中考数学一轮复习讲义5 相交线与平行线.docx

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中考数学一轮复习讲义5相交线与平行线

2012年中考数学一轮复习讲义5相交线与平行线

小结1概述

主要内容是两条直线的位置关系——相交与平行.特别是垂直和平行关系是平面几何所要研究的基本内容之一.这一章的内容是很重要的基本知识，是几何学习的重要阶段，要引起高度重视.教材在给出对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的基础上又给出了对顶角、邻补角的性质、垂线的基本性质和平行线的判定和性质，最后给出平移的概念、性质以及利用平移绘制图案．

小结2学习重难点

【重点】了解对顶角、余角、补角的概念；掌握等角的余角相等，等角的补角相等；掌握垂线、垂线段的概念；知道两条直线平行，同位角相等以及同位角相等，两直线平行，进一步探索平行线的性质和判定.

【难点】掌握垂线段最短的性质，体会点到直线的距离的意义；通过具体实例认识平移；能按要求作出简单平面图形平移后的图形，利用平移进行图案设计，认识和欣赏平移在现实生活中的应用．

小结3中考透视

中考所考查的内容主要体现在以下几个方面：

1.对顶角、邻补角、垂线、点到直线的距离等概念的理解，对顶角、邻补角以及垂线性质的应用，包括实际应用.

2.同位角、内错角、同旁内角的含义，能由线找出角、由角说出线.

3.平行线的识别与特征，以及在实际问题中的应用.

4.简单命题的证明．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1有关基本图形的问题

【专题解读】本章中主要考查数图形的个数问题，构造基本图形以及基本图形的组合，如平行线与角平分线的组合，平行线与平行线的组合等.

例1如图5-132所示，直线AB,CD,EF都经过点O，图中共有几对对顶角？

分析数基本图形不能重复，不能遗漏.我们知道两条直线相交有两对对顶角，图中有3组两条直线相交，故对顶角有2×3=6（对）.

解：

共有6对对顶角.

【解题策略】数图形个数及书写时，应注意顺序性，这样不易重复和遗漏.

例2如图5-133所示，图中共有几对同旁内角？

分析我们知道两条直线被第三条直线所截共形成八个角，其中有两对同旁内角.图形中有两个“三线八角”，即CD,EF被GH所截，形成两对同旁内角，AB,EF被GH所截，又形成两对同旁内角，所以共有4对同旁内角.

解：

图中共有4对同旁内角.

【解题策略】注意观察同旁内角的特点.

例3如图5-134所示，AB∥CD,P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.

分析此图不是我们所学的“三线八角”的基本图形，需添加一些线（辅助线）把它们转化成我们熟悉的基本图形.

解：

如图5-134所示，过点P作射线PN∥AB.

因为AB∥CD（已知），

所以PN∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），

所以∠4=∠2=25°（两直线平行，内错角相等）.

因为PN∥AB（已知），

所以∠3=∠1=32°（两直线平行，内错角相等）.

所以∠BPC=∠3+∠4=32°+25°=57°.

【解题策略】构造基本图形就是将残缺的基本图形补全.

例4如图5-135所示，已知AB∥CD,EF分别交AB,CD于G,H,GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD.试说明GM∥HN.

分析要说明GM∥HN,可说明∠1=∠2，而由GM,HN分别为∠AGF,∠EHD的平分线，可知∠1=

∠AGF,∠2=

∠EHD,又由AB∥CD,有∠AGF=∠EHD,故有∠1=∠2，从而结论成立.

解：

因为GM,HN分别平分∠AGF,∠EHD（已知），

所以∠1=

∠AGF,

∠2=

∠EHD（角平分线定义）.

又因为AB∥CD（已知），

所以∠AGF=∠EHD（两直线平行，内错角相等），

所以∠1=∠2，

所以GM∥HN（内错角相等，两直线平行）.

【解题策略】此题考查平行线的性质、判定以及角平分线的综合应用.

例5如图5-136所示，已知AB∥CD,BC∥DE.试说明∠B=∠D.

分析条件为直线平行，故可根据平行线的性质说明.

解：

因为AB∥CD（已知），

所以∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）.

