初三数学四边形.docx

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初三数学四边形

一．解答题（共30小题）

1．（2006•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．

（1）求∠C的度数；

（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值．

2．（2000•安徽）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：

（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？

把你想到的方案画成草图．

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

3．（2011•雅安）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为

，求证：

四边形AECF是菱形．

4．（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O．

（1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H；

（2）在

（1）的图中，找出一个与△BHF全等的三角形，并证明你的结论．

5．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？

请说明理由．

6．（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

7．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

8．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

9．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

10．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．

（1）求证：

∠DAE=∠DCE；

（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？

并证明你的结论．

11．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

12．（2011•济宁）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：

四边形BEDF是菱形．

13．（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

14．（2011•西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．

（1）求证：

四边形AODE是菱形；

（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是　_________　．

15．（2010•沈阳）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为边AB，AD的中点，连接EF，OE，OF，求证：

四边形AEOF是菱形．

16．（2011•湘西州）如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠ACB=30°，AB=2．

（1）求AC的长．

（2）求∠AOB的度数．

（3）以OB、OC为邻边作菱形OBEC，求菱形OBEC的面积．

17．（2011•福州）已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

18．（2010•凉山州）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．

（1）求证：

AF=EC；

（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：

n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．

19．（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．

（1）求证：

△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？

并证明你的结论．

20．（2010•肇庆）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．

（1）求证：

四边形ABCD是矩形；

（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．

21．（2010•安顺）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：

四边形ADCE为矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？

并给出证明．

22．（2009•聊城）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：

OC=

EF；

（2）当点O位于AC边的什么位置时，四边形AECF是矩形？

并给出证明．

23．如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？

请予以证明；

（2）在

（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？

为什么？

24．如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的点，且AE=BF=CG=DH．

求证：

四边形EFGH是矩形．

25．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：

四边形AEBD是矩形．

26．如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．

（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；

（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？

说明理由．

27．如图，矩形ABCD中，AB=20cm、BC=30cm，在距边12cm、距C点20cm的点O处有一钉子．动P、Q同时从点A出发，点P沿A→B→C方向以5cm/s的速度运动，到点C停止运动；点Q沿A→D方向以3cm/s的速度运动，到点D停止运动．P、Q两点用一条可伸缩的橡皮筋连接，设两动点运动t（s）后橡皮筋扫过的面积为y（cm2）．

（1）当t=4时，求y的值；

（2）问：

t为何值时，橡皮筋刚好接触钉子（即P、O、Q三点在同一直线上）；

（3）当4＜t≤10时，求y与t之间的函数关系式．

28．如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．

（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？

猜想并证明你的结论．

（2）在

（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

29．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：

平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

30．已知▱ABCD的对角∠BAD和∠BCD互补．

（1）求∠BAD的度数；

（2）若AC=x+

+1，BD=3+

﹣x，求x的值．

答案与评分标准

一．解答题（共30小题）

1．（2006•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补．

（1）求∠C的度数；

（2）若BC＞CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；

（3）若CD=6，BC=8，S四边形ABCD=49，求AB的值．

考点：

多边形内角与外角；直角三角形全等的判定；正方形的判定；相似三角形的判定与性质。

专题：

综合题。

分析：

（1）根据多边形的内角和公式可得到∠C的度数为90°；

（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．可以根据已知利用AAS来判定△ABE≌△ADF从而得到AE=AF，即得到四边形AECF是正方形；

（3）连接BD，根据勾股定理求得BD的长，根据已知得到△ABD的面积，从而可求得AM的长，再根据相似三角形的判定得到△ABM∽△ABD．根据相似三角形的对应边成比例可得到BM的长，再根据勾股定理即可求得AB的长．

解答：

解：

（1）∵∠ABC与∠ADC互补，

∴∠ABC+∠ADC=180°．

∵∠A=90°，

∴∠C=360°﹣90°﹣180°=90°；

（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E．

则线段AE把四边形ABCD分成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形．

过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，

∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，

∴∠ABC=∠ADF．

∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，∴△ABE≌△ADF．

∴AE=AF．∴四边形AECF是正方形；

（3）解法1：

连接BD，

∵∠C=90°，CD=6，BC=8，Rt△BCD中，BD=

=10

又∵S四边形ABCD=49，∴S△ABD=49﹣24=25．

过点A作AM⊥BD垂足为M，

∴S△ABD=

×BD×AM=25．∴AM=5．

又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△DAM．

∴

=

．

设BM=x，则MD=10﹣x，

∴

=

．解得x=5．

∴AB=5

．

解法2：

连接BD，∠A=90°．

设AB=x，AD=y，则x2+y2=102，①

∵

xy=25，∴xy=50．②

由①，②得：

（x﹣y）2=0．

∴x=y．

2x2=100．

∴x=5

．

点评：

此题考查了学生对正方形的判定、相似三角形的判定、全等三角形的判定等知识点的综合运用能力．

2．（2000•安徽）我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料辅成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面．现在，问：

（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？

把你想到的方案画成草图．

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

考点：

平面镶嵌（密铺）。

分析：

（1）看顶点处的内角和是否等于360°即可；

（2）要求是不一定是正多边形组成平面镶嵌；

（3）两种图形的镶嵌应符合一个顶点处的内角和等于360°即可．

解答：

解：

（1）所用材料的形状不能是正五边形．

因为，正五边形的每个内角都是108°，

要铺成平整、无空隙的地面，必须使若干个正五边形拼成一个周角（360°），但找不到符合条件n×108°=360°的n．故不能全用是正五边形的材料铺地面；

（2）按要求画出草图．

；

（3）

．

点评：

一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：

围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．

3．（2011•雅安）如图，在▱ABCD中，E，F分别是BC，AD中点．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当BC=2AB=4，且△ABE的面积为

