武汉科技大学本科历年运筹学试题.doc
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2002级（A）
参考答案
1.写出下述线性规划模型的标准型。
（10分）
解：
令
原问题标准化为：
2.有线性规划模型：
（10分）
（1）用图解法求解；
（2）用单纯形法求解；
（3）指出每个单纯形表的可行域顶点。
解：
（1）用图解法求解；
∴X*=（1，1/2）T；Z*=35/2
（2）用单纯形法求解；
原模型标准化为：
则求解过程为：
Cj
-10-500
b
CB
XB
x1x2x3x4
0
0
x3
x4
3410
5*201
9
8
σj
-10-500
0
0
-10
x3
x1
014/51-3/5
12/501/5
24/5
8/5
σj
0-102
16
-5
-10
x2
x1
015/14-3/14
10-1/72/7
3/2
1
σj
005/1425/14
35/2
T0
T1
T2
∴X*=（1，1/2）T；Z*=35/2
（3）指出每个单纯形表的可行域顶点。
T0表对应O点；T1表对应B点；T2表对应A点，也是最优点。
3.求解：
（10分）
解：
原问题标准化为：
用对偶单纯形法求解为：
Cj
52400
b
CB
XB
x1x2x3x4x5
0
0
x4
x5
-3-1-210
-6-3*-501
-4
-10
σj
52400
0
0
2
x4
x2
-1*0-1/31-1/3
215/30-1/3
-2/3
10/3
σj
102/302/3
20/3
-5
-10
x1
x2
101/3-11/3
0112-1
2/3
2
σj
001/311/3
22/3
∴X*=（2/3，2，0）T；Z*=22/3
（注：
用大M法、两阶段法求解均可）
4.写出线性规划问题：
的对偶规划。
（10分）
解：
原问题的对偶规划为：
5.有一最小化指派问题的系数矩阵如下，试求其最优解。
（10分）
解：
用匈牙利算法求解为：
变换后：
-5
再变换为：
再变换：
∴Z*=28
6.写出函数的梯度和海赛矩阵，并判断其凹凸性。
（10分）
解：
的梯度矩阵为：
的海赛矩阵为：
这里H矩阵的各阶主子式均大于0，所以为严格凸函数。
7.某厂有4台设备，拟分给3个用户（工厂）使用，各用户利用设备提供的盈利如下表。
问如何分配设备才能使总盈利最大？
试建立其动态规划求解模型（可不求解）。
（10分）
用户
设备台数
1
2
3
0
1
2
3
4
0
4
6
7
7
0
2
5
6
8
0
3
5
7
8
解：
根据题意，原问题用动态规划求解模型为：
（1）按用户分为3阶段，K=（1，2，3，4），k=4为终了阶段；
（2）xk：
第k阶段初拥有待分配设备台数；x1=4，0≤x2≤4，0≤x3≤4，x4=0；
（3）uk：
第k阶段分配给第k用户的设备数，
有：
U1={0,1,2,3,4}，U2={0,1,2,…,x2}，U3={x3};
（4）状态转移方程：
；
（5）阶段指标：
见表，如：
；；
（6）递推方程：
（7）边界条件：
。
v6
v5
v4
v3
2,2
5,3
3,0
1,0
2,2
5,2
4,3
3,3
v1
v2
8.证明下图所示v1至v6流为最大流。
弧边数字为。
（10分）
证明：
对原流图用标号法找可扩充路有：
v6
v5
v4
v3
2,2
5,3
3,0
1,0
2,2
5,2
4,3
3,3
v1
v2
（-，∞）
（v1,3）
标号过程进行不下去，即不存在v1-v6的可扩充路，根据可扩充路定理，图示流即为最大流,maxQ=5。
9.下图为求至的最小费用最大流时得到的某一流图，弧边数字为，试构造其费用有向图（流增量图）。
（10分）
v14,4,1v37,4,6v5
8,5,43,0,22,0,35,5,2
v2v4
6,5,1
解：
由原流图可作出其费用有向图为：
v1-1v36v5
-6
-4423-2
-1
v21v4
10.某商行夏季订购一批西瓜，根据以往的经验，西瓜销售量可能为10000、15000、20000、25000kg。
假定西瓜售价为0.35元/kg，商行支出成本为0.25元/kg。
（1）建立益损矩阵；（3分）
（2）分别用悲观法、乐观法、等可能法和后悔值法确定西瓜订购数量。
（7分）
解:
（1）原问题的益损矩阵为；
αi Sj
10000150002000025000
10000
15000
20000
25000
1000100010001000
-250150015001500
-150025020002000
-2750-10007502500
（2）悲观准则：
∴
乐观准则：
∴
等可能准则：
∴
后悔值准则：
后悔值矩阵为：
则
∴
（答题毕）
2002级（B）
参考答案
1.求解线性规划问题：
的最优解。
（15分）
解：
图解过程如下：
4
3
2
1
4
3
2
1
0
2.写出下述线性规划的对偶规划。
（15分）
；无限制。
解：
对偶规划为MaxZd=-7w1+14w2+3w3
s.t.w1+6w2+28w3≤5
2w1-3w2+17w3≤-6
-w1+w2-4w3=7
-w1-7w2-2w3=4
w1无限制，w2，w3≥0。
3.某一求目标函数极小值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到某一步的单纯形表如下。
问a1、a2、a3、c、d各为何值以及变量x属哪一类性质变量时，
（1）现有的解为唯一最优解；
（2）现有解为最优，但最优解有无穷多个；
（3）存在可行解，但目标函数无界；
（4）此线性规划问题无可行解。
（15分）
基变量
x1x2x3x4x5
b
x3
x4
x5
-13100
a14010
a2a3001
4
1
d
cj-zj
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