最新四年级下数学思维训练教程尖子生优秀名师资料.docx
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最新四年级下数学思维训练教程尖子生优秀名师资料
四年级下数学思维训练教程（尖子生）
四年级下期
第一讲定义新运算
同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。
为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。
例1设a、b都表示数，规定a?
b,3×a,2×b。
（1）求4?
3，3?
4。
（2）这种运算有“交换律”吗,
（3）求（17?
6）?
2，17?
（6?
2）。
（4）这种运算有“结合律”吗,
（5）如果已知5?
b,1，求b。
解:
像这样的题目叫做“定义新运算”。
这里，“?
”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是:
如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。
弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。
仍然要先做括号里面的。
所以:
（1）4?
3,3×4,2×3,12,6,6。
3?
4,3×3,2×4,9,8,1。
（2）由
（1）可知，4?
3与3?
4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。
（3）（17?
6）?
2,（3×17,2×6）?
2,（51,12）?
2,39?
2,3×39,2×2,117,4,113。
17?
（6?
2）,17?
（3×6,2×2）,17?
（18,4）,17?
14,3×17,2×14,51,28,23。
（4）由（3）可知，（17?
6）?
2与17?
（6?
2）的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。
（5）因为5?
b,3×5,2×b,15,2b，而15,2b,1，所以2b,15,1，2b,14，b,7。
通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。
在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。
例2如果a,b,2×a，3×b，a*b,（a，b）?
2，那么（3*5）,7,,
解:
“,”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。
“*”的意义显然是求a、b的平均数。
因为3*5,（3，5）?
2,4，所以，（3*5）,7,4,7,2×4，3×7,29。
例3规定:
a,b,a，（a，1），（a，2），„，（a，b,1），其中a、b表示自然数。
（1）求1,100的值;
（2）已知x,10,75，求x。
解:
（1）a，（a，1），（a，2），„，（a，b,1）
1，（1，1），（1，2），„，（1，100,1）
1，2，3，„，100
（1，100）×100?
2
101×100?
2
5050。
（2）x，（x，1），（x，2），„，（x，10,1）,75
1
10x，（1，2，„，9）,75
10x，45,75
10x,75,45
10x,30
x,30?
10
x,3
例4羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号?
表示:
羊?
羊,羊;羊?
狼,狼;狼?
羊,狼;狼?
狼,狼。
以上运算的意思是:
羊和羊在一起还是羊;狼和狼在一起还是狼;但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号?
表示:
羊?
羊,羊;羊?
狼,羊;狼?
羊,羊;狼?
狼,狼。
这个运算的意思是:
羊和羊在一起还是羊;狼和狼在一起还是狼;但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。
运算的结果或者是羊，或者是狼。
那么求下式的结果:
羊?
（狼?
羊）?
羊?
（狼?
狼）。
解:
羊?
（狼?
羊）?
羊?
（狼?
狼）
羊?
羊?
羊?
狼
羊?
羊?
狼
羊?
狼
狼
练习一
1（设a、b都表示数，规定:
a?
b表示a的4倍减去b的3倍，即a?
b,4×a,3×b。
试计算:
（1）5?
6;6?
5。
2（a、b是自然数，规定a,b,a×5，b?
3，求8,9。
3（设a?
b,8×a,18?
b，求7?
9,,
4（规定a?
b,（a，3）×（b,5），求5?
（6?
7）的值。
5（设a?
b,a×b，a,b，试求5?
8。
6（如果规定a※b,13×a,b?
8，那么17※24的最后结果是多少,
7（设a、b都表示数，规定:
a?
b,2×a，b?
2。
求
（1）10?
6;
（2）7?
（4?
8）。
8（规定A,B,B×B,A，计算（2,3）,（4,5）。
9（如果规定a?
b,4×a，3×b,1，那么5?
7和7?
5相等吗,
10（对于两个数x、y，x?
y表示y×A,x×2，并且已知82?
