公共基础知识第六编数量关系.docx

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公共基础知识第六编数量关系

第六编　数量关系

第一章　数字推理

第一节　题型解读与常用知识储备

　　一、数字推理题型解读

（一）题型介绍

　　数字推理的出题形式是：

每道题给出一个数列，但缺少其中一项，要求应试者仔细观察这个数列各个数字之间的关系，找出其中的排列规律。

（二）考查内容

　　数字推理主要用来考查应试者对数量关系的理解和判断推理能力。

　　二、数字推理常用知识储备

（一）质数（素数）

　　只有1和它本身两个约数的自然数，叫做质数。

　　如：

2，3，5，7，11，13，…

　　公约数只有1的两个数，叫做互质（素）数。

　　200以内的质数：

　　2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199。

（二）合数

　　除了1和它本身还有其他约数的自然数，叫做合数。

如：

4，6，8，9，10，12，…

　　注意：

1既不是质数，也不是合数。

　　（三）公倍数与公约数

　　几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数。

最小公倍数。

　　几个数公有的约数叫做这几个数的公约数。

最大公约数。

　　（四）十种常见数列类型表

　　自然数数列　　1，2，3，4，5，6，…　　an=n（n∈N）

　　偶数数列2，4，6，8，10，12，…an=2n（n∈N）

　　奇数数列1，3，5，7，9，11，13，…an=2n-1（n∈N）

　　自然数平方数列1，4，9，16，25，36，…　　an=n2（n∈N）

　　自然数立方数列1，8，27，64，125，216，…an=n3（n∈N）

　　等差数列3，7，11，15，19，…an+1=an+d（n∈N）

　　等比数列2，4，8，16，32，…an=a1·qn-1（n∈N）

　　质数数列2，3，5，7，11，13，…只有1和其本身两个约数

　　合数数列4，6，8，10，12，…除了1和其本身外，还有其他约数

第二节　常考题型实例精讲

（一）

　　一、等差数列

　　所谓等差数列，是指数列各项中，后一项减去前一项所得的差值为同一常数d的数列，即an+1-an=d（n∈N，d为常数）.

（一）基本等差数列

　　【例题1】5，8，11，（　），17，20

　　A.12　　　B.14　　　C.15　　　D.16

『正确答案』B

　　【例题2】3，6，10，15，（　），28

　　A.17　　B.18　　C.20　　D.21

『正确答案』D

『答案解析』本题是二级等差数列。

后一项减前一项为3、4、5，是一个公差为1的等差数列，下一个数是6，（　）就是15+6=21。

　　二、等比数列

　　所谓等比数列，是指数列各项中，后一项比前一项所得的比值为同一常数q的数列，即an+1/an=q（n∈N，q为常数）。

根据拓展层次的划分等比数列可以分为基本等比数列、二级等比数列、二级等比数列的变式。

（一）等比数列

（二）二级等比数列

　　二级等比数列：

数列中的后一项除以前一项所得的数列是一个新的等比数列。

　　【例题1】0.25，0.25，0.5，2，16，（　）

　　A.32　　B.64　　C.128　　D.256

『正确答案』D

『答案解析』0.25*1=0.25，0.25*2=0.5，0.5*4=2，2*8=16，16*16=（256）二级为公比为2的等比数列。

故所求项为16×16＝256，正确答案为D。

　　三、积数列

（一）典型积数列

　　典型积数列：

前两项相乘得第三项。

　　【例题】1，2，2，4，（　），32

　　A.4　　B.6　　C.8　　D.16

『正确答案』C

（二）积数列的变式

　　积数列的变式：

数列中，前两项相乘经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数，或者每两项相乘与项数之间具有某种关系，或是前两项相乘得到一个等差数列、等比数列、平方数列、立方数列等形式。

　　四、商数列

（一）典型商数列

　　典型商数列：

前两项相除得第三项。

（二）商数列的变式

　　商数列的变式：

数列中前两项相除经过变化之后得到第三项，这种变化可能是加、减、乘、除某一常数，或者每两项相除与项数之间具有某种关系，或是前两项相除得到一个等差数列、等比数列、平方数列、立方数列等形式。

