数学建模实验四.docx
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数学建模实验四
数学建模实验四
(整数规划和对策论模型)
基本实验
1.遗嘱问题
解答:
设长子、次子、三子得到的骆驼数分别为:
X1,X2,X3,
则目标函数为:
X1+X2+X3+1
约束条件:
X1>=(X1+X2+X3+1)/2
X2>=(X1+X2+X3+1)/3
X3>=(X1+X2+X3+1)/9
X1,X2,X3为整数,且(X1+X2+X3+1)为奇数。
要想求出本题的可行解,则目标函数取得最小。
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
27.00000
Objectivebound:
27.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
16
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X114.000001.000000
X29.0000001.000000
X33.0000001.000000
Y13.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
127.00000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
由运行结果可得:
这个酋长的骆驼数量为27只,长子得到14只,次子得到9只,三子得到3只。
2.固定费用
解答:
设Xi表示使用第i家公司的业务,i=1,2,3。
则目标函数为:
X1*(16+200*0.25)+X2*(25+200*0.21)+X3*(18+200*0.22)
约束条件:
X1+X2+X3=1
X1,X2,X3为整数。
最优解使得目标函数取得最小。
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
62.00000
Objectivebound:
62.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
3
Totalconstraints:
2
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
6
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.00000066.00000
X20.00000067.00000
X31.00000062.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
162.00000-1.000000
20.0000000.000000
由运行结果可得:
张先生应该选择C家电话公司,此时每月电话公司最少为62元。
3.并联系统的可靠性
解答:
设Xij表示使用第i个部件并联j个元件,i=1,2,3;j=1,2,3。
则目标函数为:
(X11*0.6+X12*0.8+X13*0.9)*(X21*0.7+X22*0.8+X23*0.9)*(X31*0.5+X32*0.7+X33*0.9)
约束条件:
X11+X12+X13=1
X21+X22+X23=1
X31+X32+X33=1
1*X11+2*X12+3*X13+3*X21+5*X22+6*X23+2*X31+4*X32+5*X33<=10
Xij为整数。
最优解使得目标函数取得最大。
使用Lingo建模:
运行结果:
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.5040000
Objectivebound:
0.5040000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
16
ModelClass:
PINLP
Totalvariables:
9
Nonlinearvariables:
9
Integervariables:
9
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
1
Totalnonzeros:
27
Nonlinearnonzeros:
9
VariableValueReducedCost
X110.0000000.3966667E-01
X121.000000-0.1166667E-01
X130.0000000.000000
X211.000000-0.7733333E-01
X220.0000000.000000
X230.0000000.2666667E-02
X310.0000000.000000
X320.0000000.3733333E-01
X331.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.50400001.000000
20.0000000.3430000
30.0000000.2026667
40.0000000.1306667
50.0000000.7466667E-01
由运行结果可得:
部件1并联两个元件,部件2并联1个元件,部件3并联3个元件,最终的可靠性为0.504。
4.选课策略
解答:
记i=1,2,…,9表示9门课程的编号。
设
表示第i门课程选修,
表示第i门课程不选。
问题的目标为选修的课程总数最少,即
约束条件:
每个人最少要学习2门数学课,则
每个人最少要学习3门运筹学课,则
每个人最少要学习2门计算机课,则有:
“最优化方法”的先修课是“数学分析”和“线性代数”,有:
“数据结构”的先修课程是“计算机编程”,有:
“应用统计”的先修课是“数学分析”和“线性代数”,有:
“计算机模拟”的先修课程是“计算机编程”,有:
“预测理论”的先修课程是“应用统计”,有:
“数学试验”是“数学分析”和“线性代数”,有:
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
6.000000
Objectivebound:
6.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
9
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
9
Totalconstraints:
13
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
41
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
C
(1)5.0000000.000000
C
(2)4.0000000.000000
C(3)4.0000000.000000
C(4)3.0000000.000000
C(5)4.0000000.000000
C(6)3.0000000.000000
C(7)2.0000000.000000
C(8)2.0000000.000000
C(9)3.0000000.000000
X
(1)1.0000001.000000
X
(2)1.0000001.000000
X(3)1.0000001.000000
X(4)0.0000001.000000
X(5)0.0000001.000000
X(6)1.0000001.000000
X(7)1.0000001.000000
X(8)0.0000001.000000
X(9)1.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
16.000000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
41.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
71.0000000.000000
81.0000000.000000
91.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
由运行结果可得:
。
即选修课程为:
数学分析,线性代数.最优化方法,计算机模拟,计算机编程,数学试验。
5.最小覆盖
解答:
设Xi表示社区i被覆盖,i=1,…,15;Yj表示建造发射台i,i=1,2,3,4,5,6,7。
发射台与覆盖社区的关系如下表所示:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
是
是
2
是
是
是
3
是
是
是
是
4
是
是
是
是
5
是
是
是
是
6
是
是
是
是
是
7
是
是
是
是
目标函数为:
4*X1+3*X2+10*X3+14*X4+6*X5+7*X6+9*X7+10*X8+13*X9+11*X10+6*X11+12*X12+7*X13+5*X14+16*X15
约束条件:
3.6*Y1+2.3*Y2+4.1*Y3+3.15*Y4+2.8*Y5+2.65*Y6+3.1*Y7<=15;
由上表可知,某些发射台覆盖区域有重合,有些区域只能由特定发射台覆盖,可列以下约束方程:
Y1+Y3>=X1;
Y1+Y2>=X2;
Y2>=X3;
Y4>=X4;
Y2+Y6>=X5;
Y4+Y5>=X6;
Y3+Y5+Y6>=X7;
Y4>=X8;
Y3+Y4+Y5>=X9;
Y3+Y6>=X10;
Y5>=X11;
Y6+Y7>=X12;
Y7>=X13;
Y6+Y7>=X14;
Y7>=X15;
Xi,Yj为整数。
最优解使得目标函数取得最大。
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
129.0000
Objectivebound:
129.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
22
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
22
Totalconstraints:
17
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
63
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.000000-4.000000
X21.000000-3.000000
X31.000000-10.00000
X41.000000-14.00000
X51.000000-6.000000
X61.000000-7.000000
X71.000000-9.000000
X81.000000-10.00000
X91.000000-13.00000
X101.000000-11.00000
X111.000000-6.000000
X121.000000-12.00000
X131.000000-7.000000
X141.000000-5.000000
X151.000000-16.00000
Y10.0000000.000000
Y21.0000000.000000
Y30.0000000.000000
Y41.0000000.000000
Y51.0000000.000000
Y61.0000000.000000
Y71.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1129.00001.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
71.0000000.000000
81.0000000.000000
91.0000000.000000
100.0000000.000000
111.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
141.0000000.000000
150.0000000.000000
161.0000000.000000
170.0000000.000000
由运行结果可得:
需要建造的发射塔为2,4,5,6,7,只有1社区无法覆盖,覆盖最多人口为129千人。
6.
