小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题.docx

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小学数学比和比例问题知识汇总及解析例题

小学数学知识总结之比和比例应用题

【求比的问题】

　　例1两个同样容器中各装满盐水。

第一个容器中盐与水的比是2∶3，第二个容器中盐与水的比是3∶4，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是____。

　　（无锡市小学数学竞赛试题）

　　则混合溶液中，盐与水的比是：

　　某电子产品去年按定价的80％出售，能获利20％，由于今年买入价降

　　（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

即：

　　【比例问题】

　　例1甲、乙两包糖的重量比是4∶1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7∶5那么两包糖重量的总和是____克。

　　（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

　　例2甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。

第二次将乙容器中的一部分混合液倒入甲容器。

这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精含量为25％，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是____升。

　　（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

　　讲析：

因为现在乙容器中纯酒精含量为25％，所以，乙容器中酒精与水的比为25％∶（1-25％）=1∶3

　　第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5∶15=1∶3

　　又甲容器中纯酒精含量为62.5％，则甲容器中酒精与水的比为62.5％∶（1-62.5％）=5∶3

　　第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为5∶3，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份，水作3份。

那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）

　　6升算作4份，这样可恰好配成5∶3。

　　而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1＋3=4（份），所以也应是6升。

一.比的意义和性质

（1） 比的意义 

 两个数相除又叫做两个数的比。

 “：

”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

 同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

 比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值

（2）比的性质 

 比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

（3） 求比值和化简比 

 求比值的方法：

用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

 根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

（4）比例尺 

 图上距离：

实际距离=比例尺 

 要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

 线段比例尺：

在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

（5）按比例分配 

 在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配的方法通常叫做按比例分配。

 方法：

首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2 比例的意义和性质 

（1） 比例的意义 

 表示两个比相等的式子叫做比例。

 组成比例的四个数，叫做比例的项。

 两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

（2）比例的性质 

 在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

（3）解比例 

 根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

3 正比例和反比例 

（1） 成正比例的量 

 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

 用字母表示y/x=k（一定） 

（2）成反比例的量 

 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

 用字母表示x×y=k（一定） 

二正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。

许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：

把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

例1修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？

例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

关键：

做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

例3孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？

三按比例分配问题

【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：

一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。

总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

例2用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。

三条边的长各是多少厘米？

例3从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

四列方程

例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？

例2仓库里有化肥940袋，两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车每次运125袋，乙汽车每次运多少袋？

智趣题

学校买了4张办公桌和1把椅子，共用去510元，后又买来6张办公桌和1把椅子共用去750元。

求每张办公桌和每把椅子各多少元？

作业

1．一台拖拉机第一天上午3小时平均每小时耕地7.8公亩，下午4小时平均每小时耕地8.1公亩，第二天用了5小时耕地38.4公亩，正好完成任务。

这台拖拉机平均每天耕地多少公亩?

2．王、张两人各带同样多的钱去商店买花布，同种的花布小王买了9米，小张买了6米。

王向张借了12元，两人的钱刚好用完。

这种花布每米多少元?

