届山西省大同市高三模拟数学理试题.docx
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届山西省大同市高三模拟数学理试题
2020届山西省大同市高三模拟（3月）数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
2．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则z的共复数（）
A．B．C．D．
3．某次射击比赛中,某选手射击一次击中10环的概率是,连续两次均击中10环的概率是,已知某次击中10环,则随后一次击中10环的概率是（）
A．B．C．D．
4．已知正项数列满足，的前项和为，则（）
A．B．C．D．
5．函数的图象大致是（）
A．B．
C．D．
6．由射线（）逆时针旋转到射线（）的位置所成角为，则（）
A．B．C．D．
7．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）
A．种B．种C．种D．种
8．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省.假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为，若圆柱的体积以均匀速度增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（）
A．成正比，比例系数为B．成正比，比例系数为
C．成反比，比例系数为D．成反比，比例系数为
9．在中，点满足，过点的直线与、所在的直线分别交于点、，若，，则的最小值为（）
A．B．C．D．
10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的图象关于轴对称，则（）
A．B．C．D．
11．已知圆的圆心与抛物线的焦点恰好关于直线对称，为坐标原点，直线过点且与抛物线交于两点，若，，则（）
A．1B．2C．4D．8
12．已知函数，若函数（其中）有三个不同的零点，则实数的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13．若的展开式中含的系数为30，则的值为___________.
14．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，为坐标原点.若，则的面积为___________.
15．如图，网格纸的各小格都是边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________.
16．若等差数列的前项和为，已知，且，则________.
三、解答题
17．在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若E是的中点，求.
18．如图，三棱柱中，平面平面，，.
（1）求证：
平面平面；
（2）若与平面所成的线面角为，求二面角的余弦值.
19．设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．
20．为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围（度）
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量（度）
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410
（1）若规定第一阶梯电价每度元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度元，第三阶梯超出第二阶梯每度元，式计算居民用电户用电度时应交电费多少元？
（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的用户数的分布与期望；
（3）以表中抽到的10户作为样本估计全是居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大，求的值.
21．已知函数（）．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若，且当时，恒成立，求的最大值．（）
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于两点.
（1）若，求；
（2）若点是曲线上不同于的动点，求面积的最大值.
23．已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
先分别求得集合A，集合B，再根据集合的交集运算可得选项.
【详解】
由题意，得，，所以.
故选：
B.
【点睛】
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
如图，先判断出对应的复数，然后根据复数除法计算出的值，即可求解出的值.
【详解】
由图可知：
，所以，
所以.
故选：
A.
【点睛】
本题考查复数的几何意义、复数除法运算、共轭复数的求解，难度较易.注意互为共轭复数的两个复数的实部相同虚部互为相反数.
3．B
【解析】
根据条件概率的计算公式,得所求概率为，故选B.
4．A
【分析】
由,得，由为正项数列，可得，得出数列是等比数列，且公比，设首项为，由等比数列的通项公式和前n项和公式，代入可得选项.
【详解】
由,得，又为正项数列，所以，所以数列是等比数列，且公比，设首项为，则，，则.
故选：
A.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，关键在于由已知的递推式，分解因式得出数列是等比数列，属于基础题.
5．C
【分析】
根据函数的奇偶性的定义判断出函数是偶函数，再根据导函数的正负，得出函数的单调性，再由特殊点的函数值的正负，运用排除法，可得选项.
【详解】
因为，所以是偶函数.
当时，，则.
当时，，所以在区间上单调递增，
当时，，所以在区间上单调递减，排除A，B.
又，排除D，
故选:
C.
【点睛】
本题考查函数图象的判别，在判断函数的图象时，常常判断出函数的奇偶性，单调性，特殊点的函数的正负等方面，运用排除法，属于基础题.
6．A
【解析】
分析：
详解：
设（）的倾斜角为，则
射线（）的倾斜角为，
∴
故选A
点睛：
本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦函数公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题.
7．B
【分析】
先分情况甲选牛共有，甲选马有，得出结果.
【详解】
若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有
若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种任意选，所以共有
所以共有种
故选B
【点睛】
本题主要考查了排列组合，分情况选择是解题的关键，属于较为基础题.
