上海高中高考数学知识点总结大全解答.docx
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上海高中高考数学知识点总结大全解答
上海高中高考数学知识点总结（大全）
一、集合与常用逻辑
1•集合概念元素：
互异性、无序性
2.集合运算全集U:
如U=R
交集：
A"B={xx€A且xwB}
并集：
AuB={xxeA或xwB}
补集：
CuA={xx乏U且x芒A}
3.集合关系空集A
子集AB:
任意A=X，B
AB=A^
注：
数形结合---
4.四种命题
AB
文氏图、数轴
AB=B=
AB
原命题：
若p则q
逆命题:
若
q则p
否命题：
若_p贝y_q
逆否命题：
若
_q贝y_p
原命题：
二
逆否命题
否命题:
二逆命题
5.充分必要条件
p是q的充分条件:
P=q
p是q的必要条件:
P二q
p是q的充要条件:
:
p?
q
6.复合命题的真值
1q真（假）？
“—q”假（真）
2p、q同真？
“pAq”真
3p、q都假?
“pVq”假
7.全称命题、存在性命题的否定
-M,p（x）否定为：
l：
-M,一p（X）
l-M,p（x）否定为：
-M,_p（X）
、不等式
1•一元二次不等式解法
若a0,ax2•bx•c=0有两实根C：
：
：
-），则
ax2bxc:
:
:
0解集C,）
ax2bxc0解集（-：
：
-：
"（：
：
：
）
注：
若a：
：
：
0，转化为a.0情况
2•其它不等式解法一转化
22xcau—acxx>aux>a或xc—a二x2>a2
器gf（x）g（x）0
af（x）.ag（x）：
=f（x）g（x）（a1）
jf（x）>0
logaf（x）logag（x）（0a:
:
1）
[f（x）3.基本不等式
1a2b2_2ab
a+人s
2若a,bR，贝Uab
2
注：
用均值不等式a•b_2、.ab、ab乞（？
b）2
2
求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1.奇偶性
f（x）偶函数=f（_x）=f（x）=f（x）图象关于y轴对称
f（x）奇函数=f（-x）二-f（x）：
=f（x）图象关于原点对称注：
①f（x）有奇偶性=定义域关于原点对称
2f（x）奇函数，在x=0有定义=f（0）=0
3“奇+奇=奇”（公共定义域内）
2.单调性
f（x）增函数：
XiVX2—f（Xi）Vf（X2）或Xl>X2=f（x1）>f（x2）
或f（Xl）-f（X2）0
Xr_X2
f（X）减函数：
？
注：
①判断单调性必须考虑定义域
2f（X）单调性判断
定义法、图象法、性质法“增+增=增”
3奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反
3•周期性
T是f（x）周期二f（XT^f（X）恒成立（常数T=0）
解析式：
f（x）=ax
2+bx+c,
f（x）=a（x-h）
2+k
f（x）=a（x-x
1）（x-x
2）
对称轴：
X二
b
顶点:
（-―
4ac-b2、
）
2a
2a
4a
单调性：
a>0,
（
—oO一
b]
、、rb
递减，［,
2a
2a
4.二次函数
）递增
b4ac-b
当X,f（x）min:
2a4a
2
奇偶性：
f（x）=ax+bx+c是偶函数二b=0
闭区间上最值：
配方法、图象法、讨论法---
注意对称轴与区间的位置关系
注：
一次函数f（x）=ax+b奇函数=b=0
四、基本初等函数
2.对数式logaN=b=ab=N（a>0,a工1）
logaMN=logaMlogaN
lOga
rlogaM-logaN
logaMn二nlogaM
logab
logmb
logma
lgblga
logaSloganbn
1
logba
注：
性质loga1=ologaa=1alogaN=n
常用对数lgN=log10N,Ig2Ig5=1
自然对数lnN=logeN,lne=1
定义域、值域、过定点、单调性？
注：
y=ax与y=logax图象关于y=x对称（互为反函数）
1
4.幕函数y二x2,y二x3,y二x2,y二x」
y=x'在第一象限图象如下：
五、函数图像与方程
1.描点法
函数化简t定义域t讨论性质（奇偶、单调）
取
2.图
平
负”
«>1
0£oV1
a<0
n
二
特殊点如零点、最值点等象变换
移：
“左加右减，上正下
伸缩：
y=f（x）
每一点的横坐标变为原来的倍…
1
f（-x）
y=f（x）ry=f（xh）
对称：
“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
y=f（X）一浬ty=—f（x）y=f（x）一甥Ty=f（—x）y=f（x）—原^y=_f（-x）
直线x—a
注：
y=f（x）t
y=f（2a-x）
:
y=f（x）ty=|f（x）|保留x轴上方部分，
并将下方部分沿x轴翻折到上方
y.
