高中物理第二章 匀变速直线运动的研究 专题 匀变速直线运动规律的综合应用.docx
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高中物理第二章匀变速直线运动的研究专题匀变速直线运动规律的综合应用
专题 匀变速直线运动规律的综合应用
要点1|匀变速直线运动规律及公式应用
1．五个常用公式
到目前为止，我们已涉及了匀变速直线运动的两个基本公式和三个重要推论，它们是：
匀变速直线运动的速度公式v＝v0＋at；
匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋
at2；
匀变速直线运动的速度—位移关系式v2－v
＝2ax；
由平均速度求位移的公式x＝
（v0＋v）t＝
t＝v
t；
纸带数据常用推论公式Δx＝aT2.
以上五个公式或关系式中涉及了匀变速直线运动的初速度v0、末速度v、加速度a、位移x和时间t五个物理量．这五个物理量中前四个都是矢量，应用时要规定正方向（通常取v0方向为正方向），并注意各物理量的正负；五个量中灵活选用公式，已知任意三个可求另两个；其中速度公式和位移公式是两个基本公式，可求解匀变速直线运动的所有问题，而灵活选用其他推论公式可在某些具体问题中大大简化解题过程．
2．五个公式的选用方法
（1）如果题目中无位移x，也不让求位移，一般选用速度公式v＝v0＋at.
（2）如果题目中无末速度v，也不让求末速度，一般选用位移公式x＝v0t＋
at2.
（3）如果题目中无运动时间t，也不让求运动时间，一般选用导出公式v2－v
＝2ax.
（4）如果题中无加速度a，也不让求加速度，一般选用公式x＝
t＝
t＝v
t.
（5）如果知道连续相等时间内的位移，选用Δx＝aT2，在纸带问题中求加速度常选用Δx＝aT2.
3.五个公式应用中应注意的问题
（1）五个公式适用条件必须是物体做匀变速直线运动，否则不能应用上述公式，所以应用五个公式时必须首先对运动性质和运动过程进行判断和分析．
（2）公式中涉及的v0、vt、a、x、t五个物理量中除时间t外均为矢量，所以要特别注意其方向性．在应用时要先规定正方向，赋予各量正负号，然后再连同正负号代入公式计算，通常选取初速度方向为正方向．
（3）x＝v0t＋
at2是位移公式，而不是路程公式．利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程．
（4）分析物体的运动问题，要养成画物体运动示意图的习惯，并在图中标注有关物理量．这样将加深对物体运动过程的理解，有助于发现已知量和未知量之间的相互关系，并迅速找到解题的突破口．
（5）如果一个物体的运动包含几个阶段，可以分段分析，弄清物体在每段上的运动情况及遵循的规律，应该特别注意的是各段连接点处的速度往往是解题的关键，应首先考虑．
（6）末速度为0的匀减速直线运动可看成初速度为0，加速度相等的反向匀加速直线运动．
4．用匀变速直线运动规律解题的一般步骤
（1）认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要的时候要画出物体的运动过程示意图．
（2）明确已知条件和待求的物理量，要注意各物理量单位的统一．
（3）规定正方向（一般取初速度v0的方向为正方向），从而确定已知量和未知量的正、负号，对于无法确定方向的未知量，可以先假设一个正方向，待求解得到结果后，正、负号反映了该物理量的方向．
（4）选用适当的公式求解．
（5）判断所得结果是否合乎题意，即对计算结果进行必要的判断，看其是否符合实际情况．
物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，
到达斜面最高点C时速度恰好为零，如右图所示，已知物体运动到距斜面最低点A为斜面长度
的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．
【思路点拨】 物体沿斜面向上为匀减速直线运动，如反向看为从C到A的初速度为零的匀加速直线运动，可利用比例关系来求．
【解析】 解法一：
逆向思维法（反演法）
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面，
故xBC＝
，xAC＝
，又xBC＝
，
解得tBC＝t.
解法二：
比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）
现有xBC∶xBA＝
∶
＝1∶3
通过xAB的时间为t，故通过xBC的时间tBC＝t.
解法三：
中间时刻速度法
利用教材中的推论：
中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度
AC＝
＝
＝
，又v
＝2axAC，v
＝2axBC，xBC＝
由以上各式解得vB＝
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位置
因此有tBC＝t.
