中考数学专题突破导学练第21讲多边形与平行四边形试题.docx
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中考数学专题突破导学练第21讲多边形与平行四边形试题
第21讲 多边形与平行四边形
【知识梳理】
1.多边形:
在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角:
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角:
多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线:
连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线。
5.正多边形:
在平面内,各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌:
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面,或叫平面镶嵌。
7.平行四边形定义:
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
8.平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边相等;
(2)平行四边形的对角相等。
(3)平行四边形的对角线互相平分。
9.平行四边形的判定:
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形;
(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
10.平行线间距离:
两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间距离,
两条平行线间距离处处相等
11.三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半。
【考点解析】
考点一:
多边形的内角和与外角和
【例1】(2017湖北宜昌)如图,将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,下列四种剪法中,符合要求的是( )
A.①②B.①③C.②④D.③④
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】根据多边形的内角和定理即可判断.
【解答】解:
∵①剪开后的两个图形是四边形,它们的内角和都是360°,③剪开后的两个图形是三角形,它们的内角和都是180°;
∴①③剪开后的两个图形的内角和相等,
故选B.
考点二、平行四边形的性质
【例2】(2017.四川眉山)如图,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F,若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为( )
A.14B.13C.12D.10
【考点】L5:
平行四边形的性质.
【分析】先利用平行四边形的性质求出AB=CD,BC=AD,AD+CD=9,可利用全等的性质得到△AEO≌△CFO,求出OE=OF=3,即可求出四边形的周长.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,周长为18,
∴AB=CD,BC=AD,OA=OC,AD∥BC,
∴CD+AD=9,∠OAE=∠OCF,
在△AEO和△CFO中,
,
∴△AEO≌△CFO(ASA),
∴OE=OF=1.5,AE=CF,
则EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
故选C.
考点三、平行四边形的判定
【例3】(2017贵州安顺)如图,DB∥AC,且DB=
AC,E是AC的中点,
(1)求证:
BC=DE;
(2)连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给△ABC添加什么条件,为什么?
【考点】LC:
矩形的判定;L7:
平行四边形的判定与性质.
【分析】
(1)要证明BC=DE,只要证四边形BCED是平行四边形.通过给出的已知条件便可.
(2)矩形的判定方法有多种,可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决.
【解答】
(1)证明:
∵E是AC中点,
∴EC=
AC.
∵DB=
AC,
∴DB∥EC.
又∵DB∥EC,
∴四边形DBCE是平行四边形.
∴BC=DE.
(2)添加AB=BC.(5分)
理由:
∵DB
AE,
∴四边形DBEA是平行四边形.
∵BC=DE,AB=BC,
∴AB=DE.
∴▭ADBE是矩形.
【中考热点】
(2017•新疆)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)连接DE,求证:
四边形CBED是平行四边形.
【考点】L6:
平行四边形的判定;KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可;
(2)由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE,证出CD∥BE,即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵点C是AB的中点,
∴AC=BC;在△ADC与△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(SSS),
(2)证明:
连接DE,如图所示:
∵△ADC≌△CEB,
∴∠ACD=∠CBE,
∴CD∥BE,
又∵CD=BE,
∴四边形CBED是平行四边形.
【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定,证明三角形全等是解决问题的关键.
【达标检测】
一、选择题:
1.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块,为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃,他带了两块碎玻璃,其编号应该是( )
A.①,②B.①,④C.③,④D.②,③
【考点】平行四边形的判定.
【分析】确定有关平行四边形,关键是确定平行四边形的四个顶点,由此即可解决问题.
【解答】解:
∵只有②③两块角的两边互相平行,角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点,
∴带②③两块碎玻璃,就可以确定平行四边形的大小.
故选D.
