第五章静电场中的电介质汇总.docx
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第五章静电场中的电介质汇总
第5章静电场中的电介质
◆本章学习目标
理解：
电介质的概念和分类；电介质对电场的影响；电介质的极化和极化电荷；D的高斯定理；电容器和电容的概念，电容器的能量。
◆本章教学内容
1．电介质对电场的影响
2．电介质的极化
3．D的高斯定律
4．电容器和它的电容
5．电容器的能量
◆本章重点
用D的高斯定理计算电介质中静电场的分布和电介质的极化电荷密度；
电容和电容器能量的计算。
◆本章难点
电介质的极化机制、电位移矢量。
5.1电介质对电场的影响
如果介质是均匀的，极化的介质内部仍然没有净电荷，但介质的表面会出现面电荷，称为极化电荷。
极化电荷不是自由电荷，不能自由流动（有时也称为束缚电荷），但极化电荷仍能产生一个附加电场
使介质中的电场减小。
介质中的电场是自由电荷电场与极化电荷的电场迭加的结果。
下面考虑一种比较简单而常见的情况，即各向同性介质均匀地充满电场的情况来定量地说明这种迭加的规律。
所谓介质均匀地充满电场，举例来说，对于平板电容器，只需要一种各向同性的均匀介质充满两板之间就够了；而对于点电荷，原则上要充满到无穷远的地方。
实验证明，若自由电荷的分布不变，当介质均匀地充满电场后，介质中任一点的和场的电场强度E为原来真空中的电场强度
的
分之一，即
其中
为介质的相对介电常量，取决于介质的电学性质。
对于“真空”，
，对于空气，近似有
，对其它介质，
。
加入介质以后场强的变化是由于介质中产生的极化电荷激发的附加电场参与迭加而形成的。
在介质均匀地充满电场这种简单条件下，我们可以通过真空中的电场和介质中的电场的比较，由自由电荷分布推算出极化电荷的分布。
以点电荷为例，真空中的点电荷
在其周围空间任一点p激发的电场为
充满介质以后，点电荷本身激发的场强并不会因极化电荷的出现而改变，即仍为上式。
极化电荷是分布在介质表面上，即介质与点电荷交界面上。
这是一个很小的范围，从观察p看去，极化电荷也是一个点电荷，设其电量为
，它在p点激发的电场应为
介质中的场强应是
与
迭加的结果
又由前式可知，介质中点电荷电场中的合场强为真空中场强的
，故有
比较这两式即可得到
上式表示自由电荷和束缚电荷的总和等于自由电荷的
。
于是我们可解得点电荷周围的极化电荷电量
由于
，故极化电荷与自由电荷反号，这是预期中的结果。
对于其它的电荷分布，只要是在介质均匀地充满电场的条件下，均可如此分析。
按
，可知场强总是为真空中自由电荷产生场强的
，由之可以理解，这时每个地方的自由电荷和束缚电荷的总和均应为自由电荷的
，即有
，于是我们依然可以得到
。
定义
为介质的介电常量，则介质中的点电荷电场为
与点电荷在真空中的场强比较，公式形式不变，唯一的变化是把
换成了
。
由于在所有的场强公式中，真空中的介电常量
均在分母中，故在介质均匀地充满电场时，场强公式的形式都不会变，但必须把
换作
。
上式中介质中的场强比真空中要小，我们知道，这是由于极化电荷的场强影响的结果，但极化电荷在式子中并未出现，但它们影响已包含在
之中了。
5.2电介质的极化
电介质中几乎没有自由电荷，分子中的电荷由于很强的相互作用而被束缚在一个很小的尺度（10–10m）之内。
在外电场的作用下，这些电荷也会在束缚的条件下重新分布，产生新的电荷分布来削弱介质中的电场，但却不能象导体那样把场强减弱为零。
下面我们就来讨论这种现象，而且只讨论均匀的、各向同性的介质的情况。