解法四：
图象法
利用相似三角形面积之比等于对应边平方比的方法，作出vt图象，如右图所示，
＝
且S△AOC＝4S△BDC，OD＝t，
OC＝t＋tBC
所以
＝
，得tBC＝t.
【☆答案☆】 t
汽车由静止开始匀加速前进，经过10s速度达到5m/s，则在这10s内汽车的（ ）
A．平均速度是0.5m/s
B．平均速度是2m/s
C．加速度是5m/s2
D．位移是25m
解析：
根据匀变速直线运动规律可知，10s内的平均速度
＝
＝2.5m/s，A、B选项错误；根据速度公式得a＝
＝0.5m/s2，C选项错误；利用平均速度求位移得x＝
t＝25m，D选项正确．
☆答案☆：
D
匀变速直线运动的解题方法较多，常有一题多解，对于具体问题要具体分析，方法运用恰当能使解题步骤简化，起到事半功倍的效果，常用解题法有：
常用方法
规律特点
解析法
匀变速直线运动的常用公式有
①速度公式：
v＝v0＋at；②位移公式：
x＝v0t＋
at2；③速度—位移关系：
v2－v
＝2ax；④平均速度公式
＝v
＝
.以上四式均是矢量式，使用时一般取v0方向为正方向，与v0同向取正，反之取负；同时注意速度和位移公式是基本公式，可以求解所有问题，而使用推论可简化解题步骤．
比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动与末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论，用比例法解题．
极值法
临界、极值问题的考查往往伴随着恰好、刚刚、最大、最小等字眼，极值法在追及等问题有着广泛的应用.
逆向思维
法（反演
法）
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法，一般用于末态已知情况．
图象法
应用vt图象，可把较复杂的问题转变为较简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避开繁杂的计算，快速找出☆答案☆．
巧用推论
Δx＝xn＋1－
xn＝aT2
解题
匀变速直线运动中，在连续相等的时间T内的位移之差为一恒量，即xn＋1－xn＝aT2，对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔问题，应优先考虑用Δx＝aT2求解．
巧选参
考系解题
物体的运动是相对一定的参考系而言的．研究地面上物体的运动常以地面为参考系，有时为了研究问题方便，也可巧妙地选用其他物体作参考系，甚至在分析某些较为复杂的问题时，为了求解简捷，还需灵活地转换参考系.
要点2|匀变速直线运动中的追及和相遇问题
1．追及问题
（1）追及的特点：
两个物体在同一时刻到达同一位置．
（2）追及问题满足的两个关系：
时间关系：
从后面的物体追赶开始，到追上前面的物体时，两物体经历的时间相等．位移关系：
x2＝x0＋x1，其中x0为开始追赶时两物体之间的距离，x1表示前面被追赶物体的位移，x2表示后面追赶物体的位移．
（3）临界条件：
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞，相距最远、相距最近等情况，即出现上述四种情况的临界条件为v1＝v2.
2．相遇问题
（1）特点：
在同一时刻两物体处于同一位置．
（2）条件：
同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等于开始时两物体之间的距离时即相遇．
（3）临界状态：
避免相碰撞的临界状态是两个物体处于相同的位置时，两者的相对速度为零．
3．处理“追及”“相遇”问题的三种方法
（1）物理方法：
通过对物理情景和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程求解．
（2）数学方法：
由于在匀变速运动的位移表达式中有时间的二次方，我们可列出位移方程，利用二次函数求极值的方法求解．
（3）图象法：
对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算、快速求解．
4．解题思路
（1）根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图．
（2）根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中．
（3）由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键．
（4）联立方程求解，并对结果进行简单分析．
5．追及问题中的一个条件、两个关系
（1）一个条件：
两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小及是否恰好追上等．
（2）两个关系：
时间关系和位移关系．
①时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；②位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处．
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
（1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？
此时距离是多少？
（2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
【思路点拨】 两物体在同一直线上同向追赶的问题一定是速度相等时有间距的最值，两物体追上时一定是相对于同一点有相同的位移．
【解析】
（1）解法一：
紧紧抓住“速度关系”及“位移关系”，汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度恒定．当汽车的速度还小于自行车的速度时，两者的距离将越来越大．而一旦汽车的速度增加到超过自行车的速度时，两车的距离就将缩小．因此两者速度相等时两车相距最远，由v汽＝at＝v自得
t＝
＝2s，Δxmax＝v自t－
at2＝6m.