第三节　常考题型实例精讲

（二）

　　一、幂数列

（一）平方数列

　　【例题】100，（　），64，49，36

　　A.121　　B.100　　C.96　　D.81

『正确答案』D

『答案解析』这是典型的平方数列。

原数列依次为102，（　），82，72，62，故所求项为92＝81，正确答案为D。

（二）平方数列的变式

　　平方数列的变式：

在简单的平方数列的基础上，进行变化，变化的形式一般为±k（k为常数），或是平方数列和自然数列、等差数列、等比数列、质数列等基本数列进行规律组合。

　　【例题1】17，27，39，（　），69

　　A.59　　　B.53　　　C.49　　D.40

『正确答案』B

『答案解析』各项分别为42＋1，52＋2，62＋3，（　），82＋5，故所求项为72＋4＝53，正确答案为B。

　　（三）立方数列

　　【例题1】8，1，0，-1，-8，（　）

　　A.27　　B.16　　C.-16　　D.-27

『正确答案』D

『答案解析』各项分别为23，13，03，（-1）3，（-2）3，故所求项为（-3）3＝-27，正确答案为D。

　　（四）立方数列的变式

　　立方数列的变式：

在简单的立方数列的基础上进行变化，变化的形式一般为±k（k为常数），或是立方数列和自然数列、等差数列、等比数列、质数列等基本数列进行规律组合。

　　【例题1】11，33，73，（　），231

　　A.137　　B.117　　C.120　　D.211

『正确答案』A

『答案解析』各项分别为23＋3，33＋6，43+9，（53+12），63＋15的形式，故所求项为53＋12＝137，正确答案为A。

　　二、组合数列

（一）间隔组合数列

　　间隔组合数列：

两个数列（七种基本数列的任何一种或两种）进行分隔组合。

　　【例题1】23，12，25，13，27，（　）

　　A.14　　B.16　　C.21　　D.29

『正确答案』A

『答案解析』本题为数列23，25，27和数列12，13，14的间隔组合。

故所求项为14，正确答案为A。

（二）分段组合数列

　　【例题1】6，12，19，27，33，（　），48

　　A.42　　B.41　　C.40　　D.39

『正确答案』C

『答案解析』后一项减前一项为6、7、8的循环：

12-6=6，19-12=7，27-19=8；33-27=6，（40）-33=7，48-（40）=8。

　　（三）特殊组合数列

　　【例题1】7，15，22，26，48，（　），60

　　A.52　　B.12　　C.58　　D.15

『正确答案』B

『答案解析』此题为三项组合数列，7+15＝22，22+26＝48，48+（12）＝60，故所求项为12，正确答案为B。

　　三、其他数列

（一）质数列

　　【例题1】2，3，5，（　），11，13

　　A.6　　B.7　　C.8　　D.9

『正确答案』B

『答案解析』质数列是一个非常重要的数列，质数即只能被1和本身整除的数。

正确答案为B。

　　【例题2】4，6，10，14，22，（　）

　　A.30　　B.28　　C.26　　D.24

『正确答案』C

『答案解析』各项除以2得到质数列2，3，5，7，11，（13）。

故所求项为13×2=26，正确答案为C。

（二）合数列

　　【例题】4，6，8，9，10，（　），14

　　A.12　　B.14　　C.17　　D.19

『正确答案』A

『答案解析』本题为合数列，故所求项为12，正确答案为A。

　　（三）日期数列

　　【例题1】2004.2.2，2004.2.9，2004.2.16，2004.2.23，（　）

　　A.2004.2.30　B.2004.2.31　C.2004.3.1　D.2004.3.2

『正确答案』C

『答案解析』这是一个时间数列，原数列可以看做2004年2月2日、2004年2月9日、2004年2月16日、2004年2月23日，分别相差一周，而2004年是闰年，二月有29天，所以下一项应该是2004年3月1日，正确答案为C。

　　（四）尾数数列

　　【例题1】6，7，3，0，3，3，6，9，5，（　）

　　A.4　　B.3　　C.2　　D.1

『正确答案』A

『答案解析』6+7＝13，尾数为3；7+3＝10，尾数为0；3+0＝3，尾数为3；0+3＝3，尾数为3；3+3＝6，尾数为6；3+6＝9，尾数为9；6+9＝15，尾数为5；9+5＝14，尾数为4，正确答案为A。