，求证：

四边形AECF是菱形．

考点：

平行四边形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定；锐角三角函数的定义。

专题：

证明题。

分析：

（1）根据平行四边形的性质得到AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，推出DF=BE，根据SAS即可推出答案；

（2）过A作AH⊥BC于H，根据三角形的面积求出AH，根据锐角三角函数求出∠B，得出等边三角形AEB，推出AE=BE=AB，推出AF=CF=CE=AE即可．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AD=CB，∠B=∠D，

∵E，F分别是BC，AD中点，

DF=

DA，BE=

CB，

∴DF=BE，

∵AB=DC，∠B=∠D，

∴△ABE≌△CDF．

（2）过A作AH⊥BC于H，

∵BC=2AB=4，且△ABE的面积为

，

∴BE=AB=2，

×EB×AH=

，

∴AH=

，

∴sinB=

，

∴∠B=60°，

∴AB=BE=AE，

∵E，F分别是BC，AD中点，

∴AF=CE=AE，

∵△ABE≌△CDF，

∴CF=AE，

∴AE=CE=CF=AF，

∴四边形AECF是菱形．

点评：

本题主要考查对平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的面积，锐角三角函数的定义，菱形的判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

4．（2011•河池）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，AC与EF相交于点O．

（1）过点B作AC的平行线BG，延长EF交BG于H；

（2）在

（1）的图中，找出一个与△BHF全等的三角形，并证明你的结论．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

（1）根据平行线的作法，即可作出BG，再延长EF即可，如图；

（2）根据图可得出△BHF≌△COF，由AC∥BH，得∠FBH=∠FCO，再由BF=CF，得出结论即可．

解答：

解：

（1）如图：

（2）结论：

△BHF≌△COF．

理由是：

∵AC∥BH，∴∠FBH=∠FCO，

又∵BF=CF，∠BFH=∠CFO，

∴△BHF≌△COF（ASA）．

点评：

本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．

5．（2011•天水）已知，如图E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？

请说明理由．

考点：

平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质。

分析：

首先根据条件证明△AFD≌△CEB，可得到AD=CB，∠DAF=∠BCE，可证出AD∥CB，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．

解答：

解：

结论：

四边形ABCD是平行四边形，

证明：

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

又∵AF=CEDF=BE，

∴△AFD≌△CEB（SAS），

∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，

∴AD∥CB，

∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：

此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB．

6．（2010•滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）请判断四边形EFGH的形状？

并说明为什么；

（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？

考点：

平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。

专题：

证明题。

分析：

（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；

（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

解答：

解：

（1）如图，四边形EFGH是平行四边形．

连接AC，

∵E、F分别是AB、BC的中点，

∴EF∥AC，EF=

AC

同理HG∥AC，

∴EF∥HG，EF=HG

∴EFGH是平行四边形；

（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等．

∵假若四边形EFGH为正方形，

∴它的每一组邻边互相垂直且相等，

∴根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等．

点评：

此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识．

7．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：

BE=DF；

（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：

（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：

有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．

解答：

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：

有

（1）可知：

BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=∠MBD，

∵DM=BN，

∴△DNF≌△BNE，

∴NE=MF，∠MFD=∠NEB，

∴∠MFE=∠NEF，

∴MF∥NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．

8．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：

证明题。

分析：

（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：

△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO．

解答：

证明：

（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

点评：

此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

9．（2010•益阳）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

（1）求∠ABD的度数；

（2）求线段BE的长．

考点：

菱形的性质。

分析：

（1）根据菱形的四条边都相等，又∠A=60°，得到△ABD是等边三角形，∠ABD是60°；

（2）先求出OB的长和∠BOE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出．

解答：

解：

（1）在菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠ABD=60°；（4分）

（2）由

（1）可知BD=AB=4，

又∵O为BD的中点，

∴OB=2（6分），

又∵OE⊥AB，及∠ABD=60°，

∴∠BOE=30°，

∴BE=1．（8分）

点评：

本题利用等边三角形的判定和直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求解，需要熟练掌握．

10．（2010•扬州）如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．

（1）求证：

∠DAE=∠DCE；

（2）当AE=2EF时，判断FG与EF有何等量关系？

并证明你的结论．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质。

专题：

几何综合题。

分析：

（1）根据四边形ABCD是菱形可得出△ADE≌△CDE就可求证；

（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到△CEF∽△GEC，可得EF：

EC=CE：

GE，又因为△ABE≌△CBEAE=2EF，就能得出FG=3EF．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，∠ADE=∠CDB；

又∵DE=DE，

∴△ADE≌△CDE，

∴∠DAE=∠DCE．

（2）解：

判断FG=3EF．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠G，

由题意知：

△ADE≌△CDE

∴∠DAE=∠DCE，

∴∠DCE=∠G，

∵∠CEF=∠GEC，

∴△ECF∽△EGC，

∴

，

∵△ADE≌△CDE，

∴AE=CE，

∴

，

∵AE=2EF，

∴EG=2AE=4EF，

∴FG=EG﹣EF=4EF﹣EF=3EF．

点评：

此题主要考查菱形的性质及相似三角形的判定定理及性质．

11．（2010•宁洱县）如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．

（1）求证：

BE=BF；

（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：

（1）根据菱形的邻边相等，对角相等，证明△ABE与△CBF全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明；

（2）先根据菱形的对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种求法即可求出．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CB，∠A=∠C，

∵BE⊥AD、BF⊥CD，

∴∠AEB=∠CFB=90°，

在△ABE和△CBF中，

∴△ABE≌△C