65,31。
计算:
2
（1）29?
57;
（2）38?
（14?
23）。
11（如果3?
4,3，4，5，6,18，6?
5,6，7，8，9，10,40。
计算2000?
6。
12（如果“，、,、×、?
、（）”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式,
（1）8×7,8;
（2）7×7×7,6;（3）（7，8，3）×9,39;（4）3×3,3。
第二讲图形问题
（一）
例1有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米,
解:
把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16?
4,4（厘米），所以图中正方形B的面积是4×4,16（平方厘米），又因为阴影部分的面积是（80,16）?
2,32（平方厘米），所以原来的小正方形（正方形A）的边长是32?
4,8（厘米），面积是8×8,64（平方厘米）。
A
B
例2下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。
解法一:
图形的总面积是40×40,1600（平方厘米）。
每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20?
2,200（平方厘米），所以图中阴影部分的面积是1600,200×4,800（平方厘米）。
解法二:
仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40?
2,800（平方厘米）。
例3如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米,
解:
图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000?
2,500（平方厘米）。
一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240?
2?
4,30（厘米）。
在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图
3
这个新正方形的面积是30×30,900（平方厘米），所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是（900,500）?
2,200（平方厘米）。
例4如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少,
AB
DC
解:
如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a，1，左上角正方形的边长就是a，1，1，右上角正方形的边长就是a，1，1，1。
因为CD,AB，所以a，a，（a，1）,（a，1，1），（a，1，1，1），即3×a，1,2×a，5，于是a,4。
从而，CD,a，a，（a，1）,13，AD,（a，1），（a，1，1）,11。
因此，矩形ABCD的面积是13×11,143。
练习二
1（已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米,
甲
3乙
158
2（把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少,
3（一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。
原来正方形的面积是多少平方厘米,
4（下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大,
A
B
5（一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。
已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米,
6（四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米,如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少,
7（如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米,
4
8（有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。
2
2
3
9（如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少,
19
5745
10（将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。
那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍,
11（在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米,
12（如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14张边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。
现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少张边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来,
第三讲枚举与计数
例1数列A:
1,2，3,4，5,6，7,8，9,10,11，„„。
把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列:
1,2，3,4，5,6，7,8，9,1，0,1，1,1，2，„„。
（1）数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数,
（2）数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字,这个数字是什么,
（3）到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次,
解:
（1）数列A中，1到9共有9个数字;10到99共有180个数字;100有3个数字。
所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9，180，3,192个数。
（2）数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100,9,91，而91,2×46,1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9，46,55，它的第一
5
位（十位）数字是5。
（3）数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3,13,23,30,31,32，33,„„，39,43,53，所以数字3共出现16次。
答:
（略）。
例2个位数字大于十位数字的两位数共有多少个,所有这些两位数的和是多少,
解:
当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个;
当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个;
„„
当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个;
共有1，2，3，4，5，6，7，8,36（个）。
这些两位数的十位数字的和是8×1，7×2，6×3，5×4，4×5，3×6，2×7，1×8,120，个位数字的和是9×8，8×7，7×6，6×5，5×4，4×3，3×2，2×1,240，所以这些两位数的和是10×120，240,1440。
答:
个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。
例3有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法,
解:
与某一小朋友不相邻的小朋友有7个，所以不相邻的小朋友有7×10,70（对），每对小朋友都重复算了一次，所以共有70?
