数学建模实验四.docx
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数学建模实验四
数学建模实验四
（整数规划和对策论模型）
基本实验
1.遗嘱问题
解答：
设长子、次子、三子得到的骆驼数分别为：
X1，X2，X3，
则目标函数为：
X1+X2+X3+1
约束条件：
X1>=（X1+X2+X3+1）/2
X2>=（X1+X2+X3+1）/3
X3>=（X1+X2+X3+1）/9
X1，X2，X3为整数，且（X1+X2+X3+1）为奇数。
要想求出本题的可行解，则目标函数取得最小。
使用Lingo建模:
运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
27.00000
Objectivebound:
27.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
4
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
16
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X114.000001.000000
X29.0000001.000000
X33.0000001.000000
Y13.000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
127.00000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
由运行结果可得：
这个酋长的骆驼数量为27只，长子得到14只，次子得到9只，三子得到3只。
2.固定费用
解答：
设Xi表示使用第i家公司的业务，i=1，2，3。
则目标函数为：
X1*（16+200*0.25）+X2*（25+200*0.21）+X3*（18+200*0.22）
约束条件：
X1+X2+X3=1
X1，X2，X3为整数。
最优解使得目标函数取得最小。
使用Lingo建模:
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
62.00000
Objectivebound:
62.00000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
3
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
3
Totalconstraints:
2
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
6
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.00000066.00000
X20.00000067.00000
X31.00000062.00000
RowSlackorSurplusDualPrice
162.00000-1.000000
20.0000000.000000
由运行结果可得：
张先生应该选择C家电话公司，此时每月电话公司最少为62元。
3.并联系统的可靠性
解答：
设Xij表示使用第i个部件并联j个元件，i=1，2，3；j=1，2，3。
则目标函数为：
（X11*0.6+X12*0.8+X13*0.9）*（X21*0.7+X22*0.8+X23*0.9）*（X31*0.5+X32*0.7+X33*0.9）
约束条件：
X11+X12+X13=1
X21+X22+X23=1
X31+X32+X33=1
1*X11+2*X12+3*X13+3*X21+5*X22+6*X23+2*X31+4*X32+5*X33<=10
Xij为整数。
最优解使得目标函数取得最大。
使用Lingo建模：
运行结果：
Localoptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.5040000
Objectivebound:
0.5040000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
16
ModelClass:
PINLP
Totalvariables:
9
Nonlinearvariables:
9
Integervariables:
9
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
1
Totalnonzeros:
27
Nonlinearnonzeros:
9
VariableValueReducedCost
X110.0000000.3966667E-01
X121.000000-0.1166667E-01
X130.0000000.000000
X211.000000-0.7733333E-01
X220.0000000.000000
X230.0000000.2666667E-02
X310.0000000.000000
X320.0000000.3733333E-01
X331.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.50400001.000000
20.0000000.3430000
30.0000000.2026667
40.0000000.1306667
50.0000000.7466667E-01
由运行结果可得：
部件1并联两个元件，部件2并联1个元件，部件3并联3个元件，最终的可靠性为0.504。
4.选课策略
解答：
记i=1，2，…，9表示9门课程的编号。
设
表示第i门课程选修，
表示第i门课程不选。
问题的目标为选修的课程总数最少，即
约束条件：
每个人最少要学习2门数学课，则
每个人最少要学习3门运筹学课，则
每个人最少要学习2门计算机课，则有：
“最优化方法”的先修课是“数学分析”和“线性代数”，有：
“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，有：
“应用统计”的先修课是“数学分析”和“线性代数”，有：
“计算机模拟”的先修课程是“计算机编程”，有：
“预测理论”的先修课程是“应用统计”，有：
“数学试验”是“数学分析”和“线性代数”，有：
使用Lingo建模：
运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
