数与形教学设计及评析多篇.docx

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数与形教学设计及评析多篇

数与形教学设计及评析（多篇）

篇：

“对数”设计及评析

“对数”教学实录与反思

陶兆龙（江苏省南京市金陵中学）

【《中国数学教育》杂志】

教学内容

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》中的“2.3.1对数”。

教学目标

理解对数的概念；会熟练地进行指数式与对数式的互化；体验对数概念的抽象、概括过程，感受数学化的一般途径。

教学重点与难点对数概念。

教学过程

一、提出问题问题1：

截止到1999年底我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么

（1）10年后我国人口将达到多少亿？

（2）经过多少年后我国人口将达到16亿？

（学生给出第

（1）问的结果13（1+1%）10，第

（2）问没有结果。

教师要求学生用计算器算出结果。

）师:

能否列出第

（2）问的式子？

生1:

13（1+1%）n=16。

师:

由上述关系，n的值确定吗？

生1:

由实际意义可知是确定的.师:

确定就好，与第

（1）问相比，第

（2）问的麻烦在什么方面？

生2:

第

（2）问与第

（1）问相反，解决第

（1）问时代入求解即可，解决第

（2）问时不好代入.师:

说得好!

第

（2）问与第

（1）问相反的意思，实际上是说第

（2）问是指数运算的逆运算!

那么解决第

（2）问时，真的不好代入吗？

能否代一些试试？

生2:

可以猜。

师:

对，可以借助于计算器进行估算!

估计一下结果为多少。

【设计意图】问题1中的两小问，第

（1）问是学生已掌握的指数运算问题，第

（2）问是与此相关的问题，可以用估算的方法解决，但学生不是很熟悉.由此引入新课，内容上是以旧引新，而背景真实，较贴近生活，在解决问题的过程中，估算的思想方法也得到了较好的训练.问题2：

从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花!

那么，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？

要测定古物的年代，可以用放射性碳法:

在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.考古学家由14C的半衰期推知:

每过一年，14C的残留量变为原来的99.99%，并且发掘出的这批古莲子中14C的残留量占原来的87.9%，那么这些古莲子是多少年前的遗物呢？

【设计意图】选问题2的主要目的在于揭示估算的局限性，同时这一问题具有较好的情境性，容易诱发学生积极的学习心向.生:

可以列出式子0.9999x=0.879，再估计。

（在估算时遇到较大阻碍，由于数字较小，估算的次数明显增多。

）师:

估算是一种方法，但有时运算量较大。

师:

解决了上面的三个问题之后，我们来作一小结.我们看到实际中有很多问题，最终转化为指数运算的逆运算，即“已知底数和幂的值，求指数”的问题.通过估算可以求出问题的近似解，不过计算量较大.由于是指数运算的逆运算，并且在生产和生活中常常会遇到这类问题，因此，我们需要研究这种运算，寻求解决这类问题的新方法.【设计意图】这里的小结可以帮助学生进一步弄清问题，让学生从整体上把握知识，这是面向全体的一种教学策略.在这里还起着承上启下、自然过渡的作用.

二、解决问题

师:

上述问题中的数字比较复杂，直接研究不方便，我们从“已知底数和幂的值，求指数”这一类问题中的简单情况开始研究。

这样做合理吗？

生（点头示意）:

合理.

师:

好，那我们看问题3.【设计意图】让学生在课堂上思考出这种研究方法是不现实的，这里教师给出方法后让学生反思更切合教学实际.问题3：

（1）若2（）=1，则括号里与1相对应的数为_____;（答案:

0。

）

（2）若2（）=16，则括号里与16相对应的数为____;（答案:

4。

）（3）若2（）=11，则括号里与相对应的数为____;（答案:

-2。

）44（4）若2（）=0，则括号里与0相对应的数为____;生3:

不存在，正数的任何次幂都大于零。

（5）若2（）=-1，则括号里和-1相对应的数为____;

生3:

同上，不存在。

（6）若2（）=3，则括号里和3相对应的数为____;

生4:

存在，可以求出近似解.师:

为什么存在？

生4:

由指数函数的值域及单调性可以推出.师:

能否说一说这个解的特征？

生4:

不好说，是一个大于1，小于2的数。

（7）若2（）=0.3，则括号里和0.3相对应的数为____;

生5:

是一个大于-2，小于0的数.【设计意图】回答以上几个问题时，把机会优先让给中等生和学困生，以使更多的学生参与到数学活动中来.不应让课堂数学活动异化为尖子生的数学活动，应经常让尖子生作为数学活动的替补。

师:

在解决了上述问题后，能否谈谈对指数运算的逆运算的初步认识

生6：

以2为底的幂，当幂的值小于等于零时，不存在与之相对应的指数;当幂的值大于零时，存在唯一一个与之相对应的指数.生7:

当幂的值大于零时，还可以根据它与1的大小关系看出所对应的指数的范围。

生8:

底为其他正数时，也具有类似的性质

师:

就是说可以向一般的情况推广.师:

大家得很好!

