高中数学导数难题.docx

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高中数学导数难题

高中数学——导数难题

5.导函数——不等式

1.已知函数

（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；

（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（Ⅲ）设函数，求证：

．

分析：

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力。

解：

（Ⅰ）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

（Ⅱ）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．由得．

①当时，．此时在上单调递增．

故，符合题意．

②当时，．当变化时的变化情况如下表：

单调递减

极小值

单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

2.设，对任意实数，记

（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：

（ⅰ）当时，对任意正实数成立；

（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。

分析：

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、化归（转化）思想方法

（I）解：

．

由，得．因为当时，，

当时，，当时，，

故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．

（II）证明：

（i）方法一：

令，则，

当时，由，得，当时，，

所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．

方法二：

对任意固定的，令，则，

由，得．当时，；当时，，

所以当时，取得最大值．因此当时，对任意正实数成立．

（ii）方法一：

．由（i）得，对任意正实数成立．

即存在正实数，使得对任意正实数成立．

下面证明的唯一性：

当，，时，，，

由（i）得，，再取，得，

所以，即时，不满足对任意都成立．

故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．

方法二：

对任意，，

因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：

，即，①

又因为，不等式①成立的充分必要条件是，所以有且仅有一个正实数，

使得对任意正实数成立．

3.定义函数fn（x）＝（1＋x）n―1,x＞―2，n∈N*

（1）求证：

fn（x）≥nx；

（2）是否存在区间[a，0]　（a＜0），使函数h（x）＝f3（x）－f2（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]?

若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由.

分析：

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．分类讨论、数形结合思想方法

解：

（1）证明：

fn（x）－nx＝（1＋x）n－1－nx，

令g（x）＝（1＋x）n－1－nx,则g'（x）＝n[（1＋x）n―1―1].

当x∈（－2，0）时，g'（x）＜0,当x∈（0，＋∞）时，g'（x）＞0，

∴g（x）在x＝0处取得极小值g（0）＝0，同时g（x）是单峰函数，

则g（0）也是最小值.∴g（x）≥0,　即fn（x）≥nx　（当且仅当x＝0时取等号）.

注：

亦可用数学归纳法证明.

（2）∵h（x）＝f3（x）－f2（x）＝x（1＋x）2　∴h'（x）＝（1＋x）2＋x·2（1＋x）＝（1＋x）（1＋3x）

令h'（x）＝0,得x＝－1或x＝－，　

∴当x∈（―2，―1），h'（x）＞0；当x∈（―1，―）时，h'（x）＜0；

当x∈（－,＋∞）时，h'（x）＞0.

故作出h（x）的草图如图所示，讨论如下：

①当时，h（x）最小值h（a）＝ka　∴k＝（1＋a）2≥

②当时　h（x）最小值h（a）＝h（－）＝＝ka　　∴

③当时　h（x）最小值h（a）＝a（1＋a）2＝kak＝（1＋a）2≥，时取等号.

综上讨论可知k的最小值为，此时[a，0]＝[，0].

例4.已知在区间上是增函数。

（1）求实数的值组成的集合A；

（2）设关于的方程的两个非零实根为、。

试问：

是否，使得不等式对及恒成立？

若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。

分析：

本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．函数方程思想、化归（转化）思想方法

解：

（1）∵

∴

∵在上∴对恒成立

即，恒有成立

设∴

（2）

∵∴、是方程的两不等实根，且，

∴

∵对及恒成立

∴对恒成立

设，

∴对恒成立

∴

∴满足题意

5.已知函数。

（1）求函数的反函数和的导函数；

（2）假设对，不等式成立，求实数的取值范围。

分析：

本题主要考查反函数的概念及基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力．化归（转化）思想方法

解：

（1）

∴∵∴

（2）∵，成立

∴

∴

设，

∴恒有成立

∵∴

∴∴，

∴，在上

∴

即

∵∴在上

∴

∴的取值范围是

6.设函数.

（Ⅰ）当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;

（Ⅱ）对任意的实数x,证明＞

（Ⅲ）是否存在,使得a＜＜恒成立?

若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.

（Ⅰ）解：

展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是

（Ⅱ）证法一：

因

证法二：

因

而

故只需对和进行比较。

令，有，由，得

因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值

故当时，，从而有，亦即

故有恒成立。

所以，原不等式成立。

（Ⅲ）对，且

有

又因，故

∵，从而有成立，

即存在，使得恒成立。