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论文阵容安排
基于女子体操团体赛出场阵容问题的优化模型
摘要
体坛界团体赛的出场阵容安排问题已经成为当代社会的热点问题。
本文针对女子体操团体赛的出场阵容安排问题，在符合赛程规定的前提下，为得到理想的团体总分，相应建立了0-1规划模型，并得到该团队的出场阵容安排。
模型一：
针对问题一
（1），要以选手的各单项得分的最悲观情况计算该团队尽可能高的总分并安排出场阵容，建立0-1规划模型。
利用Lingo求解，解得该队的团体最高总分为212.3分，出场阵容为：
运动员2，5，6，9参加四项全能比赛；运动员1参加跳马比赛；运动员3参加自由体操；运动员4参加平衡木和跳马比赛；运动员7参加高低杠比赛；运动员8参加平衡木比赛；运动员10参加高低杠和自由体操。
模型二：
针对问题一
（2），要以选手的各单项得分的均值计算该团队尽可能高的总分并安排出场阵容，建立0-1规划模型。
仍利用Lingo求解，解得该队的团体最高总分为225.1分，出场阵容为：
运动员2，3，9，10参加四项全能比赛；运动员1，4参加跳马比赛；运动员5，8参加平衡木和自由体操；运动员6，7参加高低杠比赛。
模型三：
针对问题二
（1），要为该队排出一个夺冠的出场阵容，但要保证夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，建立规划模型，并以正态分布函数模拟得分与概率和关系。
同样用Lingo求解，解得该队表现最好时的团队总分为236.2分。
对于问题二
（2），在模型三的出场阵容下，通过正态分布函数模拟分析它有90％的把握能战胜团队总分为220.85分的对手。
该队的出场阵容为：
运动员4，8，9，10参加四项全能比赛；运动员1参加平衡木和跳马比赛；运动员2参加跳马比赛；运动员3，5参加自由体操；运动员6参加高低杠比赛；运动员7参加高低杠和平衡木比赛。
以上模型同样适用于体育界其他团体比赛的阵容安排，另外，还可用于解决露天矿生产的车辆安排、消防车的调度等问题。
本文最后对模型的优缺点作出了分析。
关键词:
0-1规划模型正态分布函数概率模拟Lingo软件
一、问题重述
一场女子体操团体赛由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成。
根据赛程规定，每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。
每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，且参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三个单项。
每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。
每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和。
问题一：
（1）按每个选手的各单项得分的最悲观情况估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。
（2）按每个选手的各单项得分的均值估算，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。
问题二：
（1）根据以往资料及近期各种信息的反映，本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，为该队排出一个夺冠的出战阵容，分析其夺冠的前景、得分前景（即期望值）。
（2）若以该阵容出战，它有90％的把握战胜怎样水平的对手。
二、问题分析与建模思路
女子体操团体赛有4项比赛项目，赛程规定每个队最多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。
因为每个代表队的总分是所有参赛选手所得总分之和，若要使该团队的总分尽可能高，则该队的10名队员都必须参赛，且每个项目都有6名队员参加。
对于问题一，在按每个选手各单项得分的最悲观情况和均值估算的前提下，为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。
但因为赛程规定的约束，每个运动员只能参加全能比赛或单项比赛中的一类。
所以需要设定一个0-1决策变量
，当运动员参加全能比赛时，记为1；当运动员参加单项比赛时，记为0。
即：
对于问题二
（1），该队想要夺冠，其选手出场阵容团体总分必须不少于236.2分，但超过236.2分的出场阵容也许有多种，所以需要在超过236.2分的众多阵
容中寻找一个分数超过236.2分的概率最高的阵容，也就是夺冠概率最高的阵容。
对于问题二
（2），要计算该队能有90％的把握战胜怎样水平的对手，则需计算出该队在问题二
（1）的出场阵容下，分数在90％处的值，即此值是该队可战胜的对手的分数。
针对不同的问题要求，再建立相应的规划模型。
三、基本假设与符号说明
3.1基本假设
假设一：
该团队10名运动员都参加比赛，中途也没有出现意外退赛现象。
假设二：
有4人参加全能比赛，其余运动员都参加单项比赛。
假设三：
每个项目都有6名选手参加。
假设四：
每个选手参赛时的成绩及其相应的概率都和测试时一致。
3.2符号说明
符号含义
第
项比赛项目
第
名运动员
0-1决策变量
第
名运动员参加第
项比赛项目
第
名运动员参加第
项比赛项目的得分
第
名运动员参加第
项比赛项目得分的概率
第
名运动员参加第
项比赛项目得分的均值