我们求的这些数具有相似的身份，反映了一类关系，即逆运算的结果。

为方便进一步研究问题，需要用适当的符号来表示它们，并且要给它们命名。

我们先讨论怎样表示这些数？

如2（）=3，则括号里和3相对应的数怎样表示？

（在刚才总结时已感到说起来很不方便.）生9:

2｜3。

生:

容易混淆。

生9:

改为（2｜3）。

师:

什么意义？

生9:

底为2，幂的值为3，所对应的指数。

师：

2（）=16，则括号里和16相对应的数怎样表示？

生9:

（2｜16）=4。

生10:

D32，1

1）=-3，2○

（1）=0„„***-*****生11:

2□（3）或者2○（3），2□（16）=4，2□（【设计意图】提供合适的机会和平台让学生展示创新能力。

事实表明，学生是有一定创造潜能的。

三种符号均由学生在课堂上独立创造或相互讨论发现，使得教者再也拿不出更好的表示符号.中等生与学困生表现出了较大的热情与较好的创造性.师:

再举一些底为其他数的例子。

27（教师要学生写出相应的指数式。

经过讨论学生给出（2｜8）=3，D33=1，D3=3，49（16）=2，5（125）=3，D1=-2，□

3□

41□1（）D9（）=3。

）2=2，328师:

比较一下，哪种好？

喜欢哪一种？

生:

第

二、三两种.师:

怎样命名？

生:

与3对应的数„„3的对数（2为底）。

师:

用这一命名重新表述上述结论，并就第二种或第三种符号来说明.注意和指数式对照。

用符号表示开始几个问题的答案。

„„

师:

我们研究了简单的对数问题，为了解决更多的问题，要将问题一般化.由一般的指数式能将问题一般化吗？

b生:

若ax=b，则Da=x或若ax=b，则a□（b）=x.师:

我们来看看教材上是如何定义指数运算的逆运算的。

建立理论

对数的概念：

一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即ab＝N．那么就称b是以a为底的N的对数，记作logaN＝b，其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。

师:

“log”是拉丁文logarithm（对数）的缩写。

比较一下我们前面讨论的结果与教材的定义，看看有无差异.生:

第二种几乎与上述定义相同，第一与第三种表示方法比较直观。

师:

我们以后表示对数，当然要采用书上的符号，但我们自己创造的符号，可以帮助理解对数的意义。

由定义可知:

（1）logaN=bÛab=N，

（2）求以a为底的N的对数就是求a的多少次幂等于N。

由前面的讨论可以得知零和负数没有对数；1的对数是零，即loga1=0；以a为底的a的对数是1，即logaa=1。

教师提出问题:

（1）定义中为何规定a＞0，a≠1？

（规定a＞0的理由与指数相同.a=1时，因1的任何次方都等于1，问题无研究的价值.）

（2）用对数符号表示问题

1、问题2和问题3的答案.（在学生回答了问题后，指明本节课还不能彻底解决这些问题，等到学完对数的运算性质后，就可以较容易地解决上述问题。

）【设计意图】这里的说明是为了前后呼应.由于时间所限，学生是可以理解的，如果不

能解决引入中的问题又不加以交代，学生头脑中的疑团得不到化解，学生就会对这种学习方式产生抵触情绪，从而影响教学效果.

四、典型例题讲练

例

1将下列指数式化为对数式:

（1）25＝32；

（2）33=

－

1；（3）0.5b=0.45；（4）a1=a；27（5）a0=1（a0，a≠1）。

（让学生用几种不同的符号表示结果。

先用自己创造的符号，后用教材中的符号进行转化。

）【设计意图】这样做，可使学生用对比的方法来理解抽象的符号，进一步发挥学生自己创造的符号的作用，让学生充分享受创造的乐趣。

例

2将下列对数式化成指数式：

（1）log5125=3；

（2）log

333=-2。

例3.求下列各式的值：

（1）log232；

（2）log279.师:

求log232的值的意义是什么？

怎样求呢？

生:

就是求2的多少次幂等于32，可以看出来，等于5.师:

第

（2）题可以看出答案吗？

看不出怎么办？

能否设法转化？

向什么方向转化？

生:

用定义，向指数运算转化.师:

对!

