8字模型与飞镖模型.docx
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8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型
模型1:
角的8字模型
如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC.结论:
∠A+∠D=∠B+∠C.
模型分析
证法一:
∵∠AOB是△AOD的外角,∴∠A+∠D=∠AOB.∵∠AOB是△BOC的外角,
∴∠B+∠C=∠AOB.∴∠A+∠D=∠B+∠C.
证法二:
∵∠A+∠D+∠AOD=180°,∴∠A+∠D=180°-∠AOD.∵∠B+∠C+∠BOC=180°,
∴∠B+∠C=180°-∠BOC.又∵∠AOD=∠BOC,∴∠A+∠D=∠B+∠C.
(1)因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.
(2)8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.
模型实例
观察下列图形,计算角度:
(1)如图①,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________;
解法一:
利用角的8字模型.如图③,连接CD.∵∠BOC是△BOE的外角,
∴∠B+∠E=∠BOC.∵∠BOC是△COD的外角,∴∠1+∠2=∠BOC.
∴∠B+∠E=∠1+∠2.(角的8字模型),∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°.
解法二:
如图④,利用三角形外角和定理.∵∠1是△FCE的外角,∴∠1=∠C+∠E.
∵∠2是△GBD的外角,∴∠2=∠B+∠D.
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠1+∠2=180°.
(2)如图②,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.
(2)解法一:
如图⑤,利用角的8字模型.∵∠AOP是△AOB的外角,∴∠A+∠B=∠AOP.
∵∠AOP是△OPQ的外角,∴∠1+∠3=∠AOP.∴∠A+∠B=∠1+∠3.①(角的8字模型),同理可证:
∠C+∠D=∠1+∠2.②,∠E+∠F=∠2+∠3.③
由①+②+③得:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2(∠1+∠2+∠3)=360°.
解法二:
利用角的8字模型.如图⑥,连接DE.∵∠AOE是△AOB的外角,
∴∠A+∠B=∠AOE.∵∠AOE是△OED的外角,∴∠1+∠2=∠AOE.
∴∠A+∠B=∠1+∠2.(角的8字模型)
∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=∠1+∠2+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F
=360°.(四边形内角和为360°)
练习:
1.
(1)如图①,求:
∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=;
解:
如图,∵∠1=∠B+∠D,∠2=∠C+∠CAD,
∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°.故答案为:
180°
解法二:
(2)如图②,求:
∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=.
解:
由三角形的外角性质,知∠BAC=∠E+∠ACE,∠EAD=∠B+∠D,
又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°,∴∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=180°
解法二:
2.如图,求:
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=.
解:
∵∠G+∠D=∠3,∠F+∠C=∠4,∠E+∠H=∠2,∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2,
∵∠B+∠2+∠1=180°,∠3+∠5+∠A=180°,∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°
解法二:
模型2:
角的飞镖模型
如图所示,有结论:
∠D=∠A+∠B+∠C.
模型分析
解法一:
如图①,作射线AD.
∵∠3是△ABD的外角,∴∠3=∠B+∠1,∵∠4是△ACD的外角,∴∠4=∠C+∠2
∴∠BDC=∠3+∠4,∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C,∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
解法二:
如图②,连接BC.
∵∠2+∠4+∠D=180°,∴∠D=180°-(∠2+∠4)
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°,∴∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4)
∴∠D=∠A+∠1+∠3.
(1)因为这个图形像飞镖,所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.
(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.
模型实例
如图,在四边形ABCD中,AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB,AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系.
解答:
利用角的飞镖模型
如图所示,连接DM并延长.∵∠3是△AMD的外角,∴∠3=∠1+∠ADM,
∵∠4是△CMD的外角,∴∠4=∠2+∠CDM,∵∠AMC=∠3+∠4
∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2,∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC.(角的飞镖模型)
∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB,∴
,
,
∴
,∴
(四边形内角和360°),∴
,∴2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.
练习:
1.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=.
【答案】230°
提示:
∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.(飞镖模型),∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2.如图,求∠A+∠B+∠C+∠D=.
【答案】220°
提示:
如图所示,连接BD.