分子由等量的正、负电荷构成，在一级近似下，可以把分子中的正、负电荷作为两个点电荷处理，称为等效电荷，等效电荷的位置称为电荷中心。
若分子的正、负电荷中心不重合，则等效电荷形成一个电偶极子，其电偶极矩
称为分子的固有电矩，这种分子叫有极分子。
如HCl分子，H原子一端带电
，Cl原子一端带电
，形成一个电偶极子，这是化学中典型的极性共价键。
几种分子的固有电矩见表9.1。
若分子的正、负电荷中心重合，则分子的电偶极矩为零，这种分子叫无极分子。
H2、O2、N2、CO2分子即属于这一类情况，化学中称为非极性共价键。
有极分子的极化示意图
有极分子在没有外场作用时，由于热运动，分子电矩无规则排列而相互抵消，介质不显电性，见上图（a）。
在有外场E0的作用时，分子将受到一个力矩的作用（见上图（b））而转动到沿电场方向有序排列，如图（c）所示意，这称为介质的极化。
有极分子的极化是通过分子转动方向实现的，称为取向极化。
若撤去外场，分子电矩恢复无规则排列，极化消失，介质重新回到电中性。
分子热运动的无规则性与分子极化时的取向性是矛盾的，一般说来，电场越强，温度越低，则分子的排列越有序，极化的效应也越显著。
无极分子极化的示意图
无极分子在没有外场作用时不显电性，见上图（a）。
有外场作用时，正负电荷中心受力作用而发生相对位移，形成一个电偶极矩，称为感生电矩，见图（b）。
感生电矩沿电场方向排列，使介质极化，见图（c）所示意。
无极分子的极化是由于分子正负电荷中心发生相对位移来实现的，故称为位移极化。
若撤去外场，无极分子的正、负电荷中心重新重合，极化消失，介质恢复电中性。
显然，位移极化的微观机制与取向极化不同，但结果却相同：
介质中分子电偶极矩矢量和不为零，即介质被极化了。
所以，如果问题不涉及极化的机制，在宏观处理上我们往往不必对它们刻意区分。
5.3D的高斯定律
一．介质中的高斯定律
静电场中的高斯定理
是普遍成立的，式子右边的q是闭合曲面S内的净电荷。
当电场中有介质时，它应当是自由电荷与极化电荷的总和即
，于是高斯定理可记作
式子中的极化电荷
一般情况下是一个未知量，在应用时不方便，我们设法把它用自由电荷来表示。
严格的推证很麻烦，我们用介质均匀地充满电场的情况来说明这个问题。
按前面所述，介质均匀地充满电场时，极化电荷出现在自由电荷旁，每个地方自由电荷和极化电荷的总电量均为自由电荷的
，即有
，把它代入高斯定理有
由于在电场E中只有一种介质
，于是有
定义一个新的物理量叫电位移矢量，用D表示，
即在电场中的任意一点，电位移矢量等于该点介质的介电常数
与电场强度E之积。
于是高斯定理表示为
这就是介质中的高斯定理，简称为D高斯定理。
介质中的高斯定理表明，电场中通过任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面围住的净自由电荷。
可以证明，介质中的高斯定理对任意的电荷分布，任意的介质分布都成立。
若介质就是“真空”或空气，此时
，介质中的高斯定理将还原为高斯定理原来的形式
。
和电场强度E相似，电位移矢量D也在电场所在空间构成一个矢量场，其矢量线称为电力线，简称D线。
D线的方向表示D的方向，D线的密度表示D的大小。
D的通量
称为电通量或D通量，表示通过曲面S的D线条数
。
D高斯定理表明：
在闭合面S上的D通量等于曲面S内自由电荷的代数和即净自由电荷。
D高斯定理的物理意义是D线发自于正的自由电荷，终止于负自由电荷。
这与电场线即E线不同，E线始于正电荷，终于负电荷而无论这种电荷是自由的还是束缚的，见下图。
D线的起点和终点与极化电荷无关，但不能认为D与极化电荷无关。