第二章　数学运算

第一节　题型解读与常用知识储备

　　一、数字运算题型解读

（一）题型介绍

　　数学运算的出题形式是，每道题给出一个算术式或者表达数量关系的一段文字，要求应试者熟练运用加、减、乘、除等基本的数学知识和运算方法，迅速、准确地计算出结果来。

测试中常见的题型有：

基本运算、比较大小问题、比例问题、路程问题、工程问题和植树问题等典型数学问题。

（二）考查内容

　　数学运算作为考试的一个部分，重点测查应试者对数量关系的理解、计算和判断推理能力，体现一个人的抽象思维能力以及综合能力的发展水平，是人类认识世界的基本能力之一。

所以，几乎所有的智力问题研究专家都把它作为一个人潜在能力测试的标准之一。

　　二、数字运算常用知识储备

（一）数列运算公式

　　1.平方差

　　2.完全平方和/差

　　3.立方和/差

　　4.完全立方和/差

　　5.等差数列求和公式

　　6.等比数列求和公式

（二）利润常用计算公式

　　1.利润＝销售价（卖出价）-成本。

　　2.利润率＝利润/成本＝（销售价-成本）/成本＝销售价/成本-1。

　　3.销售价＝成本×（1+利润率）。

　　4.成本＝销售价/（1+利润率）。

　　（三）几何图形运算公式

　　1.面积运算公式

（1）正方形面积S＝a2；长方形面积S＝ab；圆形面积S＝πR2。

（2）三角形面积S＝1/2ah；平行四边形面积S＝ah。

　　（3）梯形面积S＝1/2（a+b）h;扇形面积S＝n/360°πR2。

　　（4）正方体的表面积S＝6a2；长方体的表面积S＝2ab+2bc+2ac。

　　（5）球的表面积S＝4πR2；圆柱的表面积S＝2πRh+2πR2。

　　（四）常用比较大小的方法

　　1.作差法：

对任意两数a、b，如果a-b≥0，则a≥b；如果a-b＜0则a＜b。

　　2.作比法：

当a、b为任意两正数时，如果a/b≥1，则a≥b；如果a/b＜1，则a＜b。

当a、b为任意两负数时，如果a/b≥1，则a≤b；如果a/b＜1，则a＞b。

　　3.中间值法：

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们可以选取中间值c，如果a＞c而c＞b，则我们可以认为a＞b。

　　4.倒数法：

相近的两个分数比较大小时，可通过比较分数倒数的大小来比较原分数的大小。

第二节　常考题型实例精讲

（一）

　　一、基本计算问题

（一）简单计算

　　1.凑整法

　　凑整法是最常用的运算方法，它通过交换运算次序，把可以通过加、减、乘、除得到较整的数先进行运算，或者把一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后再进行修正。

因此，需要灵活应用并会拓展凑整法，从而提高运算速度。

　　【例题1】32.8+76.4+67.2+23.6-17的值是（　）。

　　A.176　B.182.4　C.183　D.173

『正确答案』C

『答案解析』原式＝（32.8+67.2）+（76.4+23.6）-17＝183，正确答案为C。

　　2.公式法

　　公式法是运用数学公式进行运算的一种简便运算方法。

考生如能熟记一些基本公式，并能灵活运用，可以提高运算效率。

　　【例题1】782＋222＋2×78×22的值是（　）。

　　A.1000　B.1500　C.10000　D.20000

『正确答案』C

『答案解析』核心公式：

（a+b）2＝a2＋2ab+b2，正确答案为C。

　　【例题2】1+2+3+…+98+99+100的和是（　）。

　　A.5030　B.5040　C.5050　D.5060

『正确答案』C

『答案解析』原式＝（1+100）+（2+99）+…+（50+51）＝101×50＝5050。

故正确答案为C。

　　3.提取公因式法

　　提取公因式进行简化计算是一种最基本的四则运算方法，但需要注意公因式的选择对计算量的影响。

　　【例题】1999+1999×2+1999×3+…+1999×10＝（　）。

　　A.190099　B.19099　C.19011　D.109945

『正确答案』D

『答案解析』提取公因式：

1999（1+2+…+10）＝1999×10（1+10）2＝109945，正确答案为D。

　　4.代换法

　　做此类计算题时，先观察式子的特点，尽量多找出其中的同类项，把同类项作为一个整体计算，最后再计算具体结果，这样便省去不少计算量。

　　【例题】1994×2002-1993×2003的值是（　）。

　　A.9　B.19　C.29　D.39

『正确答案』A

『答案解析』设1993＝x，2002＝y，原式＝（x+1）×y-x（y+1）=y-x=2002-1993＝9，正确答案为A。

（二）比例问题

　　比例问题是数量关系题中最常见的问题，应用面较宽。

主要有两种基本类型：

求比值和比例分配。

　　【例题1】有一笔资金，想用1∶2∶3的比例来分，已知第三个人分到了450元，那么总共有多少钱?

