平行四边形对角线性质专题练习.docx
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平行四边形对角线性质专题练习
平行四边形对角线性质专题练习
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若△AOB的面积为3,则▱ABCD的面积为( )
A.6B.9C.12D.18
2.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )
A.13B.17C.20D.26
3.如图,在平行四边形ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥AB,GH∥AD,与各边交点分别为点E,F,G,H,则图中面积相等的平行四边形的对数为( )
A.3对B.4对C.5对D.6对
4.4.如图,在▱ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( )
A.3B.6C.12D.24
5.如图,在▱ABCD中,AB=4,BC=5,对角线相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F,且OE=1.5,则四边形EFCD的周长为( )
A.10B.12C.14D.16
6.在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )
A.2cm<OA<5cmB.2cm<OA<8cm
C.1cm<OA<4cmD.3cm<OA<8cm
7.如图,在▱ABCD中,AC与BD相交于点O,则下列结论不一定成立的是( )
A.BO=DOB.CD=ABC.∠BAD=∠BCDD.AC=BD
二、解答题
8.实验与探究
(1)在图①,图②,图③中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标,写出图①,图②,图③中的顶点C的坐标,它们分别是________,___________,____________;
(2)在图④中,给出平行四边形ABCD的顶点A,B,D的坐标(如图所示),求出顶点C的坐标(C点坐标用含a,b,c,d,e,f的代数式表示);
归纳与发现
(3)通过对图①,图②,图③,图④的观察和顶点C的坐标的探究,你会发现:
无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置,当其顶点C坐标为(m,n)(如图④)时,则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为___________,纵坐标b,d,n,f之间的等量关系为__________.(不必证明)
9.如图,▱ABCD的周长为26cm,AC,BD相交于点O,△BOC的周长比△AOB的周长小3cm,求AB,BC的长.
10.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=CN,求证:
BM∥DN.
11.如图,O为▱ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB,CD交于点M,N,点E,F在直线MN上,且OE=OF.
(1)图中共有几对全等三角形,请把它们都写出来;
(2)求证:
∠MAE=∠NCF.
12.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,AB=2,且AC∶BD=2∶3.
(1)求AC的长;
(2)求△AOD的面积.
三、填空题
13.如图,在平行四边形ABCD中,AB=2
cm,AD=4cm,AC⊥BC,则△DBC比△ABC的周长长______cm.
14.如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为10,则平行四边形ABCD的周长为____.
15.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为____.
参考答案
1.C
【解析】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∴S△AOD=S△COD=S△BOC=S△AOB.
∵△AOB的面积为3,∴▱ABCD的面积为4×3=12.故选C.
2.B
【解析】试题分析:
由平行四边形的性质得出OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,即可求出△OBC的周长.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC=3,OB=OD=6,BC=AD=8,
∴△OBC的周长=OB+OC+AD=3+6+8=17.
故选:
B.
3.A
【解析】解:
∵ABCD为平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC.∵EF∥AB,GH∥AD,∴EF∥AB∥CD,GH∥AD∥BC,∴AGPE,ABFE,AGHD,PFCH,BCHG,FCDE是平行四边形.
∵ABCD为平行四边形,BD为对角线,∴S△ABD=S△BCD.
同理S△BFP=S△BGP,S△PED=S△HPD.
∵S△BCD-S△BFP-S△PHD=SPFCH,S△ABD-S△GBD-S△EPD=SAGPE,
∴SPFCH=SAGPE,∴SAGHD=SEFCD,SABFE=SBCHG,
∴有3对面积相等的平行四边形.故选A.
点睛:
本题考查了平行四边形的性质.平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形.并且平行四边形的两条对角线交于一点,这个点是平行四边形的中心,也是两条对角线的中点,经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成面积相等的两个图形.
4.C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,
∴△OBE≌△ODH,△OAQ≌△OCG,△OPD≌△OFB,∴S阴影=S△BCD,
∴S△BCD=
S平行四边形ABCD=
×6×4=12.故选C.