因为BC∥DE（已知），

所以∠C=∠D（两直线平行，内错角相等）.

【解题策略】此题重点考查了平行线的性质的应用.

例6如图5-137所示，已知AB∥CD,G为AB上任一点，GE,GF分别交CD于E,F.试说明∠1+∠2+∠3=180°.

分析要说明180°问题，想到了“平角”和“两直线平行，同旁内角互补”这两个知识点，故可用它们解决问题.

解：

因为AB∥CD（已知），

所以∠4=∠2，∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）.

因为∠4+∠1+∠5=180°（平角定义），

所以∠2+∠1+∠3=180°（等量代换）.

【解题策略】此题把说明∠2+∠1+∠3=180°转化为说明∠1+∠5+∠4=180°，应用等量代换解决了问题.

例7如图5-138所示，AB,DC相交于点O,OE,OF分别平分∠AOC,∠BOC.试说明OE⊥OF

解：

因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOC（已知），

所以∠1=

∠AOC,∠2=

∠BOC（角平分线定义）.

所以∠1+∠2=

∠AOC+

∠BOC

=

（∠AOC+∠BOC）.

又因为∠AOC+∠BOC=180°（邻补角定义），

所以∠1+∠2=

×180°=90°，

所以OE⊥OF（垂直定义）.

【解题策略】根据角平分线定义将∠1和∠2分别转化为

∠AOC和

∠BOC是解此题的关键.

例8如图5-139所示，已知AB∥CD,∠CED=90°.试说明∠1+∠2=90°.

解：

因为AB∥CD（已知），

所以∠3=∠1，∠4=∠2（两直线平行，内错角相等）.

因为∠3+∠4+∠CED=180°（平角定义），

∠CED=90°（已知），

所以∠3+∠4=90°，

所以∠1+∠2=90°（等量代换）.

【解题策略】根据两直线平行分别将∠1和∠2转化为∠3和∠4，再根据平角定义由∠3+∠4+∠CED=180°和已知∠CED=90°可说明∠1+∠2=90°.

例9如图5-140所示，在三角形ABC中，CD⊥AB于D,FG⊥AB于G,ED∥BC.试说明∠1=∠2.

解：

因为CD⊥AB,FG⊥AB（已知），

所以∠CDB=∠FGB=90°（垂直定义），

所以∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）.

因为DE∥BC（已知），

所以∠1=∠3（两直线平行，内错角相等），

所以∠1=∠2（等量代换）.

【解题策略】多次运用平行线的性质说明∠1，∠2，∠3的关系.

二、规律方法专题

专题2基本命题的计算与证明

【专题解读】基本命题的计算与证明涉及的题型有

（1）有关角的计算；

（2）有关角相等的判定；（3）判定平行问题；（4）判定垂直问题；（5）判定共线问题.

例10如图5-141所示，已知∠4=70°，∠3=110°，∠1=46°，求∠2的度数.

分析由∠3+∠4=180°，知AB∥CD,故∠2=180°-∠1.

解：

因为∠4=70°，∠3=110°（已知），

所以∠4+∠3=180°，

所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），

所以∠2=180°-∠1=180°-46°=134°（两直线平行，同旁内角互补）.

【解题策略】此题考查由同旁内角互补判定两直线平行，由两直线平行可行同旁内角互补，从而计算相关的角.

例11如图5-142所示，AB∥CD,EB∥DF.试说明∠1=∠2.

解：

因为AB∥CD（已知），

所以∠1+∠3=∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）.

因为EB∥DF（已知），

所以∠3=∠4（两直线平行，内错角相等），

所以∠1=∠2（等式性质）.

【解题策略】判定角相等的方法有：

（1）同角（等角）的余角相等；

（2）同角（等角）的补角相等；

（3）对顶角相等；

（4）角平分线定义；

（5）两直线平行，同位角相等；

（6）两直线平行，内错角相等.

例12如图5-143所示，DF∥AC,∠1=∠2.试说明DE=AB.

分析要说明DE∥AB,可说明∠1=∠A,而由DF∥AC,有∠2=∠A.又因为∠1=∠2，故有∠1=∠A,从而得出结论.

解：

因为DF∥AC（已知），

所以∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）.