对数是指数运算的逆运算，和指数运算联系密切，正难则反嘛!

生:

设log279=x，则有27x=9，即33x=32，所以3x=2，即x=22，所以log279=.33【设计意图】理解了对数的定义与抽象的符号表示，较容易解决问题

（1），但对于

（2）由于难以直接看出答案，很多学生不能很快地想到向指数转化，因此要加以引导，渗透这类的转化方法.

五、课堂练习

（教师要求学生阅读教材第57-58页关于常用对数和自然对数的内容，并完成第58页练习的第4题和第5题.）

师:

常用对数和自然对数是底为固定值的对数，因经常用到，为方便起见，采用简化的形式来表示.【设计意图】这些内容，学生完全有能力通过自主学习来掌握，教师只要加以适当的点拨即可.

六、课堂小结

师:

现在我们对本节课所学习的内容进行小结.生:

学习了对数概念，对数的表示，求对数的两种方法;还学习了常用对数和自然对数.师:

为什么要引进对数这一概念呢？

生:

对数运算是指数运算的逆运算，并且生产实际中经常要进行这种运算.师:

知识是相互联系的，要注意这一方面.此外，别忘了我们的独创，它可以帮助理解对数的意义!

【设计意图】要学会学习就要学会总结，所以要让学生进行课堂小结.从知识结构、思想方法等方面入手是进行课堂小结的主要途径之一.

七、课后作业

教材第63页习题2.3

（1）的第1题和第2题.教学反思

对数是高中数学的一个重要内容。

多年的教学实践表明，这部分内容是学生学习的一大难点。

从内容上看，对数概念较为抽象，对数符号难以直观地理解其意义，因此理解这一概

念需要有较好的抽象思维能力，从而对多数学生具有一定的挑战性。

本节课是在由江苏省教师培训中心举办的“高中新课程教学观摩大会”期间上的一节示范课.从教学设计意图及课堂教学效果来看，本节课具有以下一些特点。

（1）用学生的发现与创造突破难点.如何突破难点是本节课教学要考虑的首要问题。

对数运算是指数运算的逆运算，从逆运算的角度引入课题，突出知识结构上的联系，有助于学生从心理上接受这种抽象，因为他们可以从以往的学习经验中得到类比。

同时也为学生理解新概念在原有的认知结构中寻找到其“固着点”.创设实际情境，从实际情境中发现问题，让学生感受到实际的需要，一方面可以使学生认识到引进新概念的必要性，另一方面，也为抽象概括提供感性材料。

问题1和问题2容易让大多数学生概括出问题的共性，从而提出（发现）新的课题。

而且问题2的情境更容易激发学生的好奇心与解决问题的欲望，同时还可以让他们体验到用指数运算进行估算的不足，意识到寻求新方法的迫切性。

为了解决从实际情境中发现的问题，寻求解决“已知底与幂的值求指数”问题的一般方法，研究指数运算的逆运算，采取了从简单问题入手的策略。

这种做法，一方面旨在渗透研究问题的思维策略，而更为重要的是进一步丰富学生关于对数运算的感知，充足、丰富的感知更有利于学生建立起合理的表象，为抽象概括作充分的铺垫。

问题3中的几个小题反映了对数概念的不同层面：

有的数存在对数，有的数不存在对数；有的数的对数值大于1，有的小于1；有的数的对数值容易求，有的可以确定存在，甚至可以看出范围，但不知是多少，也不好表示。

问题3中的各小题由易到难，层层推进。

这种设计，使得学生在抽象概括出对数概念之前已经对对数这一逆运算有了基本的了解，并且对逆运算结果的命名与符号表示产生共鸣。

在接下去的一个环节中，学生的活动达到高潮，即自己创造符号来表示上述逆运算的结果。

在这一过程中，学生的热情高涨，跃跃欲试，尖子生、中等生及基础较差的学生都积极主动地参与到活动当中。

三种符号:

（2｜3）、D2、2□（3）或2○（3）均由学生在课堂上设计出来，且设计者多为中等生和基础较差的学生.三种符号既具体又直观，较为合理地反映出对数运算的结果，也容易被全体学生接受，从学生设计的符号已可以看出他们对对数的本质已有初步的认识.在这样的基础之上，将问题一般化，再引进对数概念，可谓水到渠成.有了以上探究活动的结果，使得学生对抽象的对数概念的引进感到十分自然，而且与自己创造的符号一样既合理又“直观”!

在后面利用对数符号时，大多数学生表现出较好的适应性.可以说，通过基本问题，让学生自我创造表示对数的符号，有效地突破了教学难点.