解法二：
用数学求极值方法求解
设汽车在追上自行车之前经t秒两车相距最远．
有Δx＝v自t－
at2＝6t－
＝－
（t－2）2＋6.
由二次函数求极值条件知，t＝2s时，Δx最大，于是得Δxmax＝6m.
解法三：
用图象求解：
自行车和汽车的vt图象如图所示，由图可以看出：
在相遇之前，在t时刻两车速度相等时，自行车的位移（矩形面积）与汽车的位移（三角形面积）之差（即横线阴影部分面积）达最大，所以，t＝
＝2s，Δxmax＝
×2×6m＝6m.
（2）由图可以看出：
在t时刻以后，由v自线与v汽线组成的三角形面积（竖线阴影面积）与横线阴影的三角形面积相等时，两车的位移相等，所以由图可得相遇时t′＝2t＝4s，v′＝2v自＝12m/s.
【☆答案☆】
（1）2s 6m
（2）4s 12m/s
火车站上由于工作人员操作失误致使一节车厢以4m/s的速度匀速滑出了车站，此时在同一轨道上一列火车正在以72km/h的速度匀速驶向车站，技术娴熟的火车司机突然发现这种紧急情况后，立即以大小为0.8m/s2的加速度紧急刹车，之后又立即以此加速度使火车反向加速运动，若车厢与火车恰好不相撞．求：
（1）司机发现车厢向自己驶来开始制动到刚好相遇用的时间；
（2）司机发现车厢向自己驶来开始制动时离车厢的距离．
解析：
（1）v0＝72km/h＝20m/s，车厢与火车恰好不相撞的临界条件是两者共速，设水平向左为正，共速速度大小为v＝4m/s，根据速度关系得v＝－v0＋at，代入数据解得t＝30s.
（2）火车全过程行驶位移x火＝
·t＝－240m，负号表示位移方向向右，全过程中车厢行驶位移x厢＝v·t＝120m，位移方向向左，根据位移关系得距离x0＝－x火＋x厢＝360m.
☆答案☆：
（1）30s
（2）360m
追及问题的分析方法：
1．分析方法提示：
（1）根据追及的两个物体的运动性质，选择同一参考系，列出两个物体的位移方程；
（2）找出两个物体在运动时间上的关系；
（3）找出两个物体在位移上的关系．
2．追及问题中常用的临界条件：
速度小者（但加速度大）追速度大者（但加速度小），追上前两个物体速度相等时，有最大距离．
名师点易错
1．有的同学误认为一个减速运动的甲物体追及前方匀速运动或加速运动的乙物体，当追上时，甲物体速度可能为零，或比前方乙物体的速度小．
2．当甲物体速度大于乙物体速度时，两物体之间的距离减小，两物体速度相等时，两物体之间的距离最小，此时甲若还没有追上乙，在以后的运动过程中，甲不可能再追上乙，即甲追上乙时，甲的速度一定要大于或等于乙的速度.