2,35（种）选法。
答:
有35种不同的选法。
例4在校级运动会上，运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。
在区级运动会上，他们也是100米短跑的前三名。
（1）如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能,
（2）如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的排名不同，那么排名情况有多少种可能,
解:
（1）设A的排名不变，那么B排第三，C排第二，只有这1种情况。
同理B、C的排名不变，也各有1种情况。
因此，共有3种情况。
（2）如果排名情况都改变，A可能排第二或第三:
当A排第二时，B排第三，C排第一，有1种情况;当A排第三时，B排第一，C排第二，也有1种情况。
因此，排名均不同的可能性有2种。
答:
（略）。
练习三
1（三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是多少,
2（由数字卡片5、7、2、0、1各一张能组成多少个不同的三位数,把这些数按照从小到大的顺序排列，第14个数是多少,
6
3（一个三位数，三个数字各不相同且不为0，如果三个数字之和为10，这样的三位数有个,
4（一个两位数的十位数字比个位数字大5。
现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来小多少,
5（编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字，这本书一共有多少页,
6（新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有36人。
统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。
原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。
学生的总人数最多是多少人,最少是多少人。
7（一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始顺序报数，规定:
报7的倍数时要拍一次手，报带7的数时要拍两次手，报既带7又是7的倍数时要拍三次手。
则报到100时共拍了多少次手,
8。
一只口袋里有5个小球，另一只口袋里有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同。
（1）从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同的情况,
（2）从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况,
9（某地区有50个县城，每个县城都有3条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路,
10（如图，从B逐步往下走到A，有多少条不同的路线,
B
A
11（如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法,
小丽家
学校
12（小明的爸爸买了6张电影票（如下图），想和小张家一块去看电影。
但因临时有事不能和小张同时出发，小明只好撕下3张连在一起的票给小张家送去。
那么有多少种不同的撕法,
第四讲推理与判断
例1小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学校读书还不清楚。
只知道:
7
（1）小东不在一中;
（2）小兰不在二中;
（3）爱好排球的不在三中;
（4）爱好游泳的在一中;
（5）爱好游泳的不是小兰。
那么谁在一中,谁在二中,小兰爱好什么,
解:
由（4）爱好游泳的在一中，由
（1）这个人不是小东，由（5）这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。
同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。
由（3）爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的小东。
还剩下小兰就只能爱好篮球了。
例2小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说:
“小华做对了第一题”，“小华第二题没有做对”，“小华第一题没有做对”。
老师看完三道题后发现:
小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。
请判断小华做对的是哪道题,
解:
假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符;假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符;假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。
所以小华做对了第二题。
例3标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开关。
现在B、E、G开着，其余5盏灯关着，小明从灯A开始，循环逐个拉动8盏灯的开关，拉了2004次后，关着的灯是哪几盏,
解:
因为2004?
8商250余4，从A开始拉动开关250次后，由于250的双数，所以B、E、G仍然开着，其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。
而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后，A、C、D变成开着的，B又灭了，所以最后关着的灯是B、F、H。
例4购物单上某商品的单价是49.36元?
千克，总价是7.28元，方框中的数看不清了。
则购买此商品的数量至少是多少千克,
解:
写成竖式进行推导。
先考虑个位数:
493.6493.6
ׄ„3ׄ„8
1480839488
„„„„
„„7.28„„7.28
进一步考虑十位数:
493.6493.6493.6493.6
ׄ„23ׄ„73ׄ„48ׄ„98
14808148083948839488
987234552197444424
„„„„„„4837.28
„„7.28„„7.28„„7.28
所以至少购买98千克。
8
练习四
1（甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。
乙说:
我的对面是“南”;丙说:
我在乙的左边;丁说:
我的对面不是乙。
甲坐在哪边,
2（甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，获得前五名。
他们的得分情况如下:
（1）丙比乙低，但比戊高;
（2）甲比丁高，但比戊低;（3）乙比戊高。
这次歌咏比赛的第一名是谁,
3（甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。
已知丙比教师的年龄大，甲与农民不同岁，农民比乙的年龄小。
那么谁是教师,
4（甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。
甲说:
“我会开。
”乙说:
“我不会开。
”丙说:
“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是谁,
5（?
、?
、?
代表三个数，并且
，,，，
，，,，，，
，，，,800
那么?
、?
、?