6.000000
Objectivebound:
6.000000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
9
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
9
Totalconstraints:
13
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
41
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
C
（1）5.0000000.000000
C
（2）4.0000000.000000
C（3）4.0000000.000000
C（4）3.0000000.000000
C（5）4.0000000.000000
C（6）3.0000000.000000
C（7）2.0000000.000000
C（8）2.0000000.000000
C（9）3.0000000.000000
X
（1）1.0000001.000000
X
（2）1.0000001.000000
X（3）1.0000001.000000
X（4）0.0000001.000000
X（5）0.0000001.000000
X（6）1.0000001.000000
X（7）1.0000001.000000
X（8）0.0000001.000000
X（9）1.0000001.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
16.000000-1.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
41.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
71.0000000.000000
81.0000000.000000
91.0000000.000000
100.0000000.000000
110.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
由运行结果可得：
。
即选修课程为：
数学分析,线性代数.最优化方法,计算机模拟,计算机编程,数学试验。
5.最小覆盖
解答：
设Xi表示社区i被覆盖，i=1，…，15；Yj表示建造发射台i，i=1，2，3，4，5，6，7。
发射台与覆盖社区的关系如下表所示：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
是
是
2
是
是
是
3
是
是
是
是
4
是
是
是
是
5
是
是
是
是
6
是
是
是
是
是
7
是
是
是
是
目标函数为：
4*X1+3*X2+10*X3+14*X4+6*X5+7*X6+9*X7+10*X8+13*X9+11*X10+6*X11+12*X12+7*X13+5*X14+16*X15
约束条件：
3.6*Y1+2.3*Y2+4.1*Y3+3.15*Y4+2.8*Y5+2.65*Y6+3.1*Y7<=15；
由上表可知，某些发射台覆盖区域有重合，有些区域只能由特定发射台覆盖，可列以下约束方程：
Y1+Y3>=X1;
Y1+Y2>=X2;
Y2>=X3;
Y4>=X4;
Y2+Y6>=X5;
Y4+Y5>=X6;
Y3+Y5+Y6>=X7;
Y4>=X8;
Y3+Y4+Y5>=X9;
Y3+Y6>=X10;
Y5>=X11;
Y6+Y7>=X12;
Y7>=X13;
Y6+Y7>=X14;
Y7>=X15;
Xi，Yj为整数。
最优解使得目标函数取得最大。
使用Lingo建模：
运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
129.0000
Objectivebound:
129.0000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
0
ModelClass:
PILP
Totalvariables:
22
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
22
Totalconstraints:
17
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
63
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
X10.000000-4.000000
X21.000000-3.000000
X31.000000-10.00000
X41.000000-14.00000
X51.000000-6.000000
X61.000000-7.000000
X71.000000-9.000000
X81.000000-10.00000
X91.000000-13.00000
X101.000000-11.00000
X111.000000-6.000000
X121.000000-12.00000
X131.000000-7.000000
X141.000000-5.000000
X151.000000-16.00000
Y10.0000000.000000
Y21.0000000.000000
Y30.0000000.000000
Y41.0000000.000000
Y51.0000000.000000
Y61.0000000.000000
Y71.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1129.00001.000000
21.0000000.000000
30.0000000.000000
40.0000000.000000
50.0000000.000000
60.0000000.000000
71.0000000.000000
81.0000000.000000
91.0000000.000000
100.0000000.000000
111.0000000.000000
120.0000000.000000
130.0000000.000000
141.0000000.000000
150.0000000.000000
161.0000000.000000
170.0000000.000000
由运行结果可得：
需要建造的发射塔为2，4，5，6，7，只有1社区无法覆盖，覆盖最多人口为129千人。
6.