比的应用练习题

1、两个相同的瓶子都装满了酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积比是3：

1，另一个瓶中酒精与水的体积比是4：

1。

如果把这两个瓶中酒精溶液混合，混合溶液中酒精和水的比是（          ）。

2、五角人民币与贰角人民币的张数比为12：

35，那么伍角与贰角的总钱数比为（      ）。

3、甲、乙、丙三个数的平均数是60。

甲、乙、丙三个数的比是3：

2：

1。

甲、乙、丙三个数各是多少？

4、一个直角三角形的两个锐角度数的比是2：

1，这两个锐角分别是多少度？

5、大、小两瓶油共重2.7千克，大瓶的油用去0.2千克后，剩下的油与小瓶内油的重量比是3：

2。

求大、小瓶里各装油多少千克？

6、甲、乙、丙三位同学共有图书108本，乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5：

4，求甲、乙、丙三人各有图书多少本？

7、一个直角三角形的三条边总和是60厘米，已知三条边的比是3：

4：

5.这个直角三角形的面积是多少平方厘米？

8、一个直角三角形的周长为36厘米，三条边的长度比是3：

4：

5，这个三角形的面积是多少平方厘米？

9、一瓶盐水，盐和水的重量比是1：

24，如果再放入75克水，这时盐与水的重量比是1：

27，原来瓶内盐水重多少千克？

10、盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数的比是2：

3，红球个数与白球个数的比是4：

5。

已知三种颜色的球共175个，红球有多少个？

11、王老师用100元去买了20支圆珠笔和10支钢笔，每支钢笔的价钱和每支圆珠笔的价钱的比是3：

1。

问买圆珠笔和钢笔各花了多少元？

12、甲、乙两包糖果的重量的比是4：

1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖果重量的比变为7：

5。

那么两包糖果重量的总和是多少？

13、某小学男、女生人数之比是16：

13，后来有几位女生转学到这所学校，男、女生人数之比变成为6：

5，这时全体学生共有880人，问转学来的女生有多少人？

14、小明读一本书，已读的和末读的页数比是1：

5。

如果再读30页，则已读的和末读的页数之比为3：

5。

这本书共有多少页？

15、运输队要运一批货物，已经运走的和剩下的比是1：

4。

如果再运走4吨，那么运走的和剩下的比为3：

7。

这批货物共多少吨？

16、甲、乙、丙三人的彩球数的比例为9：

4：

2，甲给了丙30个彩球，乙也给了丙一些彩球，比例变为2：

1：

1。

乙给了丙多少个彩球？

溶液问题

一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.

从一些基本问题开始讨论.

例15基本问题一

（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？

（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？

解：

（1）浓度10％，含糖80×10％＝8（克），有水80-8＝72（克）.

如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水

　　100-8＝92（克）.

还要加入水92-72＝20（克）.

（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40-8＝32（克）.

如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有

　　x∶32＝40％∶（1-40％），

例16基本问题二

　　20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：

20％与5％食盐水各需要多少克？

解：

20％比15％多（20％-15％），5％比15％少（15％-5％），多的含盐量

　　（20％-15％）×20％所需数量

要恰好能弥补少的含盐量

　　（15％-5％）×5％所需数量.

也就是

画出示意图：

相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.

答：

需要浓度20％的600克，浓度5％的300克.

这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.

　　例17某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价85％出售，蓝笔按定价80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔30支，问红笔买了几支？

解：

相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.

　　（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.

按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.

设买红笔是x支，可列出比例式

　　5x∶9×30＝2∶3

答：

红笔买了36支.

配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.

例18甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？

解：

利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是

后一次混合，甲、乙数量之比是

这与上一讲例14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.

5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即

现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这

答：

第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.

例19甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？

解：

要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.

甲中含盐量：

乙中含盐量

　　=300×8％∶120×12.5％

　　=8∶5.

现在要使

　（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.

把“300克+倒入水”算作8份，“120克+倒入水”算作5份，每份是

　　（300-120）÷（8-5）=60（克）.

倒入水量是60×8-300＝180（克）.

答：

每一容器中倒入180克水.

例20甲容器有浓度为2％的盐水180克，乙容器中有浓度为9％的盐水若干克，从乙取出240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：

（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？

（2）再往乙容器倒入水多少克？

解：

（1）现在甲容器中盐水含盐量是

　　180×2％＋240×9％＝25.2（克）.

浓度是

　　25.2÷（180＋240）×100％=6％.

（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水240克后，乙的浓度仍是9％，要含有25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），

还要倒入水420-280＝140（克）.

答：

（1）甲容器中盐水浓度是6％；

（2）乙容器再要倒入140克水.

例21甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含

乙两种含金样品中含金的百分数.

解：

因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.

用例17方法，画出如下示意图.

因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以

　　（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）

　　＝2∶1

　　＝6∶3.

注意：

6+3＝2＋7＝9.

那么每段是

因此乙的含金百分数是

甲的含金百分数是

答：

甲含金60％，乙含金72％.

用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.