各代表多少,
6（下图中的“,”应填多少,
2313,
583532545
7（1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。
赛后他们接受小记者的采访。
1号说:
“3号在我前面冲向终点。
”另一个得第三名的运动员说:
“1号不是第四名。
”小裁判员说:
“他们的号码与他们的名次都不相同。
”则第一名是几号,第二名是几号,第三名是几号,
8（将99棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子中装5粒。
已知盒子数大于10个，那么有多少个大盒子,多少个小盒子,
9（会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。
那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人,
10（某次数字竞赛有20道题，初始分为60分。
规定:
答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。
最后得分是奇数还是偶数,
11（“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字,
希望
希望杯
，希望杯赛
2005
12（下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少,
9
小学希望杯赛
赛×
999999
第五讲解决问题
（一）
例1祖父与父亲的年龄之差是孙子年龄的6倍，而孙子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁，孙子今年多少岁,
解:
当用孙子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有孙子的6,1,5倍。
所以孙子今年30?
5,6（岁）。
答:
孙子今年6岁。
例2幼儿园分饼干，如果每人分3块，余14块;如果每人分4块，还有3个小朋友没分到。
一共有多少个小朋友,有多少块饼干,
解:
改变分法后，从余15块到缺4×3,12（块），一共要多分14，12,26（块），这是因为每人多分4,3,1（块）的缘故，所以一共有26?
1,26（个）小朋友，有3×26，14,92（块）饼干。
答:
一共有26个小朋友，92块饼干。
例3运输公司为客户装运1600只瓷盘，每只运费1元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。
若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘，并得到1540元。
则瓷盘价格为每只多少元,
解:
如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到1×1600,1600（元），实际少得了1600,1540,60（元）。
损坏一只瓷盘运输公司少得60?
5,12（元），其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半，所以瓷盘的价格是（12,1）×2,22（元）。
答:
每只瓷盘22元。
例4怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。
下面是他给他的学生出的一道题:
A、B、C三人各有硬币若干枚。
A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍;之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍;最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。
这样，三人的硬币都是8枚。
请问他们原来各有硬币多少枚,
解:
用倒推法。
第三次调整后:
A有8枚，B有8枚，C有8枚;
第二次调整后:
A有8?
2,4（枚），B有8?
2,4（枚），C有8，4，4,16（枚）;
第一次调整后:
A有4?
2,2（枚），C有16?
2,8（枚），B有4，2，8,14（枚）;
原来:
B有14?
2,7（枚），C有8?
2,4（枚），A有2，7，4,13（枚）。
答:
原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。
10
练习五
1（有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。
从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。
甲队原来有多少人,
（在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答2
对的题数是答错的题数的2倍;第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。
则这位同学在第二试答对了多少道题,
3（菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。
营业员小王承包了其中3筐，小李承包了另外2筐。
已知小王承包的萝卜质量是小李的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克,
4（小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。
已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。
小光的邮票比小明多多少张,
5（幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个;每组分6个，则多4个。
苹果有多少个,小朋友共几组,
6（某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无法入住;每间安排6个人，最后一间还可以住2个人。
那么预定了房间多少间,共有多少个人,
7（有三角形桌子和正方形桌子共13张，共有44条腿（桌子的每个角有一条腿），则三角形桌子比正方形桌子多多少张,
8（一次口算比赛，规定:
答对一题得8分，答错一题扣5分。
小华答了18道题，得了92分，小华在此次比赛中答错了多少道题,
9（购买5元、8元和10元的公园门票共100张，用去748元，其中5元和8元的张数相同，则10元的门票共多少张,
10（小王、小李两人射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发则扣12分。
两人各打10发，共得208分，小王比小李多得64分，小王打中多少发,小李打中多少发,
11（小明问老师今年多少岁，老师说:
“我6年前的年龄和你6年后的相同，我3年后的年龄和你3年前的年龄之和是42岁。
”老师今年多少岁,小明今年多少岁,
12（将786个桃子分成四堆，第一堆比第
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