新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练含答案.docx
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新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练含答案
新高考数学函数的概念与基本初等函数多选题之知识梳理与训练含答案
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知，，则（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】
根据条件求得表达式，根据对数性质结合放缩法得A正确，根据不等式性质得B正确，通过作差法判断C错，结合指数函数单调性与放缩法可得D正确．
【详解】
解：
∵，，
∴，，
因为，
又由，所以，选项A正确；
，，则，，所以，选项B正确；
因为，，则，，此时，
所以，故选项C不正确；
由和知与均递减，
再由，的大小关系知，故选项D正确.
故选：
ABD
【点睛】
本题考查了数值大小比较，关键运用了指对数运算性质，作差法和放缩法．
2．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：
设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，又称为取整函数.如：
，.则下列正确的是（）
A．函数是上单调递增函数
B．对于任意实数，都有
C．函数（）有3个零点，则实数a的取值范围是
D．对于任意实数x，y，则是成立的充分不必要条件
【答案】BCD
【分析】
取反例可分析A选项，设出a，b的小数部分，根据其取值范围可分析B选项，数形结合可分析C选项，取特殊值可分析D选项．
【详解】
解：
对于A选项，，故A错误；
对于B选项，令，q分别为a，b的小数部分，
可知，，，
则，故B错误；
对于C选项，可知当，时，则，
可得的图象，如图所示：
函数有3个零点，
函数的图象和直线有3个交点，且为和直线必过的点，
由图可知，实数a的取值范围是，故C正确；
对于D选项，当时，即r，q分别为x，y的小数部分，可得，，
；
当时，取，，可得，，此时不满足，
故是成立的充分不必要条件，故D正确；
故选：
BCD．
【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
3．已知函数,则下列判断正确的是（）
A．为奇函数
B．对任意,,则有
C．对任意,则有
D．若函数有两个不同的零点,则实数m的取值范围是
【答案】CD
【分析】
根据函数的奇偶性以及单调性判断AB选项；对进行分类讨论，判断C选项；对选项D，构造函数，将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，即可得出实数m的取值范围.
【详解】
对于A选项，当时，，则
所以函数不是奇函数，故A错误；
对于B选项，的对称轴为，的对称轴为
所以函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，并且
所以在上单调递增
即对任意，都有
则，故B错误；
对于C选项，当时，，则
则
当时，，则
当时，，则
则
即对任意,则有，故C正确；
对于D选项，当时，，则不是该函数的零点
当时，
令函数，函数
由题意可知函数与函数的图象有两个不同的交点
因为时，，时，
所以
当时，设，
因为，所以，即
设，，即
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
同理可证，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增
函数图象如下图所示
由图可知，要使得函数与函数的图象有两个不同的交点
则实数m的取值范围是，故D正确；
故选：
CD
【点睛】
本题主要考查了利用定义证明函数的单调性以及奇偶性，由函数零点的个数求参数的范围，属于较难题.
4．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet,1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”其中R为实数集,Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题,正确的为（）
A．函数是偶函数
B．,,恒成立
C．任取一个不为零的有理数T,对任意的恒成立
D．不存在三个点,,,使得为等腰直角三角形
【答案】ACD
【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．
【详解】
对于A，若，则，满足；若，则，满足；故函数为偶函数，选项A正确；
对于B，取，则，，故选项B错误；
对于C，若，则，满足；若，则，满足，故选项C正确；
对于D，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点在上，斜边在轴上，此时点，点的横坐标为无理数，则中点的横坐标仍然为无理数，那么点的横坐标也为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点在上，斜边不在轴上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点在轴上，斜边在上，此时点，点的横坐标为有理数，则中点的横坐标仍然为有理数，那么点的横坐标也应为有理数，这与点的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点在轴上，斜边不在上，此时点的横坐标为无理数，则点的横坐标也应为无理数，这与点的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确．
故选：
．
【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
5．已知定义在上的函数满足：
，且当时，.若.在上恒成立，则的可能取值为（）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】
先判断函数的奇偶性和单调性,得到sinx≥k（2+sinx）,再根据题意，利用检验法判断即可.