5.B
【解析】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=4,AD=BC=5,OA=OC,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OF=OE=1.5,CF=AE.
故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12.故选B.
6.C
【解析】解:
∵AB=3,BC=5,∴2<AC<8.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=
AC,∴1<OA<4.故选C.
7.D
【解析】试题分析:
根据平行四边形的性质(①平行四边形的对边平行且相等,②平行四边形的对角相等,③平行四边形的对角线互相平分)判断即可.
A、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD(平行四边形的对角线互相平分),正确,不符合题意;
B、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB,正确,不符合题意;
C、∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAD=∠BCD,正确,不符合题意;
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD,错误,符合题意;
故选D.
考点:
平行四边形的性质.
8.
(1)(5,2),(e+c,d),(c+e-a,d);
(2)C(e+c-a,f+d-b);(3)m+a=c+e,n+b=d+f
【解析】试题分析:
(1)根据平行四边形的性质:
对边平行且相等,得出图2,3中顶点C的坐标分别是(e+c,d),(c+e﹣a,d);
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.在平行四边形ABCD中,CD=BA,根据内角和定理,利用BB1∥CC1,可推出∠EBA=∠FCD,△BEA≌△CFD.依题意得出AF=DF=a﹣c,BE=CF=d﹣b.设C(x,y).由e﹣x=a﹣c,得x=e+c﹣a.由y﹣f=d﹣b,得y=f+d﹣b.继而推出点C的坐标.
(3)在平行四边形ABCD中,CD=BA,同理证明△BEA≌△CFD(同
(2)证明).然后推出AF=DF=a﹣c,BE=CF=d﹣b.又已知C点的坐标为(m,n),e﹣m=a﹣c,故m=e+c﹣a.由n﹣f=d﹣b,得出n=f+d﹣b.
试题解析:
解:
(1)利用平行四边形的性质:
对边平行且相等,得出图1、图2,3中顶点C的坐标分别是:
(5,2)、(e+c,d),(c+e﹣a,d).
故答案为:
(5,2)、(e+c,d),(c+e﹣a,d).
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1,分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.
在平行四边形ABCD中,CD=BA,又∵BB1∥CC1,∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180度,∴∠EBA=∠FCD.
在△BEA和△CFD中,∵∠AEB=∠DFC,∠EFA=∠FCD,AB=DC,∴△BEA≌△CFD(AAS),∴AE=DF=a﹣c,BE=CF=d﹣b.
设C(x,y).由e﹣x=a﹣c,得:
x=e+c﹣a.
由y﹣f=d﹣b,得:
y=f+d﹣b,∴C(e+c﹣a,f+d﹣b).
(3)在平行四边形ABCD中,CD=BA,同理可得△BEA≌△CFD,则AF=DF=a﹣c,BE=CF=d﹣b,∵C点的坐标为(m,n),e﹣m=a﹣c,∴m=e+c﹣a.由n﹣f=d﹣b,得:
n=f+d﹣b,故答案为:
m=c+e﹣a,n=d+f﹣b或m+a=c+e,n+b=d+f.
点睛:
本题主要考查了平行四边形的性质,平面直角坐标系内的坐标,平行线的性质等知识.理解平行四边形的特点结合平面直角坐标系是解决本题的关键.
9.AB=8cm,BC=5cm
【解析】试题分析:
根据平行四边形的性质可知,平行四边形的对角线互相平分,由于△BOC的周长比△AOB的周长小3cm,则AB比BC大3cm,继而可求出AB、BC的长度.
试题解析:
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,OA=OC,OB=OD.∵△BOC的周长比△AOB的周长小3cm,∴(AB+OB+OA)-(BC+OC+OB)=3,∴AB-BC=3.∵2(AB+BC)=26,∴AB+BC=13,∴AB=8cm,BC=5cm.