因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠A（等量代换），

所以DE∥AB（同位角相等，两直线平行）.

【解题策略】判定平行的方法有：

（1）平行于同一条直线的两直线平行；

（2）垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）同位角相等，两直线平行；

（4）内错角相等，两直线平行；

（5）同旁内角互补，两直线平行.

例13如图5-144所示，∠1=∠2，CD∥EF.试说明EF⊥AB.

分析要说明EF⊥AB,可说明∠2=90°，而由CD∥EF,可得∠1+∠2=180°，又∠1=∠2，所以有∠1=∠2=90°，从而得出结论.

解：

因为CD∥EF（已知），

所以∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

又因为∠1=∠2（已知），所以∠1=∠2=90°，

所以EF⊥AB（垂直定义）.

【解题策略】判定垂直的方法有：

（1）说明两条相交线的一个交角为90°；

（2）说明邻补角相等；

（3）垂直于平行线中的一条，也必垂直于另一条.

例14如图5-145所示，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠AOC,OF平分∠BOD.试说明E,O,F三点在一条直线上.

分析要说明E,O,F三点共线，只需说明∠EOF=180°.

解：

因为AB,CD相交于点O（已知），

所以∠AOC=∠BOD（对顶角相等）.

因为OE,OF分别平分∠AOC与∠BOD（已知），

所以∠1=

∠AOC,

∠2=

∠BOD（角平分线定义），

所以∠1=∠2（等量代换）.

因为∠1+∠EOD=180°（邻补角定义），

所以∠2+∠EOD=180°（等量代换），

即∠EOF为平角，所以E,O,F三点共线.

【解题策略】判定三点共线问题的方法有：

（1）构成平角；

（2）利用平行公理说明；

（3）利用垂线的性质说明.

三、思想方法专题

专题3转化思想

【专题解读】在计算过程中，我们总是想办法将未知的转化为已知的.

例15如图5-146所示，直线AB,CD相交于点O,OD平分∠AOE,且∠COA:

∠AOD=7:

2,求∠BOE的度数.

分析欲求∠BOE,因为∠BOE与∠AOE互为邻补角，所以可先求∠AOE,而∠AOE=2∠AOD,所以只需求∠AOD即可，由已知条件可求得∠AOD.

解：

∵∠COA+∠AOD=180°,∠COA:

∠AOD=7:

2,

∴∠COA=

×180°=140°,∠AOD=

×180°=40°.

∵OD平分∠AOE,

∴∠AOE=2∠AOD=2×40°=80°,

∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-80°=100°.

【解题策略】互为邻补角的两个角的和为180°、对顶角相等是在有关求角的大小的问题中常用的两个等量关系，要注意发现图形中的这两种角，它们常隐藏在直线条件的背后.

综合验收评估测试题

（时间：

120分钟满分：

120分）

一、选择题

1.如图5-147所示，直线AB,CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于（）

A.70°B.80°C.90°D.100°

2.下列命题不正确的是（）

A.若两个相等的角有一组边平行，则另一组边也平行

B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直

C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直

D.经过直线外一点，有且只有一条线与已知直线平行

3.如图5-148所示，直线a,b都和直线c相交，给出下列条件：

①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠5+∠8=180°，

其中能判断a∥b的（）

A.①③B.②④C.①③④D.①②③④

4.下列命题不正确的是（）

A.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行

B.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

C.两条直线被第三条直线所截，如果同位角互补，那么这两条直线平行

D.两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

5.互为邻补角的两个角的平分线所成的角是（）

A.小于90°的角B.等于90°的角

C.大于90°的角D.不能确定

6.如图5-149所示，直线l1∥l2,∠1=120°,则∠2=度.

7.如图5-150所示，已知直线a,b被直线c所截，且a∥b，∠1=65°,那么∠2等于（）

A.145°B.65°C.55°D.35°

8.如图5-151所示，AB∥CD,EF分别交AB,CD于M,N,NG平分∠DNF,∠1=60°,则∠2等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

9.下列说法中正确的有（）

①同位角相等；

②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④三条直线两两相交总有三个交点；

⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图5-152所示，下列推理正确的是（）

A.因为∠1=∠4，所以BC∥AD

B.因为∠2=∠3，所以AB∥CD

C.因为AD∥BC,所以∠BCD+∠ADC=180°

D.因为∠1+∠2+∠C=180°,所以BC∥AD

二、填空题

11.如图5-153所示，AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠1=47°,则∠2的大小是.