场强E是由自由电荷和极化电荷共同产生的，故E与极化电荷的分布相关，故由E定义的D亦与极化电荷的分布相关。
图9-14是在一个均匀电场中放入一个介质球前后的E线和D线的分布情况，极化电荷对电场的影响，特别是对E和D方向的影响是十分明显的。
E线和D线
均匀电场中放入介质球前后的E线和D线
电位移矢量的单位是c/m2即库伦每平方米，与电荷面密度的单位相同。
二．介质中的高斯定理的应用
介质中高斯定理可以用于求解带电系统和介质都具有高度对称性时产生的电场的场强。
下面我们通过几个例题来讲解它的应用。
用介质中的高斯定理求电场同样要求电荷，包括自由电荷和极化电荷分布满足一定的对称性。
这在实际的导体和介质的静电问题中，则是要求导体和介质本身的形状对称，于是才可能有电荷分布的对称及电场分布的对称，从而能简单地求出D和E来。
【例1】若导体外有介质，求证，导体表面附近的电位移矢量与导体表面电荷面密度的关系为
。
【证明】
如图所示在导体表面附近作一底面为ΔS的闭合柱面S，其侧面与导体表面垂直。
按D高斯定理，柱面上的D通量
由于在导体内
故
，所以柱的下底没有D通量。
由于导体表面是等势面，表面附近E与表面垂直，故D也与表面垂直。
所以柱的侧面也没有D通量。
只有柱面上底面有D通量。
所以有
得到
故命题得证，同时还有
若
为正电荷，D和E垂直于导体表面指向导体外，否则垂直于表面指向导体内。
若介质为空气，则回到原来的导体表面附近场强与电荷面密度的关系
【例2】半径为r1的导体球带电为
，球外有一层内径为r1外径为r2的各向同性均匀介质，介电常量为
，见下图。
求介质中和空气中的场强分布和电势分布。
【解】
由于导体和介质都满足球对称性，故自由电荷和极化电荷分布也满足球对称性，因而电场的E和D分布也具有球对称性，即其方向沿径向发散，且在以O为中心的同一球面上D、E的大小相同。
如图在介质中作一半径为r的球面S1，按D高斯定理
有
故
所以介质中的场强
方向沿径向发散。
同理在介质外作一球面S2，则仍然有
故介质外的场强
方向沿径向发散。
介质中距球心为r的一点的电势为
空气中距球心为r的一点的电势为
电场中有介质时，一般不宜用迭加原理来求场强E和电势V，否则必须要考虑极化电荷
单独产生的那一部分场强
和电势
。
在一定的对称条件下，用D高斯定理求出D，由
得到E，进而用
求出V是常用的方法。
5.4电容器和它的电容
一．电容器的概念
导体可容纳电荷，利用导体的这一性质制成的电容器是电子技术中最基本的元件之一。
我们把两个导体定义为一个电容器，更复杂的情况可以用电容器的串联、并联等概念来处理。
如下图所示，有两个导体A和B组成一个电容器，A、B称为电容器的两个极板。
设两个极板分别带电
和
，若没有外电场的影响，实验证明，两极间的电压V与电量Q成正比
电容器的概念
这个结果可以这样来理解。
若每个极板的电量均增加一倍，则每个地方分布的电荷都应是原来的两倍。
按场强迭加原理，电场中每一点的场强也应是原来的两倍，电压是两极间场强的积分，自然也应是原来的两倍了。
上式中的比例常数
，定义为电容器的电容。
电容取决于电容器的结构即两导体的形状、相对位置及导体周围电介质的性质而与电容器的带电状态无关。
电容描述电容器的容电能力，即电容器中有单位电压时每个极板所带的电量。
实际上，如上图所示的那样两个一般的导体构成的电容器的电容很小，而且容易受到外电场的干扰而影响到Q和U的正比例关系。
通常的实用电容器是由两个距离很近的导体板构成（如平板电容器），或是把电容器的一个极板做成一个导体空腔，另一个极板放在空腔之内形成屏蔽（如圆柱形电容器，和球形电容器），这样做的好处是电容器的电容较大而且不容易受到外电场的影响。