对策问题1
解答:
甲方赢的矩阵为:
甲
乙
石头
剪刀
布
石头
0
3
-1
剪刀
-3
0
2
布
1
-2
0
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
7
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
19
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
W0.0000000.000000
X
(1)0.33333330.000000
X
(2)0.16666670.000000
X(3)0.50000000.000000
A(1,1)0.0000000.000000
A(1,2)3.0000000.000000
A(1,3)-1.0000000.000000
A(2,1)-3.0000000.000000
A(2,2)0.0000000.000000
A(2,3)2.0000000.000000
A(3,1)1.0000000.000000
A(3,2)-2.0000000.000000
A(3,3)0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.0000001.000000
20.000000-0.3333333
30.0000000.000000
40.000000-0.1666667
50.0000000.000000
60.000000-0.5000000
70.0000000.000000
同理,列出乙方赢的矩阵为:
乙
甲
石头
剪刀
布
石头
0
3
-1
剪刀
-3
0
2
布
1
-2
0
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
13
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
V0.0000000.000000
Y
(1)0.33333330.000000
Y
(2)0.16666670.000000
Y(3)0.50000000.000000
A(1,1)0.0000000.000000
A(1,2)3.0000000.000000
A(1,3)-1.0000000.000000
A(2,1)-3.0000000.000000
A(2,2)0.0000000.000000
A(2,3)2.0000000.000000
A(3,1)1.0000000.000000
A(3,2)-2.0000000.000000
A(3,3)0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-1.000000
20.0000000.3333333
30.0000000.1666667
40.0000000.5000000
50.0000000.000000
由计算结果可知,甲乙相同,均需要以1/3的概率出石头,1/6的概率出剪刀,1/2的概率出布,最后的结局是平局。
7.对策问题2
解答:
由题意知,对于甲,有2种策略。
用甲1表示甲的宣称与所抛掷硬币面相同,甲2表示甲的宣称与所抛掷硬币面不同。
对于乙,也有2种策略。
用乙1表示猜同意,乙2表示猜不同意。
则甲乙两人采用不同策略的输赢情况如下矩阵所示:
乙1(猜同意)乙2(猜不同意)
甲1(宣称与实际相符)(2,5)(5.2)
甲2(宣称与实际不符)(8,3)(3,8)
那么,甲的赢得矩阵为
乙的赢得矩阵为
使用Lingo建模:
运行结果:
Feasiblesolutionfound.
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
21
ModelClass:
NLP
Totalvariables:
6
Nonlinearvariables:
4
Integervariables:
0
Totalconstraints:
9
Nonlinearconstraints:
2
Totalnonzeros:
26
Nonlinearnonzeros:
8
VariableValue
V14.250000
V24.250000
X
(1)0.6250000
X
(2)0.3750000
Y
(1)0.2500000
Y
(2)0.7500000
A(1,1)2.000000
A(1,2)5.000000
A(2,1)8.000000
A(2,2)3.000000
B(1,1)5.000000
B(1,2)2.000000
B(2,1)3.000000
B(2,2)8.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
70.000000
80.000000
由计算结果可知,甲以0.625的概率出甲对策1(宣称与实际相符),以0.375的概率出甲对策2(宣称与实际不符),乙以0.25的概率出乙对策1(猜同意),以0.75的概率出乙对策2(猜不同意),甲乙的赢得值相同,v1=v2=4.25。
加分实验(乒乓球团体赛上场队员排序)
解:
(该题不会,参考别人的答案,看懂了思路)
(1)计算在三局两胜的比赛中甲队运动员获胜的概率表格
两队比赛中,甲队运动员获胜的概率
队员
B1
B2
B3
A1
0.50
0.57
0.65
A2
0.43
0.50
0.57
A3
0.35
0.43
0.50
甲队与乙队各有六种对策:
a1:
A1A2A3A1A2;b1:
B1B2B3B1B2
a2:
A1A3A2A1A3;b2:
B1B3B2B1B3
a3:
A2A1A3A2A1