12.如图5-154所示，∠1和∠2是直线，被第三条直线所截得的角.

13.如图5-155所示，AB∥CD,∠1=50°,∠2=110°,则∠3=.

14.如图5-156所示，∠1=56°，∠2=124°，∠3=85°，则∠4=.

15.从钝角∠AOB的顶点引射线OP⊥OA,若∠BOP:

∠AOP=2:

3,则∠AOB=.

16.如图5-157所示，AD∥BC,BD平分∠ABC,若∠A=110°,则∠D=.

17.如图5-158所示，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,∠1与∠2，∠2与∠3是，∠2与∠4，∠1与∠3.

18.如图5-159所示，AD∥BC,∠D=100°,CA平分∠BCD,则∠DAC=.

19.在同一平面内，两条直线的位置关系有和两种.

三、解答题

20.如图5-160所示，直线AB,CD,EF相交于O点，AB⊥CD,OG平分∠AOE,∠FOD=28°,求∠AOG的度数.

21.如图5-161所示，点A,O,B在一条直线上，OE平分∠COB,OD⊥OE于O.试说明OD平分∠AOC.

22.如图5-162所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6.试说明AD∥BC.

23.如图5-163所示，将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度.（每个小正方形的边长为1个单位长度）

参考答案

1.B［提示：

∵∠AEC+∠AED=180°,∠AEC=100°,∴∠AED=80°.∵AB∥DF,∴∠D=∠AED=80°.故选B.］

2.A［提示：

A中有不平行的情况，B是邻补角性质，C是平行线性质，D是平行公理.］

3.D［提示：

根据平行线的判定.］

4.C［提示：

A:

平行线的传递性.B：

平行线的判定.C：

同位角相等.D:

平行线的判定.］

5.B［提示：

根据邻补角和角平行线的性质.］

6.120

7.B［提示：

两直线平行，内错角相等.］

8.C［提示：

先求∠END,再求∠FND,∠2=

∠FND=60°.］

9.B［提示：

①没说两直线平行，②如果这点在该直线上就作不出平行线，④如果三线共点就有1个交点.］

10.C［提示：

A,B,D选错了被截线，C两直线平行，同旁内角互补.］

11.133°［提示：

∵∠1=∠3，∠1=47°，∴∠3=47°.∵AB∥CD,∴∠3+∠2=180°,∴∠2=180°-∠3=133°.］

12.ACBDAB

13.60°

14.95°［提示：

根据∠1+∠2=180°得∠1的对顶角+∠2=180°，得到平行线，则∠3+∠4=180°.］

15.150°［提示：

∠AOP=90°,∠BOP=60°.］

16.35°

17.互余对顶角互补互余［提示：

根据垂直、互余、对顶角、邻补角的性质解答.］

18.40°［提示：

∠BCD=180°-∠D=80°,°∠ACB=

∠BCD=40°,∠DAC=∠ACB=40°.］

19.平行相交

20.解：

∵AB⊥CD,∴∠AOF=90°-∠FOD=90°-28°=62°,∴∠AOE=180°-∠AOF=118°.∵OG平分∠AOE,∴∠AOG=

∠AOE=59°.

21.解：

因为DO⊥OE,所以∠2+∠3=90°，又因为点A,O,B在一条直线上，所以∠AOB=180°,所以∠4+∠1=90°.又因为OE平分∠BOC,所以∠1=∠2，所以∠3=∠4，所以OD平分∠AOC.

22.解：

∵∠5=∠6（已知），∴AB∥CE（内错角相等，两直线平行），∴∠4+∠2+∠5=180°（两直线平行，同旁内角互补）.∵∠3=∠4，∠1=∠2（已知），∴∠3+∠1+∠5=180°（等式性质），∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.

23.解：

如图5-164所示，四边形EFGH即为所求.

附:

2011中考真题相交线与平行线精选

一、选择题

1.（2011云南保山2，3分）如图，l1∥l2，∠1=120°，则∠2=.