/
y=f（x）
\/\/
y
\r
\i
■1
y=|f（x）|
\r
""a
ij
~^ao
bc"
y=f（x）ty=f（|x|）保留y轴右边部分，
并将右边部分沿y轴翻折到左边
打
y=f（x）
\/
y
\/\/
y=f（|x|）
\
"^a0
―b—，x
x
翻折
3.零点定理
若f（a）f（b）:
:
0，则y=f（x）在（a,b）内有零点
（条件：
f（x）在［a,b］上图象连续不间断）
注：
①f（x）零点：
f（x）=O的实根
:
:
:
0
②在［a,b］上连续的单调函数f（x），f（a）f（b）
则f（x）在（a,b）上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---f（a）f（b）<0？
六、三角函数
1•概念第二象限角（2k二•3,2也川％）（Z）
1
2•弧长I=a・r扇形面积Su^lr
2
3•定乂sin〉=—cos〉=—tan-=—
rrx
其中P（x,y）是〉终边上一点，PO=r
4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5•诱导公式：
“奇变偶不变，符号看象限”
如Sin（2理一；工）=-sin：
cos（「：
/2心）=-sin:
6.特殊角的三角函数值
a
0
ji
6
ji
4
ji
3
ji
2
JI
3兀
2
sina
0
1
2
返
2
2
1
0
-1
cosa
1
乜
2
占
2
1
2
0
-1
0
tga
0
虫
3
1
J3
/
0
/
7.基本公式
22sina
同角sin•篇川cos：
=1tan：
COSa
和差sin-I’sintcos#二costsin:
cos：
:
=cos-：
：
cos：
"sin-：
：
sin:
倍角
sin2-2sin:
cos：
2222
co2=cos：
-sin：
-2cos：
-1=1-2sin:
tan2週厂
1-tan:
降幕
21cos2：
cosa=
2
sin2a=匸吨_
叠加
tan：
一，tan：
一曲
sin二，cos：
-■-2sin（：
—）
■-3sin：
—cos：
二2sin（）
6
asin二'bcos；-.a2b2sin（U）（tan二旦）b
sinx
cosx
tanx
值域
卜1,1]
[-1,1]
无
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
周期
2n
2n
n
对称轴
x=k兀+兀/2
x=k兀
无
中心
（kn,0）
5/2+k兀,0）
（“/2,0）
&三角函数的图象性质
注：
kZ
9•解三角形
基本关系:
sin（A+B）=sinC
cos（A+B）=-cosC
tan（A+B）=-tanC
•ABC
sincos—
22
正弦定理：
余弦定理：
面积公式：
a
sinAsinBsinC
a=2RsinAa:
b:
c二sirA:
sirB:
sirCa2=b2+c2-2bccosA（求边）
222
八b+c—a/缶岛、
cosA=（求角）
2bc
g1
S^=absinC
2
注：
ABC中，A+B+C=
a2>b2+c2?
sinAsinB
/A>-
2
七、数列
1、等差数列
定义：
an1-an=d
通项：
an=a1（n_1）d
求和：
n（a1an）1,…
Snn—n（n一1）d
中项：
a+c
b（a,b,c成等差）
2
性质：
若mn=pq，贝廿am-an=ap-aq
2、等比数列
定义：
巧1二q（q=0）an
通项：
nA.
anpq
（q=1）
求和：
Sn=a11-qA）（q/）
1_q
中项：
b2=ac（a,b,c成等比）
性质：
若mn=Pq贝廿aman=apaq
3、数列通项与前n项和的关系
r
S[=a〔（n=1）
an=&Sn—Sn4（nZ2）
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法
八、平面向量
1•向量加减三角形法则，平行四边形法则
ABBC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始点中点公式：
ABAC=2AD二D是BC中点
—*—e
ifa■bcos日.
2•向量数量积ab==XlX2y1y2
注：
①a,b夹角：
0°<9w1800
②a,b同向：
a・b=ab
3•基本定理a='1e1''2e2（ei,e2不共线--基底）
平行:
a//b=a=&bu
X”2
=x2y1（b鼻0）
垂直:
―►—#■―►—F-
a丄b吕ab=0二乂必2+yiy2=0
2
a
=Jx2+y2
a十b
—-2
=（a十b）=
夹角:
cose_a，b.
|a||b|
注：
①0//a②ababc（结合律）不成立
③ab=a・c=b=c（消去律）不成立
九、复数与推理证明
1.复数概念
复数：
z=a•bi（a,b•R），实部a、虚部b
分类：
实数（b=0），虚数（b^0）,复数集C
注：
z是纯虚数二a=0,b式0
相等：
实、虚部分别相等
共轭:
z=a-bi
模：
z=Ja2+b2z・z=z?
