平面向量及其应用基础练习题.docx
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平面向量及其应用基础练习题
一、多选题
1．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，已知A＝，a＝7，则以下判断正确的是（）
A．△ABC的外接圆面积是；B．bcosC＋ccosB＝7；
C．b＋c可能等于16；D．作A关于BC的对称点A′，则|AA′|的最大值是7.
2．在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC上的中点，P是AE与BF的交点，则有（）
A．B．
C．D．
3．已知向量（2，1），（1，﹣1），（m﹣2，﹣n），其中m，n均为正数，且（）∥，下列说法正确的是（）
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b方向上的投影为
C．2m+n=4
D．mn的最大值为2
4．下列结论正确的是（）
A．已知是非零向量，，若，则⊥（）
B．向量，满足||＝1，||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影向量为
C．点P在△ABC所在的平面内，满足，则点P是△ABC的外心
D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形
5．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（）
A．8+B．8
C．8﹣D．
6．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（）
A．B．
C．D．
7．在中，，，，则=（）
A．B．C．D．
8．设、是两个非零向量，则下列描述正确的有（）
A．若，则存在实数使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数使得，则
9．给出下面四个命题，其中是真命题的是（）
A．B．C．D．
10．已知正三角形的边长为2，设，，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
11．如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（）
A．B．C．D．
12．点P是所在平面内一点,满足,则的形状不可能是（）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
13．下列说法中错误的是（）
A．向量与是共线向量,则A，B，C，D四点必在一条直线上
B．零向量与零向量共线
C．若，则
D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
14．化简以下各式,结果为的有（）
A．B．
C．D．
15．如果是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是（）
A．可以表示平面内的所有向量
B．对于平面内任一向量,使的实数对有无穷多个
C．若向量与共线,则有且只有一个实数,使得
D．若存在实数使得,则
二、平面向量及其应用选择题
16．在中，、、分别是、、上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是（）
A．B．
C．D．
17．下列命题中正确的是（）
A．若，则在上的投影为
B．若，则
C．若是不共线的四点，则是四边形是平行四边形的充要条件
D．若，则与的夹角为锐角；若，则与的夹角为钝角
18．若点是的重心，分别是，，的对边，且.则等于（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
19．为内一点内角、、所对的边分别为、、，已知，且，若，则边所对的外接圆的劣弧长为（）
A．B．C．D．
20．中，内角A，B，C所对的边分别为.①若，则；②若，则一定为等腰三角形；③若，则一定为直角三角形；④若，，且该三角形有两解，则的范围是.以上结论中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
21．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）
A．5B．C．4D．16
22．三角形所在平面内一点P满足，那么点P是三角形的（）
A．重心B．垂心C．外心D．内心
23．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（）
A．B．C．D．
24．在中，已知，，若点、分别为的重心和外心，则（）
A．4B．6C．10D．14
25．在三角形中，若三个内角的对边分别是，，，，则的值等于（）
A．B．C．D．
26．在中，内角的对边分别是，若，则一定是（）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
27．著名数学家欧拉提出了如下定理：
三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是△的外心、垂心，且为中点，则（）
A．B．
C．D．
28．已知D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，且，，则①＝－－；②＝＋；③＝－＋；④＋＋＝0.其中正确的等式的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
29．中，，则一定是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
30．如图所示，在中，点D是边上任意一点，M是线段的中点，若存在实数和，使得，则（）
A．B．C．D．
31．在中，下列命题正确的个数是（）
①；②；③点为的内心，且，则为等腰三角形；④，则为锐角三角形．
A．1B．2C．3D．4
32．在中，，，，为的外心，若，、，则（）
A．B．C．D．
33．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，则等于（）
A．B．C．D．
34．在中，若，那么一定是（）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
35．已知是两个单位向量，则下列等式一定成立的是（）
A．B．C．D．
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一、多选题
1．ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定
解析：
ABD
【分析】
根据题目可知，利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误．
【详解】
对于A，设的外接圆半径为，根据正弦定理，可得，所以的外接圆面积是，故A正确；
对于B，根据正弦定理，利用边化角的方法，结合，可将原式化为，故B正确．
对于C，
，故C错误．
对于D，设到直线的距离为，根据面积公式可得，即，再根据①中的结论，可得，故D正确．
故选：
ABD.
【点睛】
本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题，解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等．
2．AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
A是正确的；
因为EF是中位线，所以B是正确的；
根据三角形重心
解析：
AC
【分析】
由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可.
【详解】
如图：
根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
A是正确的；
因为EF是中位线，所以B是正确的；
根据三角形重心性质知，CP=2PG，所以，所以C是正确的，D错误.
故选：
AC
【点睛】
本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.
3．CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用（）∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量（
解析：
CD
【分析】
对于A，利用平面向量的数量积运算判断；对于B，利用平面向量的投影定义判断；对于C，利用（）∥判断；对于D，利用C的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断.
【详解】
对于A，向量（2，1），（1，﹣1），则，则的夹角为锐角，错误；
对于B，向量（2，1），（1，﹣1），则向量在方向上的投影为，错误；
对于C，向量（2，1），（1，﹣1），则（1，2），若（）∥，则（﹣n）=2（m﹣2），变形可得2m+n=4，正确；
对于D，由C的结论，2m+n=4，而m，n均为正数，则有mn（2m•n）（）2=2，即mn的最大值为2，正确；
故选：
CD.
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
4．ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对：
因为，又，故可得，
故，故选项正确；
对：
因为||＝1，||＝2，与的夹角为
解析：
ABD
【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择.
【详解】
对：
因为，又，故可得，
故，故选项正确；
对：
因为||＝1，||＝2，与的夹角为60°，故可得.
故在上的投影向量为，故选项正确；
对：
点P在△ABC所在的平面内，满足，则点为三角形的重心，
故选项错误；
对：
不妨设，
则，故四边形是平行四边形；
又，则，故四边形是矩形.
故选项正确；
综上所述，正确的有：
.
故选：
.
【点睛】
本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
5．AC
【分析】
利用余弦定理：
即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：
，
即，解得.
故选：
AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基
解析：
AC
【分析】
利用余弦定理：
即可求解.
【详解】
在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，
由余弦定理：
，
即，解得.
故选：
AC
【点睛】
本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.
6．AB
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误
【详解】
，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示
由其性质有
∴，即C错误
同理
，
解析：
AB
【分析】
由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误
【详解】
，即A正确
，即B正确
连接AC，知G是△ADC的中线交点，如下图示
由其性质有
∴，即C错误
同理
，即
∴，即D错误
故选：
AB
【点睛】
本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：
三角形中线的交点分中线为1:
2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系
7．AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
故选：
AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同
解析：
AD
【分析】
利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】
由正弦定理，可得，
，则，所以，为锐角或钝角.
因此，.
故选：
AD.
【点睛】
本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.
8．AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：
AB
【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数，使得，A选项正确，D选项错误；
若，则、方向相同，在
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