广西中考数学压轴题专项练习含答案题库圆的证明与计算题 1.docx

广西中考数学压轴题专项练习含答案题库圆的证明与计算题 1.docx

《广西中考数学压轴题专项练习含答案题库圆的证明与计算题 1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广西中考数学压轴题专项练习含答案题库圆的证明与计算题 1.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

广西中考数学压轴题专项练习含答案题库圆的证明与计算题1

题库:

圆的证明与计算题

1.如图，AB是⊙O的直径，点D是上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.

（1）求证：

BC是⊙O的切线；

（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．

第1题图

（1）证明：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∴∠EAB＋∠EBA＝90°，

∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，

∴∠EAB＝∠CBE，

∴∠ABE＋∠CBE＝90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直径，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：

∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD＝∠DBE，

如解图，连接DO，

第1题解图

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∵∠EBD＝∠OBD，

∴∠EBD＝∠ODB，

∴OD∥BE，

∴＝，

∵PA＝AO，

∴PA＝AO＝OB，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵DE＝2，

∴PD＝4.

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.

（1）求证：

DF是⊙O的切线；

（2）若AE＝4，cosA＝，求DF的长．

第2题图

（1）证明：

如解图，连接OD，

G

第2题解图

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠B，

又∵AB＝AC，

∴∠C＝∠B，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°，

∴∠ODF＝∠DFC＝90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：

如解图，过点O作OG⊥AC，垂足为G，

∴AG＝AE＝2.

∵cosA＝＝＝，

∴OA＝5，

∴OG＝＝，

∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，

∴四边形OGFD为矩形，

∴DF＝OG＝.

3如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.

（1）求证：

AD＝AN；

（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．

第3题图

（1）证明：

∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD＝∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AEN＝∠AMC＝90°，

∵∠ANE＝∠CNM，

∴∠BAM＝∠BCD，

∴∠BAM＝∠BAD，

在△ANE与△ADE中，

，

∴△ANE≌△ADE（ASA），

∴AN＝AD；

（2）解：

∵AB＝4，AE⊥CD,

∴AE＝AB＝2，

又∵ON＝1，

∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，

如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

第3题解图

∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1，

∴

（2）2＋（x－1）2＝（2x－1）2，

解得x1＝2，x2＝－（舍），

∴AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

（1）求证：

∠1＝∠F；

（2）若sinB＝，EF＝2，求CD的长．

第4题图

（1）证明：

如解图，连接DE.

第4题解图

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°.

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B.

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

（2）解：

∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝2，

∴AB＝2AE＝4.

在Rt△ABC中，AC＝AB·sinB＝4，

∴BC＝＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

即42＋x2＝（8－x）2，

解得x＝3，

∴CD＝3.

5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作ABCD，连接BE，DO，CO.

（1）求证：

DA=DC；

（2）求∠P及∠AEB的度数.

第5题图

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO＝90°，

又∵直线DP和⊙O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO＝90°，

∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，

，

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），

∴DA＝DC；

（2）解：

∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径，

∴CF＝FB＝BC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∴CF＝AD，

又∵CF∥DA，

∴△PCF∽△PDA，

∴＝＝，即PC＝PD，DC＝PD.

由

（1）知DA＝DC，

∴DA＝PD，

∴在Rt△DAP中，∠P＝30°.

∵DP∥AB，

∴∠FAB＝∠P＝30°，

又∵∠ABE＝90°，

∴∠AEB＝90°－30°＝60°.

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.

（1）求证：

∠ABD＝∠ADE；

（2）若⊙O的半径为，AD＝，求CE的长．

第6题图

（1）证明：

如解图，连接OD.

第6题解图

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ADO＋∠ADE＝90°.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠ADO＋∠ODB＝90°.

∴∠ADE＝∠ODB，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ABD＝∠ADE;

（2）解：

∵AB＝AC＝2×＝，∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠ABC＝∠C，BD＝CD.

