642 向量在物理中的应用举例.docx
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642向量在物理中的应用举例
6.4.2 向量在物理中的应用举例
课标要求
素养要求
会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
通过用向量的方法解决力学问题及其他物理问题，体会数学建模及数学运算素养.
教材知识探究
结合下列情境思考问题．
问题1 图1中两个人提一重物怎样提最省力？
图2中一个人静止地垂挂在单杠上，手臂的拉力与手臂握杆的姿势有什么关系？
提示 两人手臂间的夹角小些省力，运动员两手臂间的距离越大，夹角越大越费力.
问题2 向量的数量积与功有什么联系？
提示 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.
1.向量与力
向量是既有大小，又有方向的量，它们可以有共同的起点，也可以没有共同的起点.而力是既有大小和方向，又有作用点的量.用向量知识解决力的问题时，往往把向量平移到同一作用点上.
2.向量与速度、加速度、位移
速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助于坐标来运算.
3.向量与功、动量
力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ（θ为F和s的夹角）.动量mν实际上是数乘向量.
教材拓展补遗
[微判断]
1.功是力F与位移s的数量积.（√）
2.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.（√）
3.某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直.（√）
提示 1.一物体在力F的作用下产生了位移s，那么力F所做的功为W＝F·s.
2.力的合成与分解都是向量的加减法，一般用平行四边形法则或三角形法则求解.
3.根据两速度的合速度可知当船头垂直于江岸时可最快到达江的另一岸.
[微训练]
1.若向量
1＝（2，2），
2＝（－2，3）分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为（ ）
A.（0，5）B.（4，－1）
C.2
D.5
解析 |F1＋F2|＝|
1＋
2|＝|（2，2）＋（－2，3）|＝|（0，5）|＝5.
答案 D
2.作用于原点的两个力F1＝（1，1），F2＝（2，3），为使它们平衡，需加F3＝________.
解析 由题意知，F1＋F2＋F3＝0，
∴F3＝－F1－F2＝－（F1＋F2）＝（－3，－4）.
答案 （－3，－4）
[微思考]
如何利用向量研究力、速度、加速度、位移、功等物理问题？
提示 力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等；力所做的功的问题一般可以利用两向量的数量积来处理，如图所示，一物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功为W＝F·s.
题型一 向量的线性运算在物理中的应用
【例1】 在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°（如图），求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
解 如图，两根绳子的拉力之和
＋
＝
，且|
|＝|
|＝300N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而|
|＝|
|·cos30°＝150
（N），
|
|＝|
|·sin30°＝150（N），
所以|
|＝|
|＝150（N）.
答：
与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150
N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
规律方法 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
【训练1】 河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10
km/h，求小船的实际航行速度.
解 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作
＝a，
＝b，以
，
为邻边作矩形OACB，连接
，如图，则
＝a＋b，且
即为小船的实际航行速度.
∴|
|＝
＝
＝20（km/h），
tan∠AOC＝
＝
，∴∠AOC＝60°，
∴小船的实际航行速度大小为20km/h，按北偏东30°的方向航行.
题型二 向量的数量积在物理中的应用
用向量方法解决物理问题时，应作出相应的图形，以帮助我们建立数学模型
【例2】 质量m＝2.0kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0m的距离.（g＝9.8N/kg）
（1）分别求物体所受各力对物体所做的功；
（2）在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解
（1）木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为
WF＝F·s＝|F||s|cos0°＝20（J）；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos（90°＋θ）＝2.0×9.8×2.0×cos120°＝－19.6（J）.
（2）物体所受各力对物体做功的代数和为
W＝WF＋WN＋WG＝0.4（J）.
规律方法 向量在物理学中的应用一般涉及力与速度的合力与分解，充分借助向量的平行四边形法则把物理问题抽象为数学问题，物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积.
【训练2】 已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为（ ）
A.7B.10C.14D.70
解析 F做的功为F·s＝|F||s|cos60°＝10×14×
＝70.
答案 D
一、素养落地
1.通过用向量的方法解决物理问题提升数学运算素养.通过探究物理中的实际问题培养数学建模素养.
2.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
二、素养训练
1.一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：
牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为（ ）
A.6B.2C.2
D.2
解析 由题意知F3＝－（F1＋F2），
所以|F3|2＝（F1＋F2）2＝F
＋F
＋2F1·F2＝4＋16＝20，
∴|F3|＝2
.
答案 C
2.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（ ）
A.v1－v2B.v2－v1
C.v1＋v2D.|v1|－|v2|
解析 由题易知，选项C正确.
答案 C
3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为________N.
解析 设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，
∴每根绳子的拉力都为10N.
答案 10
4.一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则船到达B处所需时间为________min.