10.证明见解析
【解析】试题分析:
由平行四边形的性质得出OA=OC,OB=OD,再证出OM=ON,由SAS证明△BOM≌△DON,得出对应角相等∠OBM=∠ODN,再由内错角相等,两直线平行,即可得出结论.
试题解析:
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∵AM=CN,∴
在△BOM和△DON中,
∴△BOM≌△DON(SAS),
∴∠OBM=∠ODN,
∴BM∥DN.
11.
(1)4对,△AMO≌△CNO,△OCF≌△OAE,△AME≌△CNF,△ABC≌△CDA;
(2)证明见解析
【解析】试题分析:
(1)单个三角形全等的是:
△AMO≌△CNO,△AME≌△CNF.由2部分组成全等的是:
△OCF≌△OAE,△ABC≌△CDA;
(2)由题中已知条件可证得△OCF≌△OAE,进而求得∠EAO=∠FCO,而后利用平行四边形的对边平行的性质求得相应的内错角相等,进而求解.
试题解析:
(1)有4对全等三角形.
分别为△AMO≌△CNO,△OCF≌△OAE,△AME≌△CNF,△ABC≌△CDA;
(2)∵OA=OC,∠1=∠2,OE=OF,
∴△OCF≌△OAE.
∴∠EAO=∠FCO.
在平行四边形ABCD中,AB∥CD,
∴∠BAO=∠DCO.
∴∠EAM=∠NCF.
考点:
全等三角形的判定与性质.
12.
(1)
;
(2)
【解析】试题分析:
(1)由“平行四边形的对角线互相平分”得到AO:
BO=2:
3,所以在直角△AOB中,利用勾股定理来求OA的长度,则AC=2OA;
(2)△AOD与△AOB是等底同高的两个三角形,所以它们的面积相等.
解:
(1)如图,在▱ABCD中,OA=OC=
AC,OB=OD=
BD.
∵AC:
BD=2:
3,
∴AO:
BO=2:
3,
故设AO=2x,BO=3x,则在直角△ABO中,由勾股定理得到:
OB2﹣OA2=AB2,即9x2﹣4x2=20,
解得,x=2或x=﹣2(舍去),
则2x=4,即AO=4,
∴AC=2OA=8;
(2)如图,S△AOB=
AB•AO=
×
×4=4
.
∵OB=OD,
∴S△AOD=S△AOB=4
.
考点:
平行四边形的性质.
13.4
【解析】试题分析:
在▱ABCD中,已知AB=CD=2
cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,根据平行四边形的性质得到AB=CD=2
cm,AD=BC=4cm,AO=CO,BO=DO,又因AC⊥BC,根据勾股定理可得AC=6cm,即可得OC=3cm,再由勾股定理求得BO==5cm,所以BD=10cm,所以△DBC的周长﹣△ABC的周长=BC+CD+BD﹣(AB+BC+AC)=BD﹣AC=10﹣6=4cm,
考点:
平行四边形的性质;勾股定理.
14.20
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC,∵OE⊥BD,∴BE=DE,∵△CDE的周长为10,即CD+DE+EC=10,∴平行四边形ABCD的周长为:
AB+BC+CD+
AD=2(BC+CD)=2(BE+EC+CD)=2(DE+EC+CD)=2×10=20.
15.
【解析】试题分析:
如图,连接BB′.根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形,则BB′=
BE.又B′E是BD的中垂线,则DB′=BB′.
解:
∵四边形ABCD是平行四边形,BD=2,
∴BE=
BD=1.
如图2,连接BB′.
根据折叠的性质知,∠AEB=∠AEB′=45°,
BE=B′E.
∴∠BEB′=90°,
∴△BB′E是等腰直角三角形,
则BB′=
BE=
.
又∵BE=DE,B′E⊥BD,
∴DB′=BB′=
.
故答案为:
.
考点:
平行四边形的性质;等腰直角三角形;翻折变换(折叠问题).