2.如图,在▱ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于点F,CE平分∠BCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,则BC长为( )
A.8B.10C.12D.14
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB,得出AF=AB=6,同理可证DE=DC=6,再由EF的长,即可求出BC的长.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,DC=AB=6,AD=BC,
∴∠AFB=∠FBC,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠FBC,
则∠ABF=∠AFB,
∴AF=AB=6,
同理可证:
DE=DC=6,
∵EF=AF+DE﹣AD=2,
即6+6﹣AD=2,
解得:
AD=10;
故选:
B.
3.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )
A.10B.14C.20D.22
【考点】平行四边形的性质.
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,再利用已知求出AO+BO的长,进而得出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,
∵AC+BD=16,
∴AO+BO=8,
∴△ABO的周长是:
14.
故选:
B.
二、填空题:
4.(2017青海西宁)如图,将▱ABCD沿EF对折,使点A落在点C处,若∠A=60°,AD=4,AB=8,则AE的长为
.
【考点】PB:
翻折变换(折叠问题);L5:
平行四边形的性质.
【分析】过点C作CG⊥AB的延长线于点G,易证△D′CF≌△ECB(ASA),从而可知D′F=EB,CF=CE,设AE=x,在△CEG中,利用勾股定理列出方程即可求出x的值.
【解答】解:
过点C作CG⊥AB的延长线于点G,
在▱ABCD中,
∠D=∠EBC,AD=BC,∠A=∠DCB,
由于▱ABCD沿EF对折,
∴∠D′=∠D=∠EBC,∠D′CE=∠A=∠DCB,
D′C=AD=BC,
∴∠D′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB,
∴∠D′CF=∠ECB,
在△D′CF与△ECB中,
∴△D′CF≌△ECB(ASA)
∴D′F=EB,CF=CE,
∵DF=D′F,
∴DF=EB,AE=CF
设AE=x,
则EB=8﹣x,CF=x,
∵BC=4,∠CBG=60°,
∴BG=
BC=2,
由勾股定理可知:
CG=2
,
∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x
在△CEG中,
由勾股定理可知:
(10﹣x)2+(2
)2=x2,
解得:
x=AE=
故答案为:
5.(2017四川绵阳)如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是 (7,4) .
【考点】L5:
平行四边形的性质;D5:
坐标与图形性质.
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可.
【解答】解:
∵四边形ABCO是平行四边形,O为坐标原点,点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),
∴BC=OA=6,6+1=7,
∴点B的坐标是(7,4);
故答案为:
(7,4).
6.(2017青海西宁)若一个正多边形的一个外角是40°,则这个正多边形的边数是 9 .
【考点】L3:
多边形内角与外角.
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出答案.
【解答】解:
多边形的每个外角相等,且其和为360°,
据此可得
=40,
解得n=9.
故答案为9.
7.(2017.湖南怀化)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5cm,则AD的长是 10 cm.
【考点】L5:
平行四边形的性质;KX:
三角形中位线定理.
【分析】根据平行四边形的性质,可得出点O平分BD,则OE是三角形ABD的中位线,则AD=2OE,继而求出答案.
【解答】解:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BO=DO,
∵点E是AB的中点,
∴OE为△ABD的中位线,
∴AD=2OE,
∵OE=5cm,
∴AD=10cm.
故答案为:
10.
8.(2017山东临沂)在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=4,BD=10,sin∠BDC=
,则▱ABCD的面积是 24 .
【分析】作OE⊥CD于E,由平行四边形的性质得出OA=OC,OB=OD=
BD=5,CD=AB=4,由sin∠BDC=
,证出AC⊥CD,OC=3,AC=2OC=6,得出▱ABCD的面积=CD•AC=24.
【解答】解:
作OE⊥CD于E,如图所示:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD=
BD=5,CD=AB=4,
∵sin∠BDC=
=
,
∴OE=3,
∴DE=
=4,
∵CD=4,
∴点E与点C重合,
∴AC⊥CD,OC=3,
∴AC=2OC=6,
∴▱ABCD的面积=CD•AC=4×6=24;
故答案为:
24.