二、常见电容器及其电容的计算
1、平板电容器
平板电容器
一般的平板电容器由夹有一层介质的两个平行而靠近的金属薄板A、B构成，见上图。
设A板带电
，B板带电
，忽略边缘效应，电荷将各自均匀地分布在两板的内表面，电荷面密度的大小为
。
由D高斯定理可求得两板间的电位移矢量
两板间的电场强度为
其中
为介质的介电常量，场强方向由A板指向B板。
两板间的电压为
其中积分沿场强的方向进行。
故平板电容器的电容为
显然，平板电容器的电容取决于两板的形状（S）、相对位置（d）和介质的性质（
）。
平板电容器充满介质后与不充介质时电容的比值
即与相对介电常量成正比，因而
又称为介质的相对电容率，
为介质的电容率，
为真空的电容率。
2、圆柱形电容器
圆柱形电容器
圆柱形电容器由两个同轴的金属圆筒A、B构成，见上图。
两个圆筒的长度均为L，内筒的外径为RA，外筒的内径为RB，它们之间的介质的介电常量为
，设A筒带电
，B筒带电
。
忽略边缘效应，电荷应各自均匀地分布在A筒的外表面和B筒的内表面上，单位长度上的电量
。
由D高斯定理可求得两筒之间距离轴线为r的p点的电位移矢量
进而求出电场强度
场强方向沿半径方向由A筒指向B筒。
将场强沿径向积分可得到两筒间的电压
故圆柱形电容器的电容
单位长度上的电容为
3、球形电容器
球形电容器
球形电容器由两个同心的导体球壳A、B构成，见上图。
设内球的外径为RA，外球的内径为RB，两球间介质的介电常量为
。
若内球带电
，外球带电
，则电荷将形成两个均匀带电球面，通过D高斯定理可求得两球之间距离球心为r的p点的的场强
方向沿半径方向。
两球之间的电压
故球形电容器的电容为
一个孤立的导体球可当作是球形电容器的一种特殊情况，即
的情况。
设若
，此时B球上的电荷
将均匀地分布在一个无穷大的球面上，实际上可以认为该电荷分布已可忽略不计。
此时B球在无穷远处,电势为零，A、B球之间的电压就是A球的电势。
设介质为空气，则A球电势为
其中R即A球半径，孤立导体球的电容为
显然，此式也可由前面的式子直接取
而来。
从以上三种电容器的计算结果可以看出，两个极板间距越小,电容的值越大。
但间距小了也会产生另一个问题，即电容器容易击穿。
对于额定的电压，两板间距越小，介质中的场强越强，当场强超过一定的限度（击穿场强）时，分子中的束缚电荷能在强电场的作用下变成自由电荷，这时电介质将失去绝缘性能而转化为导体，电容器被破坏。
三．电容的联接
在实际应用中，若已有的电容器的电容或耐压值不满足要求时，可以把几个电容联接起来构成一个电容器组，联接的基本方式有并联和串联两种。
1、并联电容器
下图表示几个电容器的并联。
充电以后，每个电容器两个极板间的电压相等，设为U，有
U也就是电容器组的电压。
电容器组所带总电量为各电容器电量之和
所以电容器组的等效电容为
由于
为每个电容器的电容，所以有
即并联电容器的等效电容等于每个电容器电容之和。
电容器的并联
2、串联电容器
下图表示n个电容器的串联，充电后，由于静电感应，每个电容器都带上等量异号的电荷
和
，这也是电容器组所带电量，故有
电容器组上的总电压为各电容器的电压之和
为了方便，我们计算等效电容的倒数
即有
此式表示串联电容器的电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和。
电容器的串联
【例1】平行板电容器两板面积均为S。
在两板间平行地重迭地放置两块面积也是S，厚度分别为d1和d2，介电常量分别为
和
的介质板，见下图，求电容器的电容。
【解】
设两个极板A、B分别带电