（2）思维训练与多层次参与是学生活动的主旋律.在课堂教学中，改变学生的学习方式，增加学生主动探索的机会是新课程所倡导的教学理念，但如何在教学实践中加以实施，确是一线教师面临的棘手课题。

尖子生反应较快，在教师安排探究活动时，他们容易成为主角，而多数学生则沦为观众，这种状况并不符合新课程的要求.为了扭转这种局面，在教学设计时，充分考虑到不同层次学生的情况，设计出由浅入深的系列问题及设问，使得各种层次的学生都有参与的可能，就是要求稍高的问题也没有尖子生“打首发”，而是作为替补待命。

这样就可以保证全体参与的程度，使探索活动由尖子生的独角戏转变为面向全体的一种有效教学策略。

从本节课中学生的活动我们可以看到，不光是尖子生，中等生与学困生的自主探索空间仍然具有较大的拓展潜力！

只要转变观念，潜心设计，总可以让全体学生得到充足的主动探索的机会。

3

思维训练始终是数学教学的主要目标，缺乏思维训练的活动方式不应成为课堂教学的主体，改变学习方式，不能放松思维训练。

本节课的难点也是教学重点，为使学生理解概念、掌握对数的抽象符号表示，教学设计时为学生搭建了四级思维训练的台阶：

问题1和问题2为第一级；问题3为第二级；建立对数概念为第三级；而例题

1、例题2和例题3为第四级。

四级训练环环相扣，相辅相成。

遵循从具体到抽象再回到具体、从特殊到一般再回到特殊的认知规律，在突破难点的同时有效地训练学生的思维。

不仅如此，在建立概念的过程中，学生看到了数学发展过程的自然与合理，这对他们形成正确的数学观会有较大促进，而正确的数学观对激发与保持学生学习数学的热情显然是至关重要的。

（3）层次性设问与动力型问题相辅相成.

“以问题为中心”展开数学教学已为广大教师所接受。

没有问题就没有思维，学生的思维随着问题的呈现而被激活，在教师的引导下，步步深入.因此，“以问题为中心”的数学教学模式十分有助于学生的思维训练。

本节课中的几组问题所构成的问题系列较好地达到了训练思维的目的。

问题是数学的心脏。

问题是数学发展的动力，在提出问题与解决问题的过程中，数学的概念得以建立；数学定理、公式、法则得以发现；数学思想方法、科学思维方法得以应用。

以问题为中心展开数学教学，可以让学生从再发现意义上来感受数学知识的形成、发展过程，从中接受数学的熏陶，学习科学思维方法与数学思想方法。

尽管“以问题为中心”的教学模式可以达到如上所述的教学功效，但并不是任何问题都可以引起学生的积极思考与主动参与的。

要从知识、方法、思维等方面来设计出适合学生的问题，而且这种问题的提出与解决能够产生新知识，也就是要设计出动力型问题.本课例中的问题1和问题2就属于这种动力型问题.在课堂教学的背景下，受时间及全体学生认知水平和思维能力的限制，问题不宜过大，而且还要精心设计出促进、引导学生活动的层次性设问。

引导的方向，总体上是让学生运用科学思维方法与数学思想方法去分析问题、解决问题，最终导致新知识的产生.例如，开始部分的猜想与估算，后来的将问题一般化，以及在典型例题部分将对数问题化归为指数问题，等等.设问的设计对于学生的活动的充分开展意义重大.各种层次的主问句要有预设，同时还要注意根据活动的进程适时地提出针对性设问.问题1中，“与第

（1）问相比，第

（2）问的麻烦在什么方面？

”“能否代一些试试？

”问题3中“能否说一说这个解的特征？

”例3中“第

（2）问可以看出答案吗？

看不出怎么办？

能否设法转化？

向什么方向转化？

”以上这些设问都是有预设的。

问题3中“生:

底为其他正数时，也具有类似的性质。

师:

就是说可以向一般的情况推广.”

“师：

比较一下，哪种好？

喜欢哪一种？

”解决问题3的（6）时，学生一开始说不好回答，此时教师抓住机会追问，是否像（5）一样不存在？

为什么存在？

为什么不好说（不是整数或有理数，又没有适当的符号表示）？

由此，符号表示与命名就提上议事日程!

这些，则是依据学生活动情况适时提出的设问。

因为问题设计科学合理，层次性设问精当，又较好地从学生的思路中捕捉，提取出合理的、有价值的念头，使得本节课取得较好的教学效果。

实践表明，好的问题必须辅之以一系列精当的层次性设问，否则学生难以获得数学体验，探索活动也难以展开。