∵O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵OD⊥DE，

∴AC⊥DE，

在Rt△ACD中，

CD＝＝＝5，

∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，

∴△DEC∽△ADC，

∴＝，即＝，

∴CE＝3.

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.

（1）求证：

AB是⊙O的切线；

（2）若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

第7题图

（1）证明：

如解图①，连接OD，

第7题解图①

则∠DOB＝2∠DCB，

又∵∠A＝2∠DCB，

∴∠A＝∠DOB，

又∵∠A＋∠B＝90°，

∴∠DOB＋∠B＝90°，

∴∠BDO＝90°，

即OD⊥AB，

又∵OD是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：

如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，

第7题解图②

∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°，

∴∠B＝30°，

∴∠DOB＝60°，

∴∠DCB＝30°，

∴OC＝2OM＝2，

∴OD＝2，

∴BD＝ODtan60°＝2.

8.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

（1）求证：

PA是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAO＝，且OC＝6，求PB的长．

第8题图

（1）证明：

如解图，连接OB，

第8题解图

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，

∴∠PAB＝∠PBA，

∴∠PAO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∵OA为⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线；

（2）解：

∵cos∠CAO＝，

∴设AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知OC＝3k，

∴sin∠CAO＝，tan∠COA＝，

∴＝，即＝，解得OA＝10，

∵tan∠POA＝tan∠COA＝＝，

∴＝，解得AP＝，

∵PA＝PB，

∴PB＝PA＝.

9.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，∠ACD＝∠ABC.

（1）求证：

CA是⊙O的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝，tan∠AEC＝，求⊙O的直径．

第9题图

（1）证明：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，

∴∠ABC＋∠DCB＝90°，

∵∠ACD＝∠ABC，

∴∠ACD＋∠DCB＝90°，

∴∠ACB＝90°，

即BC⊥CA，

又∵BC是⊙O的直径，

∴CA是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△AEC中，tan∠AEC＝，

∴＝，EC＝AC.

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，

∴＝，BC＝AC.

∵BC－EC＝BE＝6，

∴AC－AC＝6，解得AC＝，

∴BC＝×＝10，

即⊙O的直径为10.

10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.

（1）求证：

DE⊥AC；

（2）若AB＝10，AE＝8，求BF的长．

第10题图

（1）证明：

如解图,连接OD，AD，

第10题解图

∵DE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥DE.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴D为BC中点，

又∵O为AB中点，

∴OD∥AC，∴DE⊥AC；

（2）解：

∵AB=10，

∴OB=OD=5.

由

（1）知OD∥AC，

∴△ODF∽△AEF，

∴，

设BF=x,

则有解得x=，

∴BF=.

11.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；

（3）求证：

AF＋2DF＝AB.

第11题图

（1）证明：

如解图，连接OC.

第11题解图

∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，

又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，

∴CO∥AD.

又CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：

在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，

根据勾股定理得：

AE=10，

∵CO∥AD，

∴△EOC∽△EAD,

∴.

设⊙O的半径为r，∴OE=10-r.

∴，

∴r=，

∴BE=10-2r=；

（3）证明：

如解图，过点C作CG⊥AB于点G.

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，

∴CG=CD，

在Rt△AGC和Rt△ADC中，

∵CG=CD，AC=AC，

∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），

∴AG=AD.

又∵∠BAC=∠CAD，

∴BC=CF，

在Rt△CGB和Rt△CDF中，

∵BC=FC，CG=CD，

∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），

∴GB=DF.

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.

（1）若∠BCD＝36°，BC＝10，求的长；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）求证：

2CE2＝AB·EF.

第12题图

（1）解：

如解图，连接OD，

第12题解图

∵∠BCD＝36°，

∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，

∵BC是⊙O的直径，BC＝10，

∴OB＝5，

∴l＝＝2π；

（2）解：

DE是⊙O的切线；理由如下：

∵BC是⊙O的直径，

∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，

又∵点E是线段AC中点，

∴DE