∠AED=∠A+∠3+∠1,∠BFC=∠2+∠4+∠C,
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
模型3边的“8”字模型
如图所示,AC、BD相交于点O,连接AD、BC.结论AC+BD>AD+BC.
模型分析
∵OA+OD>AD①,OB+OC>BC②,由①+②得:
OA+OD+OB+OC>BC+AD
即:
AC+BD>AD+BC.
模型实例
如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证:
(1)AB+BC+CD+AD>AC+BD;
(2)AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
证明:
(1)∵AB+BC>AC①,CD+AD>AC②,AB+AD>BD③,BC+CD>BD④
由①+②+③+④得:
2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+AD>AC+BD.
(2)∵ADAD+BC∴AD+BCAB+CD∴AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.
模型4边的飞镖模型
如图所示有结论:
AB+AC>BD+CD.
模型分析
如图,延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,∴AB+AC>BE+EC.①,∵BE+EC=BD+DE+EC,
DE+EC>CD,∴BE+EC>BD+CD.②,由①②可得:
AB+AC>BD+CD.
模型实例
如图,点O为三角形内部一点.
求证:
(1)2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC;
(2)AB+BC+AC>AO+BO+CO.
证明:
(1)∵OA+OB>AB①,OB+OC>BC②,OC+OA>AC③
由①+②+③得:
2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC
(2)如图,延长BO交AC于点E,
∵AB+AC=AB+AE+EC,AB+AE>BE,∴AB+AC>BE+EC.①
∵BE+EC=BO+OE+EC,OE+EC>CO,∴BE+EC>BO+CO,②
由①②可得:
AB+AC>BO+CO.③(边的飞镖模型)
同理可得:
AB+BC>OA+OC.④,BC+AC>OA+OB.⑤
由③+④+⑤得:
2(AB+BC+AC)>2(AO+BO+CO).即AB+BC+AC>AO+BO+CO.
1.如图,在△ABC中,D、E在BC边上,且BD=CE。
求证:
AB+AC>AD+AE.
【答案】
证法一:
如图①,将AC平移至BF,AD延长线与BF相交于点G,连接DF。
由平移可得AC=BF,∵AC∥BF,∴∠ACE=∠BFD,∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB,∴DF=AE
如图,延长AD交BF于点G,∵AB+BF=AB+BG+GF.∵AB+BG>AG,
∴AB+BF>AG+GF①,∵AG+GF=AD+DG+GF,∵DG+GF>DF,
∴AG+GF>AD+DF②,由①②可得:
AB+BF>AD+DF.(飞镖模型)
∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.
证法二:
如图②,将AC平移至DF,连接BF,则AC=DF,∵AC∥DF,∴∠ACE=∠FDB.
∵BD=CE,∴△AEC≌△FBD.∴BF=AE.∵OA+OD>AD①,OB+OF>BF②
由①+②得:
OA+OD+OB+OF>BF+AD.∴AB+DF>BF+AD.(8字模型)
∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>AD+AE.
2.观察图形并探究下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由.
(1)如图①,△ABC中,P为边BC一点,请比较BP+PC与AB+AC的大小,并说明理由.
(2)如图②,将
(1)中的点P移至△ABC内,请比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
(3)图③将
(2)中的点P变为两个点
、
,请比较四边形
的周长与△ABC的周长的大小,并说明理由.
【答案】
(1)如图①,BP+PC理由:
三角形两边之和大于第三边。
(或两点之间线段最短)
(2)△BPC的周长小于△ABC的周长。
证明:
如图②,延长BP交AC于M。
在△ABM中,BP+PM在△PMC中,PCBP+PC∴△BPC的周长小于△ABC的周长。
(3)四边形
的周长小于△ABC的周长。
证法一:
如图③,分别延长
、
交于M,由
(2)知,BM+CM又∵
<
,∴
+
+
∴四边形
的周长小于△ABC的周长.
证法二:
如图④,做直线
分别交AB、AC于M、N。
在△BM
中,
①
在△AMN中,
+
+
中,
<
+NC③
由①+②+③得:
∴
+
+
的周长小于△ABC的周长.