8．C
【分析】
由圆柱的体积公式可得，对其体积公式求导得，再由圆柱的侧面积公式得，对其侧面积公式求导可得其侧面积增长速度，从而得出选项.
【详解】
由，知.即，∴，又圆柱的侧面积，
则其侧面积增长速度，
∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为，
故选:
C.
【点睛】
本题考查导函数的实际意义，关键在于对圆柱的体积和侧面积公式求导，得出其增长速度，属于基础题.
9．B
【分析】
由题意得出，再由，，可得出，由三点共线得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值.
【详解】
如下图所示：
，即，，
，，，，
，、、三点共线，则.
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选：
B.
【点睛】
本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.
10．A
【分析】
根据三角函数的二倍角公式和和差角公式先对函数化简为，再由图象的平移得出函数的解析式，由函数的对称性可求得，可得选项.
【详解】
函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为.
由的图象关于轴对称，可得为偶函数，故，，即，.
又，故，可得函数，则，
故选:
A.
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变形，三角函数的图象平移，三角函数的奇偶性和对称性，属于中档题.
11．C
【分析】
由圆和抛物线的标准方程得出圆的圆心坐标和抛物线的焦点坐标，再根据点关于直线对称，可求得抛物线的解析式，由抛物线的定义可得出点B的坐标，从而得出直线l方程，再与抛物线的方程联立可求得点A的坐标，从而可得选项.
【详解】
将化为圆的标准方程为，故圆心为，抛物线的焦点为，
依题意可得，解得，故抛物线的方程为，焦点为，准线为，
由及抛物线的定义知点的横坐标为，代入抛物线方程得，不妨取，
又直线过点，解得的方程为，联立得，得，解得，，
所以，，得，
于是，
故选:
C.
【点睛】
本题考查直线与抛物线的关系，关键在于根据点关于直线对称和抛物线的定义得出点的坐标，属于中档题.
12．C
【分析】
设，，则函数可换元为.若函数有三个不同的零点，则方程有两个不相等的实数解，，且解的情况分三种情况：
①，②，，③，，分别建立关于的不等式，可得出实数的取值范围.
【详解】
设，，则函数可换元为
.
若函数有三个不同的零点，则方程有两个不相等的实数解，，且解的情况有如下三种：
①，，此时，且，解得；
②，，此时由，得，所以，即，不符合题意；
③，，此时，得，所以，即，符合题意.
综上，，即实数的取值范围是.
故选：
C.
【点睛】
本题考查函数的零点问题，关键在于运用换元法，转化函数的类型，分解的情况得出范围，属于难度题.
13．2
【分析】
根据二项式的展开式的通项，求得的系数，建立关于的方程，可得的值.
【详解】
因为的展开式的通项，所以的展开式中含的奇数次方的通项为，令，解得.所以含的系数为，解得.
故答案为：
2.
【点睛】
本题考查二项式展开式中的求特定项的系数，关键在于熟记二项式展开的通项，属于基础题.
14．
【分析】
设出直线的方程，再与抛物线的方程联立，由抛物线的定义可得答案.
【详解】
易知直线的斜率存在，设为，由得，
∴，
又∵，∴，∴或
则.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
15．
【分析】
由几何体的三视图得出原几何体的立体图，再确定其外接球的球心和半径，可得答案.
【详解】
由三视图可得，该几何体的外接球与以俯视图为底面，以3为高的直三棱柱的外接球相同，如图所示，
所以底面是底边长为4，高为2的等腰直角三角形，故底面外接圆的半径，又棱柱的高为3，
故四棱锥的外接球半径，所以外接球的表面积.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查由几何体的三视图得出几何体的立体图，以及几何体的外接球的相关问题，关键在于确定其外接球的球心和半径，属于中档题.
16．
【分析】
推导出，由，得，由此能求出的值.
【详解】
解：
∵等差数列的前项和为，，且，
，
，
，
∴当时，；
当时，
，
.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查等差数列的前项的绝对值的和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
17．
（1）；
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理进行化简，求出C；
（2）利用向量法求出CE．
【详解】
（1）由题设及余弦定理得：
，
BD2＝AB2+DA2﹣2
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