高中数学 第3章 不等式 综合素质检测 新人教B版必修5.docx

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高中数学第3章不等式综合素质检测新人教B版必修5

2019-2020年高中数学第3章不等式综合素质检测新人教B版必修5

一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的）

1．设M＝2a（a－2）＋7，N＝（a－2）（a－3），则有（　　）

A．M＞N　　　　　　　　B．M≥N

C．M＜N　D．M≤N

[答案]　A

[解析]　M－N＝（2a2－4a＋7）－（a2－5a＋6）＝a2＋a＋1＝（a＋）2＋＞0，∴M＞N.

2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是（　　）

A．{x|x≥5或x≤－1}

B．{x|x＞5或x＜－1}

C．{x|－1＜x＜5}

D．{x|－1≤x≤5}

[答案]　B

[解析]　不等式化为x2－4x－5＞0，

∴（x－5）（x＋1）＞0，∴x＜－1或x＞5.

3．（x－2y＋1）（x＋y－3）<0表示的平面区域为（　　）

[答案]　C

[解析]　将点（0,0）代入不等式中，不等式成立，否定A、B，将（0,4）点代入不等式中，不等式成立，否定D，故选C．

4．设b＞a＞0，a＋b＝1，则下列四个数，2ab，a2＋b2，b中，最大的数是（　　）

A．　B．b

C．2ab　D．a2＋b2

[答案]　B

[解析]　因为b＞a＞0，a＋b＝1，

所以0＜a＜＜b＜1，a2＋b2＞2ab.

又因为a2＋b2－b＝a2＋b（b－1）＝a2－ab＝a（a－b）＜0.

所以a2＋b2＜b，故四个数中最大的数是b.

5．若a0，则a、b、c、d的大小关系是（　　）

A．d

C．a

[答案]　A

[解析]　∵a

∴c－a>0，c－b<0，

∴a

又∵d

又∵（d－a）（d－b）>0，∴d－a<0，

∴d

∴d

6．设M＝a＋（2＜a＜3），N＝log0.5（x2＋）（x∈R）那么M、N的大小关系是（　　）

A．M＞N　B．M＝N

C．M＜N　D．不能确定

[答案]　A

[解析]　∵2＜a＜3，∴a－2>0.

M＝a＋＝a－2＋＋2＞4，

N＝log0.5（x2＋）≤log0.5＝4，∴M＞N.

7．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（　　）

A．a≥　B．0

C．1≤a≤　D．0

[答案]　D

[解析]　由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：

x＋y＝a在l1、l2之间或在l3上方．∴0

8．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈（0，]成立，则a的最小值为（　　）

A．0　B．－2

C．－　D．－3

[答案]　C

[解析]　∵x∈（0，]，

∴a≥＝－x－.

由于函数y＝x＋在（0，]上单调递减，

∴在x＝处取得最小值.

∴－（x＋）≤－.

∴a≥－.

9．已知a＞0，b＞0，a、b的等差中项是，且α＝a＋，

β＝b＋则α＋β的最小值是（　　）

A．3　B．4

C．5　D．6

[答案]　C

[解析]　由题意a＋b＝1，则α＋β＝a＋＋b＋

＝1＋≥1＋＝5.

10．若x、y满足条件，则z＝－2x＋y的最大值为（　　）

A．1　B．－

C．2　D．－5

[答案]　A

[解析]　作出可行域如下图，当直线y＝2x＋z平移到经过可行域上点A（－1，－1）时，z取最大值，

∴zmax＝1.

11．已知向量a＝（3，－2），b＝（x，y－1），若a∥b，则4x＋8y的最小值为（　　）

A．　B．4

C．2　D．2

[答案]　B

[解析]　∵a∥b，∴3（y－1）－（－2）x＝0，

∴2x＋3y＝3.

故4x＋8y＝22x＋23y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立．

12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（　　）

A．2000元　B．2200元

C．2400元　D．2800元

[答案]　B

[解析]　设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知

，

作出其可行域如图所示．

可知目标函数z＝400x＋300y在点A处取最小值，z＝400×4＋300×2＝2200（元）．

二、填空题（本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）

13．不等式≤3的解集是________．

[答案]　{x|x≥或x<0}

[解析]　原不等式等价于－3≤0⇔≤0⇔≥0⇔x（2x－1）≥0，且x≠0，解得x≥或x<0.

14．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是（1，m），则m＝________.

[答案]　2

[解析]　由题意知a>0且1是方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，∴a＝2，

∴不等式为2x2－6x＋4<0，即x2－3x＋2<0，

∴1

15．若a≥0，b≥0，a2＋b2＝1，则a的最大值为________．

[答案]　1

[解析]　∵a≥0，b≥0，

∴a≤＝1，

当且仅当a＝，即a＝1，b＝0时取等号．

16．若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．

[答案]　

[解析]　不等式组，表示的区域如图所示．

直线y＝kx＋经过三角形的顶点C，要想平分面积，只需要经过AB的中点D即可．解相应的方程组可得A（1，1）、B（0,4）、C（0，），则D（，），k＝＝.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本题满分12分）设x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2kx＋1－k2＝0的两个实根，求x＋x的最小值．

[解析]　由题意，得x1＋x2＝2k，

x1x2＝1－k2.