考点：

平行线的性质；对顶角、邻补角。

分析：

由邻补角的定义，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．

解答：

解：

∵∠1=120°，

∴∠3=180°﹣∠1=60°，

∵l1∥l2，

∴∠2=∠3=60°．

故答案为：

60．

点评：

此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等．

2.（2011•南通）如图，AB∥CD，∠DCE=80°，则∠BEF=（　　）

A、120°B、110°C、100°D、80°

考点：

平行线的性质；对顶角、邻补角。

专题：

计算题。

分析：

根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．

解答：

解：

∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°﹣80°=100°．故选C．

点评：

本题主要考查对平行线的性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，根据平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．

3.（2011山东日照，3，3分）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（　　）

A．70°B．80°C．90°D．100°

考点：

三角形内角和定理；平行线的性质。

专题：

计算题。

分析：

根据两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．

解答：

解：

∵AB∥CD，∠C=125°，

∴∠EFB=125°，

∴∠EFA=180﹣125=55°，

∵∠A=45°，

∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．

故选B．

点评：

本题应用的知识点为：

两直线平行，同位角相等；三角形内角和定理．

4.（2011山西，5，2分）如图所示，∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜，∠AOB＝35°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上的点D反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是（）

A．35°B．70°C．110°D．120°

考点：

平行线的性质，三角形的外角，多学科综合

专题：

相交线与平行线

分析：

由DC∥OB得∠ADC＝∠AOB＝35°，又由反射角相等知∠ADC＝∠ODE＝35°，因为∠DEB是△ODE的外角，所以∠DEB＝∠ODE＋∠AOB＝70°．

解答：

B

点评：

利用反射角相等得出∠ADC＝∠ODE＝35°．掌握平行线的性质，三角形的外角以及反射角相等．

5.（2011台湾，8，4分）如图中有四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角．关于这七个角的度数关系，下列何者正确（　　）

A．∠2＝∠4＋∠7B．∠3＝∠1＋∠6C．∠1＋∠4＋∠6＝180°D．∠2＋∠3＋∠5＝360°

考点：

三角形内角和定理；对顶角．邻补角；三角形的外角性质。

分析：

根据对顶角的性质得出∠1＝∠AOB，再用三角形内角和定理得出得出∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，即可得出答案．

解答：

解：

∵四条互相不平行的直线L1．L2．L3．L4所截出的七个角，

∵∠1＝∠AOB，

∵∠AOB＋∠4＋∠6＝180°，

∴∠1＋∠4＋∠6＝180°．

故选C．

点评：

此题主要考查了对顶角的性质以及三角形的内角和定理，正确的应用三角形内角和定理是解决问题的关键．

6.（2011新疆建设兵团，3，5分）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°．

则∠C等于（　　）

A、40°B、65°C、75°D、115°

考点：

平行线的性质．

分析：

由∠A＝40°，∠AOB＝75°，根据三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．

解答：

解：

∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．

∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，

∵AB∥CD，

∴∠C＝∠B＝65°．

故选B．

点评：

此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等的定理的应用．

7.（2011重庆綦江，5，4分）如图，直线a∥b，AC丄AB，AC交直线b于点C，∠1＝65°，则∠2的度数是（　　）

A．65°B．50°C．35°D．25°

考点：

平行线的性质。

专题：

几何计算题。

分析：

首先由AC丄AB与∠1＝65°，求得∠B的度数，然后由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．

解答：

解：

∵AC丄AB，

∴∠BAC＝90°，

∴∠1＋∠B＝90°，

∵∠1＝65°，

∴∠B＝25°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠B＝25°．

故选D．

点评：

此题考查了平行线的性质与垂直的定义．题目比较简单，解题时要注意数形结合思想的应用．

8.（2010重庆，4，4分）如图，AB∥CD，∠C＝80°，∠CAD＝60°，则∠BAD的度数等于（）

A．60°B．50°C．45°D．40°

考点：

平行线的性质

分析：

根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD的度数．

解答：

解：

∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．

点评：

本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．

9.（2011湖北潜江，5，3分）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　）

A．23°B．16°C．20