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角函数、勾股定理等知识;熟练掌握平行四边形的性质,得出AC⊥CD是关键
三、解答题
9.(2017•新疆)如图,点C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)连接DE,求证:
四边形CBED是平行四边形.
【考点】L6:
平行四边形的判定;KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由SSS证明证明△ADC≌△CEB即可;
(2)由全等三角形的性质得出得到∠ACD=∠CBE,证出CD∥BE,即可得出结论.
【解答】
(1)证明:
∵点C是AB的中点,
∴AC=BC;在△ADC与△CEB中,
,
∴△ADC≌△CEB(SSS),
(2)证明:
连接DE,如图所示:
∵△ADC≌△CEB,
∴∠ACD=∠CBE,
∴CD∥BE,
又∵CD=BE,
∴四边形CBED是平行四边形.
【点评】该题主要考查了平行四边形的判定、平行线的判定、全等三角形的判定与性质;熟练掌握平行四边形的判定,证明三角形全等是解决问题的关键.
10.(2017湖北咸宁)如图,点B、E、C、F在一条直线上,AB=DF,AC=DF,BE=FC.
(1)求证:
△ABC≌△DFE;
(2)连接AF、BD,求证:
四边形ABDF是平行四边形.
【考点】L6:
平行四边形的判定;KD:
全等三角形的判定与性质.
【分析】
(1)由SSS证明△ABC≌△DFE即可;
(2)连接AF、BD,由全等三角形的性质得出∠ABC=∠DFE,证出AB∥DF,即可得出结论.
【解答】证明:
(1)∵BE=FC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DFE中,
,
∴△ABC≌△DFE(SSS);
(2)解:
连接AF、BD,如图所示:
由
(1)知△ABC≌△DFE,
∴∠ABC=∠DFE,
∴AB∥DF,
∵AB=DF,
∴四边形ABDF是平行四边形.
11.(2017山东泰安)如图,四边形ABCD是平行四边形,AD=AC,AD⊥AC,E是AB的中点,F是AC延长线上一点.
(1)若ED⊥EF,求证:
ED=EF;
(2)在
(1)的条件下,若DC的延长线与FB交于点P,试判定四边形ACPE是否为平行四边形?
并证明你的结论(请先补全图形,再解答);
(3)若ED=EF,ED与EF垂直吗?
若垂直给出证明.
【考点】LO:
四边形综合题.
【分析】
(1)根据平行四边形的想知道的AD=AC,AD⊥AC,连接CE,根据全等三角形的判定和性质即可得到结论;
(2)根据全等三角形的性质得到CF=AD,等量代换得到AC=CF,于是得到CP=
AB=AE,根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形;
(3)过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,证得△AME≌△CNE,△ADE≌△CFE,根据全等三角形的性质即可得到结论.
【解答】
(1)证明:
在▱ABCD中,
∵AD=AC,AD⊥AC,
∴AC=BC,AC⊥BC,
连接CE,
∵E是AB的中点,
∴AE=EC,CE⊥AB,
∴∠ACE=∠BCE=45°,
∴∠ECF=∠EAD=135°,
∵ED⊥EF,
∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED,
在△CEF和△AED中,
,
∴△CEF≌△AED,
∴ED=EF;
(2)解:
由
(1)知△CEF≌△AED,CF=AD,
∵AD=AC,
∴AC=CF,
∵DP∥AB,
∴FP=PB,
∴CP=
AB=AE,
∴四边形ACPE为平行四边形;
(3)解:
垂直,
理由:
过E作EM⊥DA交DA的延长线于M,过E作EN⊥FC交FC的延长线于N,
在△AME与△CNE中,
,
∴△AME≌△CNE,
∴∠ADE=∠CFE,
在△ADE与△CFE中,
,
∴△ADE≌△CFE,
∴∠DEA=∠FEC,
∵∠DEA+∠DEC=90°,
∴∠CEF+∠DEC=90°,
∴∠DEF=90°,
∴ED⊥EF.