Δ＝4k2－4（1－k2）≥0，

∴k2≥.

∴x＋x＝（x1＋x2）2－2x1x2

＝4k2－2（1－k2）

＝6k2－2≥6×－2＝1.

∴x＋x的最小值为1.

18．（本题满分12分）若a＜1，解关于x的不等式＜1.

[解析]　a＝0时，x∈R且x≠2；

a≠0时，

＜1⇔＞0

⇔[（a－1）x＋2]（x－2）＞0.

∵a＜1，∴a－1＜0.

∴化为（x－）（x－2）＜0，

当02，

∴不等式的解为2

当a<0时，1－a>1，∴<2，

∴不等式解为

∴当0＜a＜1时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为；当a＝0时，解集为{x∈R|x≠2}．

19．（本题满分12分）已知x、y都是正数．

（1）若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

（2）若x＋2y＝3，求＋的最小值．

[解析]　

（1）xy＝·3x·2y≤2＝6.

当且仅当即时取“＝”号．

所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.

（2）＋＝（x＋2y）

＝≥

＝1＋.

当且仅当即时，取“＝”号．

所以，当x＝－3＋3，y＝3－时，＋取得最小值1＋.

20．（本题满分12分）不等式（m2－2m－3）x2－（m－3）x－1<0对一切x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

[解析]　由m2－2m－3＝0，得m＝－1或m＝3.

当m＝3时，原不等式化为－1<0恒成立；

当m＝－1时，原不等式化为4x－1<0，

∴x<，故m＝－1不满足题意．

当m2－2m－3≠0时，由题意，得

，

即，

∴－

综上可知，实数m的取值范围是－

21．（本题满分12分）已知函数f（x）＝（a、b为常数），且方程f（x）－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设k>1，解关于x的不等式f（x）<.

[解析]　

（1）将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0，得

，解得.

∴f（x）＝（x≠2）．

（2）原不等式即为<，可化为<0.

即（x－2）（x－1）（x－k）>0.

①当12;

②当k＝2时，x>1且x≠2；

③当k>2时，1k.

综上所述，当12}；

当k＝2时，原不等式的解集为{x|x>1且x≠2}；

当k>2时，原不等式的解集为{x|1k}．

22．（本题满分14分）已知x、y满足条件，求z＝x2＋y2的最大值与最小值．

[解析]　在同一直角坐标系中，作直线x－2y＋7＝0,4x－3y－12＝0和x＋2y－3＝0，再根据不等式组确定可行域为△ABC（如图所示），把x2＋y2看作点（x，y）到原点（0,0）的距离的平方．

由，

解得点A的坐标（9,8）．

所以（x2＋y2）max＝|OA|2＝92＋82＝145.

因为原点O到直线BC的距离为＝，

所以（x2＋y2）min＝.

2019-2020年高中数学第3章不等式章末知识整合苏教版必修5

题型1　转化与化归思想的应用

　例1若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围．

分析：

“范围”问题是数学中的常见问题，一般可将“范围”看成函数定义域、值域，或看成不等式的解集等．

解析：

方法一（看成函数的值域）

∵ab＝a＋b＋3，∴b＝（显然a≠1），且a＞1.

∴ab＝a×＝＝（a－1）＋＋5≥9，当且仅当a－1＝，

即a＝3时取等号．

又a＞3时，（a－1）＋＋5单调递增．

∴ab的取值范围是[9，＋∞）．

方法二（看成不等式的解集）

∵a，b为正数，∴a＋b≥2.

又ab＝a＋b＋3，

∴ab≥2＋3，

即（）2－2－3≥0.

解得≥3或≤－1（舍去），

∴ab≥9，即ab的取值范围是[9，＋∞）．

方法三　若设ab＝t，

则a＋b＝t－3，

∴a，b可看成方程x2－（t－3）x＋t＝0的两个正根．

从而有

即解得t≥9，即ab≥9，

∴ab的取值范围是[9，＋∞）．

►归纳拓展

不等与相等是相对的，在一定条件下可以互相转化．解题过程就是一个由已知条件向待定结论等价转化的过程．无论哪种类型的不等式，其求解思路都是通过等价转化，把它们最终归结为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）的求解．由于不等式的解集一般是无限集，因此不等式非等价变换产生的增根或失根是无法由检验而予以剔除或增补的，这就必然要求解不等式的每一步变换都是等价变换，而这种变换的目标应是代数化、有理化、二次化一次、高次化低次等．

►变式迁移

1．如果关于x的不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是________．

解析：

∵4x2＋6x＋3＝＋＞0恒成立，从而原不等式可以利用不等式的基本性质，等价转化为2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3（x∈R）．

即2x2＋（6－2m）x＋（3－m）＞0对一切实数x恒成立，所以Δ＝（6－2m）2－4×2（3－m）＝4（m－1）·（m－3）＜0，解得1＜m＜3.

答案：

（1，3）

2．若关于x的不等式组的解集中所含整数只有－2，则k的取值范围是________．

解析：

由⇒

要使解集中所含整数只有－2，则必须－2＜－k≤3.

即－3≤k＜2.

答案：

[－3，2）

题型2　函数与方程思想的应用

例2　设a∈R，关于x的一元二次不