对点训练一 匀变速直线运动规律应用
1．做匀加速直线运动的物体运动时间为t，在这段时间内，下列说法正确的是（ ）
A．初速度越大，通过的位移越大
B．加速度越大，通过的位移越大
C．末速度越大，通过的位移越大
D．在
时刻的速度越大，通过的位移越大
解析：
根据位移公式x＝v0t＋
at2可知，位移与初速度、加速度均有关，A、B两项错误；根据速度—位移公式得x＝
，位移与初、末速度和加速度均有关，C选项错误；根据平均速度公式得，x＝
·t，平均速度越大，位移越大，匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故在
时刻的速度越大，通过的位移越大，D选项正确．
☆答案☆：
D
对点训练二 追及相遇问题
2．甲、乙两辆汽车在平直公路上的同一地点沿相同方向由静止开始做直线运动，它们运动的加速度随时间变化的at图象如图所示．关于甲、乙两车在0～20s的运动情况，下列说法正确的是（ ）
A．在t＝10s时两车相遇
B．在t＝20s时两车相遇
C．在t＝10s时两车相距最远
D．在t＝20s时两车相距最远
解析：
分析图象可知，开始时，乙车的加速度大于甲车的加速度，即乙车的速度大于甲车的速度，由加速度—时间图象知图象与时间轴所围的面积表示速度的变化量，t＝20s时，甲乙两车的图象围成的面积相等，即两车共速，此时两车相距最远，D选项正确．
☆答案☆：
D
3．（2018·资阳市模拟）甲车以加速度3m/s2由静止开始做匀加速直线运动，乙车落后2s在同一地点由静止出发，以加速度4m/s2做加速直线运动，两车运动方向一致，求：
在乙车追上甲车之前，两车的距离的最大值．
解析：
根据匀变速直线运动规律可知，当两车速度相等时，相距最远．
a甲t甲＝a乙t乙．
根据题意可知，t甲＝t乙＋2，联立解得t甲＝8s，t乙＝6s.
两车距离的最大值Δx＝x甲－x乙＝
a甲t
－
a乙t
＝24m.
☆答案☆：
24m
【强化基础】
1．（2018·淮北期末）汽车急刹车时，停止转动的轮胎滑行过程中会在地面上留下痕迹，俗称刹车线．在交通事故分析中，刹车线的长度是判断车速的很重要的依据．在某次交通事故中，汽车刹车线的长度是16m，假设汽车刹车时的加速度大小为8m/s2，则汽车开始刹车时的速度为（ ）
A．8m/sB．16m/s
C．14m/sD．20m/s
解析：
刹车线长度即为汽车刹车后的位移大小，根据匀变速直线运动中速度—位移的关系式可知，v2－v
＝2ax，代入数据解得v0＝16m/s，B选项正确．
☆答案☆：
B
2．（2018·安康期末）一辆沿笔直的公路做匀减速运动的汽车，经过路旁两根相距50m的电线杆共用5s时间，已知它经过第一根电线杆时的速度为15m/s，则经过第二根电线杆时的速度为（ ）
A．5m/sB．10m/s
C．15m/sD．20m/s
解析：
汽车做匀变速直线运动，根据平均速度公式可知，
＝
＝
，代入数据解得v2＝5m/s，A选项正确．
☆答案☆：
A
3．（多选）如图所示，两光滑斜面在B处连接，小球在AB段及BC段分别做加速度不同的匀加速直线运动，小球由A处静止释放，经过B、C两点时速度大小分别为3m/s和4m/s，AB＝BC.设球经过B点前后的速度大小不变，则（ ）
A．AB、BC段的加速度大小之比为9∶7
B．AB、BC段的加速度大小之比为4∶3
C．球由A运动到C的过程中平均速率为2.3m/s
D．球由A运动到C的过程中平均速率为2.1m/s
解析：
设AB＝BC＝x，根据速度—位移公式得aAB＝
，aBC＝
，代入数据解得aAB∶aBC＝9∶7，A选项正确，B选项错误；根据平均速度公式得tAB＝
＝
，tBC＝
＝
，平均速率等于路程与时间的比值，
＝
＝2.1m/s，C选项错误，D选项正确．
☆答案☆：
AD
4．（多选）做匀减速直线运动的质点，它的加速度大小为a，初速度大小为v0，经过时间t速度减小到零，则它在这段时间内的位移大小可用下列哪些式子表示（ ）
A．v0t＋
at2B.
C.
D.