所有运动员参赛总成绩的均值
所有运动员参赛总成绩的均值之和
所有运动员得分方差
所有运动员得分方差之和
四、模型的建立与求解
4.1模型一
4.1.1模型一的建立
针对问题一
（1），要以每个选手各单项得分最悲观的情况来计算该团队尽可能高的总分，建立模型一。
目标函数：
该团队总分为所有选手参赛项目按最悲观的单项得分求和
约束条件：
约束一：
全能比赛只允许4个人参加，所以
约束二：
每一个项目至多只能有6个选手参加,所以
约束三：
由于每个运动员只能参加全能比赛或单项比赛，于是引进一个0-1决策变量
建立函数
，令
另外，
也取0-1决策变量。
综上所述，建立0-1规划模型：
（1）
4.1.2模型一的求解
通过Lingo软件对模型一进行求解，得出该队按最悲观的单项得分情况计算的团体最高总分为212.3分，出场阵容结果见表1（注:
1所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：
表1
项目
运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
高低杠
1
1
1
1
1
1
平衡木
1
1
1
1
1
1
跳马
1
1
1
1
1
1
自由体操
1
1
1
1
1
1
由上表结果可得到以下结论：
该团队10名运动员出场阵容安排为：
结论1运动员2，5，6，9参加四项全能比赛；
结论2其他运动员参加单项比赛，其中：
运动员1参加跳马比赛；运动员3参加自由体操；运动员4参加平衡木和跳马比赛；运动员7参加高低杠比赛；运动员8参加平衡木比赛；运动员10参加高低杠和自由体操。
4.2模型二
4.2.1模型二的建立
针对问题一
（2），要以每个选手各单项得分的均值来计算该团队尽可能高总分，建立模型二。
选手得分均值为
目标函数：
该团队总分为所有选手参赛项目按单项得分均值求和
约束条件与模型一相同。
建立以下0-1规划模型：
（2）
4.2.2模型二的求解
通过Lingo软件对模型二进行求解，得出该队按单项得分均值计算的团体最高总分为225.1分，出场阵容结果见表2（注：
1所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：
表2
项目
运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
高低杠
1
1
1
1
1
1
平衡木
1
1
1
1
1
1
跳马
1
1
1
1
1
1
自由体操
1
1
1
1
1
1
由上表结果可得到以下结论:
该团队10名运动员出场阵容安排为：
结论1运动员2，3，9，10参加四项全能比赛；
结论2其他运动员参加单项比赛，其中：
运动员1，4参加跳马比赛；运动员5，8参加平衡木和自由体操；运动员6，7参加高低杠比赛。
4.3模型三
4.3.1模型三的建立
针对问题二
（1），该队想要夺冠，其选手出场阵容团体总分必须大于或等于236.2分，且需要在超过236.2分的众多阵容中找到一个均值最高的阵容。
建立模型三：
选手得分均值总和为：
选手得分方差为：
选手得分方差总和为：
目标函数：
该团队总分为所有选手参赛项目按单项得分均值求和
将目标函数进一步转化为：
约束条件与模型一、二相同。
综上，建立以下规划模型：
（3）
4.3.2模型三的求解
对于问题二
（1），用Lingo求解得到该队表现最好时的团队总分为236.2分，夺冠的概率为1.9425e-008接近于0。
对于问题二
（2），在模型三的阵容安排下，要求它有90％的把握战胜怎样水平的对手，也就是求它有90%的概率达到多少分。
即对正态分布函数：
求解。
通过正态分布函数模拟分析并求解，解得值为220.85分，即该队有90%的把握战胜总分为220.85分的对手。
并利用Matlab软件画出了该团队夺冠的概率分布图和有90%的概率战胜怎样对手的概率分布图。
该队安排的出场阵容如表3所示（注：
1所在位置对应表示某名运动员参加某项比赛项目）：
表3
项目
运动员
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
高低杠
1
1
1
1
1
1
平衡木
1
1
1
1
1
1
跳马
1
1
1
1
1
1
自由体操
1
1
1
1
1
1
由上表结果可得到以下结论:
该团队10名运动员出场阵容安排为：
结论1运动员4，8，9，10参加四项全能比赛；
结论2其他运动员参加单项比赛，其中：
运动员1参加平衡木和跳马比赛；运动员2参加跳马比赛；运动员3，5参加自由体操；运动员6参加高低杠比赛；运动员7参加高低杠和平衡木比赛。
该团队夺冠的概率分布图：
该团队有90%把握战胜对手的概率分布图：
五、模型的优缺点
优点：
（1）用0-1决策变量能较快地定位出哪个运动员参加哪项比赛项目；
（2）使用Lingo软件编程，结构清晰明了，三维决策变量构造巧妙，适合解决此类型问题。
（3）使用Matlab软件绘制正态分布概率图，可以清楚地反映出该队在各种状态下的概率分布。
缺点：
（1）模型考虑的因素不够全面，如没有考虑到运动员心理素质等因素对比赛成绩的影响。
（2）模型用于解决实际问题时有一定局限性。
六、参考文献
[1]陈伟.0-1二次规划的全局最优性条件及算法[D].上海大学2005
[2]尹伟.系统论视角下的篮球场上队员配置策略研究[J].体育科技文献通报.2008（01）
[3]梅正阳，韩志斌.数学建模教程.北京：
科学出版社，2012.
[4]杨启帆.数学建模.北京：
高等教育出版社，2005.
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