（　）

　　A.1250元　B.1000元　C.900元　D.750元

『正确答案』C

『答案解析』由题意中得知第三个人分到的是3/（1+2+3）＝3/6＝1/2，即整个资金的一半，那么整个资金应该是450×2=900元，故正确答案为C。

　　二、工程和行程问题

（一）工程问题

　　工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数“1”表示;也可以是部分工程量，常用分数表示。

例如，工程的一半表示为1/2，工程的三分之一表示为1/3。

　　常用的关系式：

工作量＝工作效率×工作时间

　　【例题】某工程由小张、小王两人合作刚好可在规定的时间内完成。

如果小张的工作效率提高20%，那么两人只需用规定时间的90%就可完成工程；如果小王的工作效率降低25%，那么两人就需延迟2.5小时完成工程。

问规定的时间是（　）。

　　A.20小时　B.24小时　C.26小时　D.30小时

『正确答案』A

『答案解析』设小张的工作效率为A，小王的工作效率为B，规定时间为C。

那么，有（1.2A+B）×0.9C＝（A+B）×C，（A+0.75B）×（C+2.5）＝（A+B）×C。

根据第一个等式，求出B＝0.8A；把它代入第二个等式，得1.6A×（C+2.5）＝1.8A×C，C＝20小时。

故正确答案为A。

（二）行程问题

　　1.相遇问题

　　相遇问题的基本情况是：

在同一个时间，甲以速度v甲，乙以速度v乙，分别从相距S的A地、B地相对而行，经过t时间后，两人在途中相遇，且甲走的路程为S甲，乙走的路程为S乙。

那么则有以下关系式：

　　A、B之间的路程（S）＝甲走的路程（S甲）+乙走的路程（S乙）

　　＝甲的速度（v甲）×相遇时间（t）+乙的速度（v乙）×相遇时间（t）

　　＝［甲的速度（v甲）+乙的速度（v乙）］×相遇时间（t）

　　＝速度和（v甲+v乙）×相遇时间（t）

　　由此可见，相遇问题的核心是速度和的问题。

　　【例题】A、B两地相距45km，甲、乙两人同时从A地出发到B地。

甲骑自行车每小时行15km，乙步行每小时走5km。

甲到B地后停留2h再返回A地，途中与乙相遇，相遇时乙走了多少?

（　）

　　A.50km　B.40km　C.30km　D.20km

『正确答案』C

『答案解析』

　　根据题意，甲从A地出发到B地再停留2h后，所用的时间为45÷15+2＝5h。

　　乙5h行走的路程为5×5＝25km。

所剩路程，甲、乙两人相向而行，相遇时所用的时间为（45-25）÷（5+15）＝1h。

相遇时乙行走的总路程为5×（5+1）＝30km。

故正确答案为C。

　　2.追击问题

　　追击问题的基本情况是：

甲、乙两个人同向行走，甲走得快，速度为v甲，乙走得慢，速度为v乙，乙在前，甲过了一些时间就能追上他，这就产生了“追击问题”。

则有以下关系式：

　　追击路程（S）＝甲走的路程（S甲）-乙走的路程（S乙）

　　＝甲的速度（v甲）×追击时间（t）-乙的速度（v乙）×追击时间（t）

　　＝［甲的速度（v甲）-乙的速度（v乙）］×追击时间（t）

　　＝速度差（v甲-v乙）×追击时间（t）

　　由此可见，追击问题的核心是速度差的问题。

　　【例题】甲、乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙船在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米?

