二次函数的最大值与最小值.docx
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二次函数的最大值与最小值
§1~3二次函數的最大值與最小值
壹、補充重點
(1)二次函數的最大值與最小值應用一覽表:
名稱
已知
條件
結論
最
大
值
的
應
用
自然數N分成兩數
x,y
當x=y=
時,
x與y的乘積最大
最大乘積=
定長m圍成一矩形時
以正方形面積為最大,其邊長為
最大面積=
最
小
值
的
應
用
自然數N分成兩數
x,y
當x=y=
時,
x與y的平方和最小
最小平方和=
定長m分成兩線段a,b分別為邊各作一正方形
當a=b=
時,兩正方形面積和為最小
最小面積和=
兩正數之積為定值k時(xy=k,x>0,y>0)
當x=y=
時,
x+y的和最小
最小的和:
x+y=2
=2
設矩形的長,寬分別為x,y,若其面積一定時
當x=y時,
矩形周長為最小
最小的周長=4
(2)二次函數在自變數限制範圍下求最大值與最小值:
函數y=f(x)
若頂點位於範圍x內時,圖形如下:
x
y
o
(α,f(α))
(m,n)
(β,f(β))
x
y
o
(m,n)
(α,f(α))
(β,f(β))
若頂點為(m,n)而圖形二端點為(,f()),(,f()),則n,f(),f()三者中較小者為最小值,較大者為最大值。
x
y
o
(α,f(α))
(β,f(β))
若頂點不位於範圍x內時,圖形如下:
x
y
o
(β,f(β))
(α,f(α))
圖形二端點為(,f()),(,f()),則f(),f()二者中較小者為最小值,較大者為最大值。
(3)最大值與最小值的求法,除可利用二次函數來求外,尚可利用下列的方法:
利用
(算術平均數)(幾何平均數)
例:
二正數x,y,若xy=24,求2x+3y之最小值。
∵
2x+3y
∴2x+3y2
=24故最小值為24
利用∣a∣+∣b∣∣a+b∣
例:
設x為實數,求∣x+2∣+∣x-5∣之最小值。
∵∣x+2∣+∣x-5∣=∣x+2∣+∣5-x∣∣(x+2)+(5-x)∣
=7
∴∣x+2∣+∣x-5∣7故最小值為7
利用一元二次方程式D0
例:
設k為實數,方程式x2-(k-1)x+(k2-1)=0有實根,求k之最大值與最小值。
∵方程式有實根∴D0
[-(k-1)]2-4×1×(k2-1)0
(k-1)(k-1-4k-4)0
(k-1)(3k+5)0
∴1k-
,故k之最大值為1,最小值為-
。
分式型:
當分子為定值,分母最大時分式的值為最小;分母最小時分式的值為最大。
例:
設x為實數,求y=
之最大值。
∵x2+2x+4=(x2+2x+1)+3=(x+1)2+33
∴當x=-1時,x2+2x+4有最小值3,此時y有最大值
=4。
利用配方
例:
設x,y為實數,A=x2+y2+4x-6y+20,求A之最小值。
∵A=x2+y2+4x-6y+20=(x2+4x+4)+(y2-6y+9)+7
=(x+2)2+(y-3)2+77
∴A之最小值7。
貳、例題
例1.y=2x2+2x-3,試求此二次函數之最小值?
【答:
】
解:
例2.二次函數y=-3x2+ax+b,當x=3時,有最大值4,則a=?
b=?
解:
【答:
18、-23】
例3.二次函數y=ax2+bx+c,當x=3時,有最小值-2,且圖形通過(0,7),則a=?
b=?
c=?
【答:
1、-6、7】
解:
例4.二次函數y=x2-6x+10,當1
時,試求y之最大值與最小值?
【答:
5、1】
解:
例5.二次函數y=x2-2x+4,當2
時,試求y之最大值與最小值?
【答:
7、4】
解:
例6.x為正整數,則二次函數y=2x2-5x+10之最小值為?
【答:
7】
解:
例7.晴晴向上拋擲一球,經t秒後距離地面s公尺,且有s=30t-5t2之關係式,試問此球擲出後,距離地面最高可達多少公尺?
解:
【答:
45公尺】
例8.A、B為數線上兩點,座標分別為7、2,試在座標上求一點P,使得
為最小?
【答:
】
解:
例9.設a:
b=1:
2且b:
c=3:
4,試求ab-bc+ac+c之最大值?
解:
【答:
】
例10.某人以長100公尺的鐵絲網,在河邊圍一長方形之菜園,河邊當作一直線不圍,試求所能圍成的最大菜園面積?
解:
【答:
1250平方公尺】
例11.x>0、y>0,2x+y=6,試求xy之最大值?
【答:
】
解:
例12.a>0、b>0,試求
之最小值?
【答:
2】
解:
例13.y=|x-4|+|x-3|,試求y之最小值?
【答:
1】
解:
例14.y=|x|+|x-1|+|x-2|,試求y之最小值?
【答:
2】
解:
例15.y=|x-1|+2|x-2|+3|x-3|,試求y之最小值?
【答:
4】
解:
例16.y=2x2+3mx+2m之最小值為M,則M之最大值為?
【答:
】
解:
參、習題
1.二次函數y=(a-1)x2+5x+a2的圖形通過(-1,0),
(1)當函數有最大值時,則a=?
(2)當函數有最小值時,則a=?
解:
2.二次函數y=ax2+12x+b在x=
時有最小值10,則a=?
b=?
解:
3.f(x)=ax2+bx+2,若f(-1)=0、f(3)=-4,則f(x)之最大值為?
解:
4.二次函數y=x2-4x+5,當0
時,試求y之最大值與最小值?
解:
5.二次函數y=x2-2x+5,當2
時,試求y之最大值與最小值?
解:
6.x>0,試求x+
之最小值?
解:
7.a>0、b>0,試求(a+b)(
)之最小值?
解:
8.y=|x-1|+
|x-2|+
|x-3|,試求y之最小值?
解:
9.牧人游牧,到了一大塊草原,今有100公尺長的鐵絲網,欲圍成一矩形,試求此矩形之最大面積?
解:
10.農夫在固定的柑園裡種40顆柑樹,每顆年產量600個柑子。
若在此園裡,每少種一顆柑樹,則每顆柑樹每年多產20個柑子。
試問這個柑園,應少種幾顆?
其年產量才能最大。
解:
肆、習題解答
1.-3、22.4、193.
4.5、1
5.8、56.27.48.
9.625平方公尺10.5顆