和
，面电荷密度
。
忽略边缘效应，两种介质中分别出现均匀电场，场强E和电位移矢量D均垂直于平板向下。
如图，作两个底面积分别为ΔS1和ΔS2的柱形高斯面S1和S2，两底与平板平行，侧面与平板垂直。
由于它们的上底在导体板内，E=0，D=0，所以D通量为零。
侧面与D线平行，所以D通量也为零，所以只有下底有D通量。
注意下底分别在两种介质中，由D高斯定理
有
得到
即此时两种介质中的D是相等的。
两种介质中的场强
两板之间的电压
所以电容器的电容为
或记作
可见当平板电容器中平行的重迭放置两种介质时，其电容相当于两个平板电容器的串联。
这两个电容器的板面积仍为S，板距分别为d1和d2，其中介质的介电常量分别为
和
。
5.5电容的能量
一、电容器的能量
电容器充电对外力作功
一个电容器在没充电的时候是没有电能的，在充电过程中，外力要克服电荷之间的作用而作功，把其它形式的能量转化为电能。
如上图所示，一电容器正在充电，在充电过程中，无论是用什么装置、什么方法，总是要不断地把电荷从一个极板输运到另一个极板，从而使两个极板带上等量异号的电荷。
设输运的电荷为正电荷，在某一个微元过程中，有数量为dq的电荷从负极输运到了正极A。
若此时电容器带电量为q，两极板间电压为U，则该微元过程中外力克服电场力作功为
若在整个充电过程中电容器上的电量由0变化到Q，则外力的总功为
按能量转换并守恒的思想，一个系统拥有的能量，应等于建立这个系统时所输入的能量。
在电容器充电的过程中，能量是通过作功输入到电容器中的，外力的功表现为能量转换的量度。
于是我们可以肯定，一个电量为Q，电压为U的电容器贮存的电能应该为
图中形式上是一个平板电容器，但我们讨论的过程中并没有涉及到平板电容器的特性，而是对任意电容器都能适用，所以上式的结论是普遍地成立的。
二、静电场的能量
电容器中贮存的能量究竟是贮藏在电荷之中还是在电场之中在静电学中是无法判断的，因为电场总是与电荷伴随而不可能分开。
在一般的电磁场理论中这个问题不难解决。
例如现在人类已能探测到一百亿光年以外星体的发光，光是电磁波即变化的电磁场。
最初产生电磁场的那些电荷分布现在是否存在我们无从知道，但它产生的电磁场所依然存在，并能携带着能量来启动我们的仪器使我们探测到它的存在，可见能量确实存在于场之中，电能就是电场的能量（同样，磁能也就是磁场的能量，见后面的知识点）。
让我们来计算一个平板电容器的电能
其中V表示电场的体积。
此结果表明，对一定的介质中一定强度的电场，电能与电场体积成正比，这与我们说电能是存贮于电场中的能量的说法是一致的。
平板电容器中的电场是均匀电场，因而电场能量的分布也应该是均匀的，所以我们能求出单位体积内的电场能量即电场的能量密度
可记作
可以证明，此式是普遍正确的。
有了电场能量密度以后，对任意的电场，可以通过积分来求出它的能量。
在电场中取体积元dv，在dv内的电场能量密度可看作均匀的，于是dv内的电场能量为
，在体积V中的电场能量为
【例1】一球形电容器内、外球的半径分别为
和
，见下图。
两球间充满相对介电常量为
的电介质，求此电容器带有电量Q时所贮存的电能。
【解】
球形电容器充电后，内外两球分别带有电量
和
。
由高斯定理可求出内球内部和外球外部的场强为零，两球之间的场强为
在两球之间取一个半径为r，厚度为dr的球壳，它的体积
球壳内的电场能量密度可看作是均匀的，故球壳内的电场能量为
电容器贮存的电能为
球形电容器的电能也可以直接用电容器贮存电能的公式求出
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