解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，
|v1|＝20km/h，|v2|＝12km/h，
∴|v实际|＝
＝
＝16（km/h）.
∴所需时间t＝
＝0.05（h）＝3（min）.
∴该船到达B处所需的时间为3min.
答案 3
基础达标
一、选择题
1.两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（ ）
A.40NB.10
N
C.20
ND.10
N
解析 设夹角90°时，合力为F，
|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10
，
当θ＝120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10
N.
答案 B
2.已知作用在点A的三个力F1＝（3，4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1）且A（1，1），则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标为（ ）
A.（9，1）B.（1，9）
C.（9，0）D.（0，9）
解析 F＝F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0），设合力F的终点为P（x，y），则
＝
＋F＝（1，1）＋（8，0）＝（9，1）.
答案 A
3.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝（4，－3）（即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位）.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（ ）
A.（－2，4）B.（－30，25）
C.（10，－5）D.（5，－10）
解析 设（－10，10）为A，5秒后P点的坐标为A1（x，y），则
＝（x＋10，y－10），
由题意有
＝5ν.
即（x＋10，y－10）＝（20，－15）
所以
解得
答案 C
4.关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.以上说法都不正确
解析 根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少.
答案 B
5.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为（ ）
A.5
NB.5NC.10ND.5
N
解析 如图，有|F1|＝|F|cos60°＝10×
＝5（N）.
答案 B
二、填空题
6.飞机以300km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，若将速度沿水平和垂直方向分解，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.
解析 如图所示，
|v1|＝|v|cos30°＝300×
＝150
（km/h）.
答案 150
7.一物体在力F1＝（3，－4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1）的共同作用下从点A（1，1）移动到点B（0，5）.在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
解析 ∵F1＝（3，－4），F2＝（2，－5），F3＝（3，1），
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝（8，－8）.
又∵
＝（0－1，5－1）＝（－1，4），
∴F·
＝8×（－1）＋（－8）×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
答案 －40
8.一个重20N的物体从倾斜角为θ，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则θ＝________.
解析 ∵WG＝G·s＝|G||s|·cos（90°－θ）
＝20×1×cos（90°－θ）＝10（J），
∴cos（90°－θ）＝
，∴θ＝30°.
答案 30°
三、解答题
9.如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受绳子的拉力的大小（忽略绳子质量）.
解 设A，B处所受绳子的拉力分别为F1，F2，物体的重力用F表示，则F1＋F2＝F.以重力作用点C为F1，F2的始点，作平行四边形CFWE，则CW为对角线，
＝F2，
＝F1，
＝F，
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∴∠FCE＝90°.
∴四边形CFWE为矩形.
∴|
|＝|
|cos30°＝10×
＝5
（N）.
|
|＝|
|cos60°＝10×
＝5（N）.
∴A处受绳子的拉力大小为5
N，B处受绳子的拉力大小为5N.
10.已知两恒力F1＝（3，4），F2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A（20，15）移动到点B（7，0）.
（1）求F1，F2分别对质点所做的功；
（2）求F1，F2的合力F对质点所做的功.
解
（1）
＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15），
W1＝F1·
＝（3，4）·（－13，－15）
＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（J），
W2＝F2·
＝（6，－5）·（－13，－15）
＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（J）.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99J和－3J.
（2）W＝F·
＝（F1＋F2）·
＝[（3，4）＋（6，－5）]·（－13，－15）
＝（9，－1）·（－13，－15）
＝9×（－13）＋（－1）×（－15）
＝－117＋15＝－102（J）.
∴合力F对质点所做的功为－102J.
能力提升
11.河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.
解析 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2m/s，|v|＝10m/s.
所以|v2|＝|v－v1|＝
＝
＝
＝2
（m/s）.
答案 2
12.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为每小时2a千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向.
解 设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a，设实际风速为v，那么此时人感到风速为v－a，
设
＝－a，
＝－2a，
＝v，因为
＋
＝
，
所以
＝v－a，这就是感到由正北方向吹来的风速，
因为
＋
＝
，所以
＝v－2a.
于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是
.
由题意：
∠PBO＝45°，PA⊥BO，BA＝AO，
从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO＝PB＝
a，
即：
|v|＝
a.
所以实际风速是每小时
a千米的西北风.
创新猜想
13.（多选题）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ（0<θ<
）.则|F|cosθ＝|f|，∴|F|＝
.
∵θ增大，cosθ减小，∴|F|增大.
∵|F|sinθ增大，∴船的浮力减小.
答案 AC
14.（多填题）一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2
km/h的速度横渡，则船本身的速度大小为________，船航行的方向为________.
解析 如图，设水流的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.可求得a的方向是北偏东30°，a的大小为3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2
km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是
km/h.
答案
km/h 北偏西60°
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