复平面：
复数z对应的点（a,b）
2•复数运算
加减：
（a+bi）
±（c+di）=?
乘法:
（a+bi）
（c+di）=?
除法:
abi
=（abi）（c
-di）
除法：
cdi
（cdi）（c
-di）
乘方：
i2=-1
・n・4kr
1=1
・r二i
3.合情推理
类比：
特殊推出特殊归纳：
特殊推出一般
演绎：
一般导出特殊（大前题f小前题f结论）
4.直接与间接证明
综合法：
由因导果
比较法：
作差一变形一判断一结论
反证法：
反设一推理一矛盾一结论
分析法：
执果索因
分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证……,这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真注：
常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5.数学归纳法：
（1）验证当n=1时命题成立,
（2）假设当n=k（k■N*,k_1）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立
由
（1）
（2）知这命题对所有正整数n都成立
注：
用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用
十、直线与圆
1、倾斜角范围0,二
注：
直线向上方向与x轴正方向所成的最小正角倾斜角为90时，斜率不存在
2、直线方程
点斜式y-y°=k（x-Xo），斜截式y=kxb
两点式
y-yi_x-捲
y2■yix2-x-i
截距式--1
ab
般式AxByC=0
注意适用范围：
①不含直线x=x0
2不含垂直x轴的直线
3不含垂直坐标轴和过原点的直线
3、位置关系（注意条件）
平行=k^k2且d=b2
垂直uk*?
=_1垂直uA1A2B1B2=0
4、距离公式
两点间距离：
|AB|=-（x^x2）2（y^y2）2
点到直线距离：
d=应「By。
+C
5、圆标准方程：
（x—a）2■（y—b）2=r2圆心（a,b），半径r
圆一般方程：
x2y2DxEyF=0（条件是？
）
圆心丄E
I2
半径—DE—4F
2
6、直线与圆位置关系
宀护¥方位置大糸
相切
相交
相离
几何特征
d=r
d£r
d>r
代数特征
△=0
△>0
△<0
注：
点与圆位置关系（xg-a）2•（y°-b）2-r2=点PXo,y°在圆外
7、直线截圆所得弦长
AB=2jr2-d2
十一、圆锥曲线
、定义
椭圆：
|PFi|+|PF2|=2a（2a>|F丘|）
双曲线:
|PFi|-|PF2|=±2a（0<2a<|F冋）
抛物线：
与定点和定直线距离相等的点轨迹
、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）
22椭圆笃=1（a>b>0）ab
22
双曲线笃一占=1（a>0,b>0）
ab
中心原点对称轴？
焦点R（c,0）、F2（-c,0）
顶点：
椭圆（土a,0）,（0,±b），双曲线（土a,0）
范围：
木椭圆-a_x^a,-b_y功双曲线|x|>a,y讯
焦距：
椭圆2c（c=■,a2-b2）
双曲线2c（c=,a2b2）
2a、2b:
椭圆长轴、短轴长，
双曲线实轴、虚轴长
离心率：
e=c/a椭圆01
方程mx2ny2表示椭圆二m0,nO.m=n
22
抛物线y=2px（p>0）
顶点（原点）
开口（向右）
焦点F（-,0）
2
方程mxny=1表示双曲线二mn：
：
：
0
对称轴（x轴）
范围x「_0离心率e=1
准线x二-E
2
十二、矩阵、行列式、算法初步
十、算法初步
•程序框图
程序框
名称
功能
起止框
起始和结束
//
输入、输出框
输入和输出的信息
处理框
赋值、计算
ro
判断框
判断某一条件是否成立
1
+
循环框
重复操作以及运算
二基本算法语句及格式
1输入语句：
INPUT“提示内容”；变量
2输出语句:
PRINT“提示内容”；表达式
3赋值语句：
变量=表达式
4条件语句
“IF—THEN-ELSE'语句“IF—THEN语句
IF条件THEN
语句1
IF
条件THEN
语句
直到型循环语句
DO
循环体
LOOPUNTIL条件
直到型“先循环后判断”三•算法案例
1、求两个数的最大公约数
辗转相除法：
到达余数为0
更相减损术：
到达减数和差相等
2、多项式f（x）=anxn+an-ixn-1+….+aix+ao的求值
秦九韶算法：
Vi=anX+an-1V2=ViX+an-2
V3=V2X+an-3Vn=Vn-1X+a0
注：
递推公式V0=anVk=vk-1X+an-k（k=1,2,…n）
求f（x）值，乘法、加法均最多n次
3、进位制间的转换
k进制数转换为十进制数:
十进制数转换成k进制数：
“除k取余法”
例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3
例2已知f（x）=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，秦九韶算法求f（5）
123=2X48+27V
48=1X27+21V
27=1X21+6V
21=3X6+3V
6=2X3+0V