【详解】
因为定义在上的函数满足：
所以为奇函数，
时，，
显然在上单调递增，
所以在R上单调递增，
由恒成立，
可得在R上恒成立，
即，
整理得：
当时，，不恒成立，故A错误;
当时，，不恒成立，故B错误;
当时，，恒成立，故C正确；
当时，，恒成立，故D正确.
故选：
CD
【点睛】
本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，不等式恒成立问题，属于中档题.
6．下列命题正确的是（）
A．已知幂函数在上单调递减则或
B．函数的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是．
C．已知函数，若，则的取值范围为
D．已知函数满足，，且与的图像的交点为则的值为8
【答案】BD
【分析】
根据幂函数的性质，可判定A不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B是正确；根据函数的定义域，可判定C不正确；根据函数的对称性，可判定
D正确，即可求解.
【详解】
对于A中，幂函数，可得，解得或，
当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，所以A不正确；
对于B中，若函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，
则满足，解得，
所以是函数的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B是正确；
对于C中，由函数，则满足，解得，
即函数的定义域为，所以不等式中至少满足，
即至少满足，所以C不正确；
对于D中，函数满足，可得函数的图象关于点对称，
又由，可得，所以函数的图象关于点对称，则，所以D正确.
故选：
BD.
【点睛】
本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．设，若满足关于x的方程恰有三个不同的实数解则下列选项中，一定正确的是（）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】
设，得出函数为偶函数，从而有，因此方程必有一解为0，代入得，分和两种情况得出函数的单调性和最值，从而求得，可得选项.
【详解】
设，则函数为偶函数，所以，
所以，其中必有一解为0，则，
①当时，当且仅当时取等号；
②当时，在上递增，
，，
又在上递增，，即，
.
故选：
CD.
【点睛】
本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.
8．下列命题正确的有（）
A．已知且，则
B．，则
C．的极大值和极小值的和为
D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
【答案】ACD
【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围.
【详解】
A选项，由条件知且，所以，即；
B选项，有，，而；
C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点，
所以；
D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可
∴，解得
故选：
ACD
【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
9．已知正数，满足，则（）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】
令，根据指对互化和换底公式得：
，再依次讨论各选项即可.
【详解】
由题意，可令，由指对互化得：
，
由换底公式得：
，则有，故选项B错误；
对于选项A，，所以，又，所以，所以，故选项A正确；
对于选项C､D，因为，所以，所以，
所以，则，则，所以选项C正确，选项D错误；
故选：
AC.
【点睛】
本题考查指对数的运算，换底公式，作差法比较大小等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于令，进而得，再根据题意求解.
10．对于定义在上的函数，若存在正实数，，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中是“控制增长函数”的有（）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】
假设各函数是“控制增长函数”，根据定义推断对一切恒成立的条件，并判断的存在性，即可得出结论.
【详解】
对于A.可化为
，
，不等式在上不恒成立，
所以不是“控制增长函数”；
对于B.可化为，
，即恒成立.
又，故只需保证恒成立即可.
，当时，
不等式恒成立，
是“控制增长函数”；
对于C.，
时，为任意正数，恒成立，
是“控制增长函数”；
对于D.化为，
，令，
则，
当时，不等式恒成立，
是“控制增长函数”.
故选：
BCD
【点睛】
本题考查了新定义的理解，函数存在成立和恒成立问题的研究.我们可先假设结论成立，再不断寻求结论成立的充分条件，找得到就是“控制增长函数”.如果找出了反例，就不是“控制增长函数”.
11．已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）
A．当，有1个零点B．当时，有3个零点
C．当，有4个零点D．当时，有7个零点
【答案】ABD
【分析】
令得，利用换元法将函数分解为和，作出函数的图象，利用数形结合即可得到结论．
【详解】
令，得，设，则方程等价为，
函数，开口向上，过点，对称轴为
对于A，当时，作出函数的图象：
，此时方程有一个根，由可知，此时x只有一解，即函数有1个零点，故A正确；
对于B，当时，作出函数的图象：
，此时方程有一个根，由可知，此时x有3个解，即函数有3个零点，故B正确；
对于C，当时，图像如A，故只有1个零点，故C错误；
对于D，当时，作出函数的图象：
，此时方程有3个根，其中，，由可知，此时x有3个解，由，此时x有3个解，由，此时x有1个解，即函数有7个零点，故D正确；
故选：
ABD．
【点睛】
方法点睛：
本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：
直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同
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