对策问题1
解答：
甲方赢的矩阵为：
甲
乙
石头
剪刀
布
石头
0
3
-1
剪刀
-3
0
2
布
1
-2
0
使用Lingo建模：
运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
7
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
19
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
W0.0000000.000000
X
（1）0.33333330.000000
X
（2）0.16666670.000000
X（3）0.50000000.000000
A（1,1）0.0000000.000000
A（1,2）3.0000000.000000
A（1,3）-1.0000000.000000
A（2,1）-3.0000000.000000
A（2,2）0.0000000.000000
A（2,3）2.0000000.000000
A（3,1）1.0000000.000000
A（3,2）-2.0000000.000000
A（3,3）0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.0000001.000000
20.000000-0.3333333
30.0000000.000000
40.000000-0.1666667
50.0000000.000000
60.000000-0.5000000
70.0000000.000000
同理，列出乙方赢的矩阵为：
乙
甲
石头
剪刀
布
石头
0
3
-1
剪刀
-3
0
2
布
1
-2
0
使用Lingo建模：
运行结果：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
0.000000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
4
ModelClass:
LP
Totalvariables:
4
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
5
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
13
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
V0.0000000.000000
Y
（1）0.33333330.000000
Y
（2）0.16666670.000000
Y（3）0.50000000.000000
A（1,1）0.0000000.000000
A（1,2）3.0000000.000000
A（1,3）-1.0000000.000000
A（2,1）-3.0000000.000000
A（2,2）0.0000000.000000
A（2,3）2.0000000.000000
A（3,1）1.0000000.000000
A（3,2）-2.0000000.000000
A（3,3）0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
10.000000-1.000000
20.0000000.3333333
30.0000000.1666667
40.0000000.5000000
50.0000000.000000
由计算结果可知，甲乙相同，均需要以1/3的概率出石头，1/6的概率出剪刀，1/2的概率出布，最后的结局是平局。
7.对策问题2
解答：
由题意知，对于甲，有2种策略。
用甲1表示甲的宣称与所抛掷硬币面相同，甲2表示甲的宣称与所抛掷硬币面不同。
对于乙，也有2种策略。
用乙1表示猜同意，乙2表示猜不同意。
则甲乙两人采用不同策略的输赢情况如下矩阵所示：
乙1（猜同意）乙2（猜不同意）
甲1（宣称与实际相符）（2,5）（5.2）
甲2（宣称与实际不符）（8,3）（3,8）
那么，甲的赢得矩阵为
乙的赢得矩阵为
使用Lingo建模：
运行结果：
Feasiblesolutionfound.
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
21
ModelClass:
NLP
Totalvariables:
6
Nonlinearvariables:
4
Integervariables:
0
Totalconstraints:
9
Nonlinearconstraints:
2
Totalnonzeros:
26
Nonlinearnonzeros:
8
VariableValue
V14.250000
V24.250000
X
（1）0.6250000
X
（2）0.3750000
Y
（1）0.2500000
Y
（2）0.7500000
A（1,1）2.000000
A（1,2）5.000000
A（2,1）8.000000
A（2,2）3.000000
B（1,1）5.000000
B（1,2）2.000000
B（2,1）3.000000
B（2,2）8.000000
RowSlackorSurplus
10.000000
20.000000
30.000000
40.000000
50.000000
60.000000
70.000000
80.000000
由计算结果可知，甲以0.625的概率出甲对策1（宣称与实际相符），以0.375的概率出甲对策2（宣称与实际不符），乙以0.25的概率出乙对策1（猜同意），以0.75的概率出乙对策2（猜不同意），甲乙的赢得值相同，v1=v2=4.25。
加分实验（乒乓球团体赛上场队员排序）
解：
（该题不会，参考别人的答案，看懂了思路）
（1）计算在三局两胜的比赛中甲队运动员获胜的概率表格
两队比赛中，甲队运动员获胜的概率
队员
B1
B2
B3
A1
0.50
0.57
0.65
A2
0.43
0.50
0.57
A3
0.35
0.43
0.50
甲队与乙队各有六种对策:
a1:
A1A2A3A1A2;b1:
B1B2B3B1B2
a2:
A1A3A2A1A3;b2:
B1B3B2B1B3
a3:
A2A1A3A2A1
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