V5=534X5+7=2677
十三、立体几何
1.三视图正视图、侧视图、俯视图
2•直观图：
斜二测画法.x'OY'=450
平行X轴的线段，保平行和长度平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3•体积与侧面积
V柱=S底hV锥=S底h
3
2s圆锥侧=r：
rls圆台侧=（Rr）lS球表
4.公理与推论确定一个平面的条件：
①不共线的三点②一条直线和这直线外一点
③两相交直线④两平行直线
公理：
平行于同一条直线的两条直线平行
定理：
如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5•两直线位置关系相交、平行、异面
异面直线一一不同在任何一个平面内
6•直线和平面位置关系
a二*a门：
•二Aa//:
7•平行的判定与性质
线面平行:
a//b,b:
a—=a//：
a//：
a-b-a//b
面面平行：
AB//：
AC//：
=平面ABC//
〉//：
a「=a//：
&垂直的判定与性质
线面垂直：
p_AB,p_AC—p_面ABC
面面垂直：
a_,a二-一-.-■
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直;
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
三垂线定理：
P0_：
A0_a=PA_a
PO_：
PA_a=A0_a
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,
么它也和这条斜线垂直逆定理?
9•空间角、距离的计算
异面直线所成的角范围（0°,90°]
平移法：
转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角范围[0°，90°]
定义法：
找直线在平面内射影，转为解三角形二面角范围[0°，180°]
定义法：
作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式
注：
计算过程，“一作二证三求”，都要写出
10.立体几何中的向量解法
法向量求法：
设平面ABC的法向量n=（x,y）
n_AB,n_AC
n・AB=0,nAC=0
解方程组，得一个法向量n
TT一
线线角：
设n1,n2是异面直线h,l2的方向向量,
所成的角为日，则cos^=cosvni,门2a
彳T
即li,l2所成的角等于：
:
:
n1,n2•或二-：
：
：
ni,n2线面角：
<
设n是平面:
-的法向量，ab是平面〉的
一条斜线，AB与平面:
-所成的角为二,
abn
贝Vsin日=cos=|㈡
|AB|n
二面角：
设口，门2是面〉，：
的法向量，二面角?
-I-的大小为二，则cos^-cos：
：
：
m,
_cos：
：
n1,n2
-k—屮T
即二面角大小等于:
:
:
n1,n2•或二-:
：
n1,n-
点到面距离：
■I
若n是平面:
-的法向量，AB是平面:
-的一条斜线段，且B-,
A^*n|
则点A到平面口的距离d=—4—
n
十四、计数原理
1.计数原理
2.排列组合
加法分类，乘法分步差异---排列有序而组合无序
=m!
C
关系
公式=n（n_1）
=2n
性质：
Cm=cnijm
3•排列组合应用题
原则：
分类后分步，先选后排，先特殊后一般解法：
相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”
4.二项式定理
（ab）n二C0an-C1anJb点云节•…CanF£防
特例（1x）n=1C：
X•||「cnxr•川•xn
通项T十C：
an」br（r=0,12,n）
注Cnr---第r1项二项式系数
性质：
所有二项式系数和为2n
中间项二项式系数最大
赋值法：
取x=0,1,-1等代入二项式
十五、概率与统计
1.古典概型：
p（mzA包含的基本事件个数）
（）「n（总的基本事件个数）
求基本事件个数：
列举法、图表法
2.几何概型：
pAA的区域长度（面积或体积）
=区域总长度（面积或体~~积T
注：
试验出现的结果无限个
3.加法公式：
若事件A和B互斥，则
PAB=PAPBPA"—PA
互斥事件：
不可能同时发生的事件
对立事件：
不同时发生，但必有一个发生的事件
4.常用抽样（不放回）
简单随机抽样：
逐个抽取（个数少）
系统抽样：
总体均分，按规则抽取（个数多）
分层抽样：
总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）
5.用样本估计总体
众数：
出现次数最多的数据
中位数：
按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
平均数
方差S2
二1^（Xi-X）标准差s
nii
6.频率分布直方图
频率
小长方形面积=组距X=频率
组距
各小长方形面积之和为1
众数一最高矩形中点的横坐标
X轴交点的横坐标
中位数一垂直于x轴且平分直方图面积的直线与
茎叶图：
由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等
升级会员 