（　）

　　A.12千米　B.16千米　C.20千米　D.24千米

『正确答案』B

『答案解析』甲对乙的追击速度差＝28-24＝4千米/小时，追击时间为4小时，则追击的距离为4×4=16千米，即两码头之间的距离为16千米，故正确答案为B。

　　3.水流问题

　　在水中，船顺水航行的速度为船速加上水流的速度，而当船逆向行驶时，其速度为船的速度减去水流的速度。

那么则有以下关系式：

（1）顺水速度v顺＝船速v船+水速v水。

（2）逆水速度v逆＝船速v船-水速v水。

　　（3）船速v船＝（顺水速度v顺+逆水速度v逆）÷2。

　　（4）水速v水＝（顺水速度v顺-逆水速度v逆）÷2。

　　【例题】一只船沿河顺水而行的船速为30千米/时，已知按同样的船速在该河上顺水航行3小时和逆水航行5小时的航程相等，则此船在该河上顺水漂流半小时的航程为（　）。

　　A.1千米　B.2千米　C.3千米　D.6千米

『正确答案』C

『答案解析』假设逆水时流速为x，列方程得30×3＝5x，解得x=18，则水流速度为（30-18）÷2=6千米/时，半小时的航程即为3千米，故正确答案为C。

　　三、植树和方阵问题

（一）植树问题

　　植树问题要牢记的三要素：

总路线长、间距（棵距）长、棵数。

只要知道这三个要素中任意两个，就可以求出第三个。

（1）环型植树问题：

棵数=段数。

（2）直线型两端都植树问题：

棵树=段数+1。

　　（3）直线型一端植树问题：

棵树=段数。

　　（4）直线型两端都不植树问题：

棵树=段数-1。

　　【例题】一块三角形土地，在三个边上植树，三个边的长度分别为156米、186米、234米，树与树之间的距离均为6米，三个角上都必须栽一棵树，问共需植树多少棵?

（　）

　　A.90棵　B.93棵　C.96棵　D.99棵

『正确答案』C

『答案解析』三角形三边闭合，所以需要植树（156+186+234）÷6＝96棵。

故正确答案为C。

第三节常考题型实例精讲

（二）

　　一、日期和时钟问题

（一）日期问题

　　对于日期问题需要记住以下结论性规律：

（1）同月同日的星期数，每经过一个普通年，星期数增加“1”；

（2）每经过一个闰年，星期数增加“2”。

　　在此顺便将闰年的计算方法给大家列出来：

能被4整除而不能被100整除或者能被100整除也能被400整除的年份均为闰年。

　　【例题】2003年7月1日是星期二，那么2005年7月1日是（　）。

　　A.星期三　B.星期四　C.星期五　D.星期六

『正确答案』C

『答案解析』“一年就是1”，从2003年到2005年是两年，所以是“2”；“闰日再加1”，在2003年到2005年中有一个闰日，所以再加“1”，故2003年7月1日与2005年7月1日星期数差3天，在2003年7月1日星期二的基础上加3天，故2005年7月1日是星期五。

故正确答案为C。

　　二、平均和盈亏问题

（一）平均问题

　　【例题1】小明从甲地到乙地办事，去时由于上山，每小时走3千米，回来时下山，每小时走5千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米/时?

（　）

　　A.2千米/时　B.2.5千米/时　C.3千米/时　D.3.75千米/时

『正确答案』D

『答案解析』这道题没有告诉甲乙两地路程，我们设它为“1”，那么，去时走的时间应为1÷3=1/3，回来时用的时间应为1÷5=1/5，往返甲乙两地的总路程应为1×2，总时间为1/3+1/5。

依题意则有：

2/（1/3+1/5）＝2/（8/15）＝3.75千米/时，故正确答案为D。

（二）盈亏问题

　　盈亏的问题最早曾记载在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章“盈不足章”中，盈，就是有余；亏，就是不足的意思。

　　典型的盈亏问题一般表述为：

把一定数量（未知数）平分成一定份数（未知数），根据两次试分的盈（或亏）数量与每次试分的每份数量，求总数量和份数。

　　例如：

把若干个苹果（数量）分给若干个人（份数），如果每人分2个还多20（盈）个，如果每人分3个则少（亏）5个。

问总共有多少人（份数）？

有多少个苹果（数量）？

　　题目中的不变量是人数和苹果数，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差：

20+5=25（个）；相差25个苹果，毫无疑问是由于每人相差苹果3-2=1个而做成的，事实上，只有唯一一种情况才会导致上述情形，那就是有25人分苹果。

　　求得人数后，进而可以根据题意，用两种方法求得苹果的数目：

2×25＋20＝70个或3×25－5＝70个。

　　解答盈亏问题一般会用到以下两个公式：

（1）份数=两次盈（或亏）的相差数