随机数，如果你选的7个号码中恰有一个与之相同，你就中奖了；否则就不中．
除了前面已提到过的用替代物进行模拟实验外，我们还可以借助计算器进行模拟实验．
下面是一位同学用计算器模拟实验的过程：
2
MODE
SHIFT
第一步：
利用计算器在1~35的范围内产生随机数．
（1） 按（SETUP）设置Line；
0
65
MODE
SHIFT
（2） 按（SETUP）设置Fix0；
=
5
0
+
SHIFT
5
3
（3） 按（Ran#），产生1~35
=
之间的一个随机整数；
（4） 接下来每按一次键，计算器就产生1~35之间的一个随机整数；
（5） 记录得到的数，如
23，8，4，25，31，33，20，24，14，15，
4，32，17，5，1，18，15，28，11，8．
第二步：
将数据整理后填入统计表．
这位同学投注的号码为1，2，3，4，5，6，7，根据实验数据，在20次“下注”中，他中奖4次，于是他将结果填入表26．2．2．
表26．2．2中奖频数记录表
实验次数
20
40
60
80
100
中奖频数
中奖频率
20%
请你仿照第一步中介绍的方法帮这位同学完成统计表26．2．2．
第三步：
根据频率估计中奖概率约为__________%．
注意
0
0
3
5
3
利用计算器帮助我们产生随机数时，关键在于确定所需要的数的范围，如果我们需要在1~300的范围内产生随机数，那么只需将上述第一步
（2）中的改为
即可．
做一做
有一项问卷调查活动，需要在你所在的班级中抽取若干名同学参加，每个小组抽1名，你恰好被抽中的概率有多大？
考虑：
（1） 在全班人数、小组数、你所在的小组人数中，哪些数值是解决问题所需要的？
（2） 你可以用哪些方法来模拟实验？
借助计算器估计问题的答案．
思考
有人说下注时要避免选取有规律的数（如1，2，3，4，5，6，7），而应该选取像2，7，15，18，22，29，34这样的数，能增加中奖的概率．
你的看法如何？
请用计算器模拟实验一下．
问题3
“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．
假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即不分胜负）的概率是多少？
请先用树状图的方法解决，再用重复实验的方法，计算平均多少次中有一次会出现不分胜负的情况，比较以上两个
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