at2
解析：
因为做匀减速直线运动，所以加速度为负，根据公式x＝v0t＋
at2可得，位移为x＝v0t－
at2，A错误；根据公式v2－v
＝2ax可得0－v
＝2（－a）x，解得x＝
，B正确；过程中的平均速度为
＝
，所以根据公式x＝
t可得x＝
，C正确；匀减速直线运动减速到零的过程可逆过来看作初速度为零的匀加速直线运动，故根据公式x＝v0t＋
at2可得x＝
at2，D正确．
☆答案☆：
BCD
5．（多选）某人在零时刻开始观察一个正在做匀加速直线运动的物体，现在只测出了第3s内及第7s内的位移，则下列说法正确的是（ ）
A．不能求出任一时刻的瞬时速度
B．能够求出任一时刻的瞬时速度
C．不能求出第3s末到第7s初时间内的位移
D．能够求出该物体的加速度
解析：
根据匀变速直线运动规律Δx＝aT2可知，加速度a＝
，根据第3s内的平均速度等于2.5s末的瞬时速度，再根据速度公式，能够求出任一时刻的瞬时速度，A选项错误，B、D选项正确；第4s内的位移x4＝Δx＋x3，第5s内的位移x5＝Δx＋x4，第6s内的位移x6＝Δx＋x5，能够求出第3s末到第7s初时间内的位移，C选项错误．
☆答案☆：
BD
【巩固易错】
6．（2018·江西模拟）汽车在平直公路上做刹车实验（视为匀变速），若从t＝0时起汽车在运动过程中的位移x与速度的平方v2之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．刹车过程中汽车加速度大小为10m/s2
B．刹车过程持续的时间为3s
C．汽车刹车后经过3s的位移为10m
D．t＝0.05s时汽车的速度为7.5m/s
解析：
根据匀减速直线运动速度—位移公式可知，0－v2＝－2ax，对照xv2图象可知，刹车过程中汽车的加速度大小a＝5m/s2，A选项错误；初速度v＝10m/s，根据速度—时间公式可知，刹车过程持续时间t＝2s，B选项错误；汽车刹车后2s停下来，经过3s的位移为10m，C选项正确；t＝0.05s时刻的速度v＝v0－at＝9.75m/s，D选项错误．
☆答案☆：
C
7．（多选）在一笔直公路上有a、b、c三辆汽车，它们同时经过同一路标开始计时，此后的vt图象如图，下列判断正确的是（ ）
A．在t1时刻a、b速度相等
B．0～t1时间内，a、b间距离在减小
C．0～t1时间内，a位于b、c前面
D．t1时刻以后，b位于a、c前面
解析：
速度—时间图象的交点表示两物体速度相等，在t1时刻a、b两车速度相等，A选项正确；速度—时间图象围成的面积表示位移，0～t1时间内，a、b两车间距离在增大，B选项错误；0～t1时间内，a车图象围成的面积最大，位于b、c两车的前面，C选项正确；t1时刻以后的一段时间内，a车仍位于b、c两车的前面，D选项错误．
☆答案☆：
AC
【能力提升】
8．一辆卡车正在平直公路上以8m/s的速度匀速行驶，司机突然发现前方路口处亮起红灯，于是立即刹车使卡车匀减速前进．当卡车速度减小到2m/s时，信号灯转换为绿灯，司机又立即放开刹车，换挡加速，只用了减速过程三分之二的时间就匀加速到了原来稳定时的速度．已知
从开始刹车到恢复到原来的速度一共经历了10s，整个运动过程不考虑驾驶员反应时间．求：
（1）卡车减速和加速时的加速度大小；
（2）从开始刹车算起，2s末和8s末的瞬时速度．
解析：
（1）分析题意可知，从开始刹车到恢复到原来的速度一共经历了10s，加速时间是减速时间的三分之二，故减速时间t减＝6s，加速时间t加＝4s，根据加速度公式得，a减＝
＝1m/s2，a加＝
＝1.5m/s2.
（2）2s末卡车处于减速过程，v2＝v0－a减t2＝6m/s,8s末卡车处于加速过程，v8＝v＋a加（t8－t减）＝5m/s.
☆答案☆：
（1）1m/s2 1.5m/s2
（2）6m/s 5m/s
9．一列从火车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
（1）火车的加速度a；
（2）火车中点经过此路标时的速度v；
（3）整列火车通过此路标所用的时间t.
解析：
火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过
处的速度，其运动简图如图所示．
（1）由匀加速直线运动的规律得
v
－v
＝2al，火车的加速度为a＝
.
（2）前一半位移为
，v2－v
＝2a·
后一半位移为
，v
－v2＝2a·
所以有v2－v
＝v
－v2，故v＝
.
（3）火车的平均速度
＝
故所用时间t＝
＝
.
☆答案☆：
（1）
（2）
（3）
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