第6章-窄带随机信号.ppt

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第六章窄带随机信号,使用班级：

09050641,0905064209050941,09050942,窄带随机信号的概念,窄带信号或窄带系统,中心频率远大于谱宽，即,窄带随机信号或窄带随机系统,一个随机信号的功率谱密度，只要分布在高频载波附近的一个窄带范围内，在范围以外为零，即满足,第六章窄带随机信号,6.1预备知识（4）6.2窄带随机过程（31）6.3窄带高斯过程包络与相位的分布（41）6.4窄带高斯过程包络平方的概率分布（61）,6.1预备知识,傅里叶变换,6.1.1信号的解析形式,单边谱的解析信号,

（1）单边谱信号,Hilbert变换,

（2）解析信号,虚部,实部,6.1.2希尔伯特变换,希尔伯特反变换,希尔伯特变换,

（1）定义,

（2）性质,1、希尔伯特变换相当于一个的90o理想移相器,于是，可以看成是通过一个具有冲激响应为的线性滤波器的输出。

系统的传输函数：

即,频域：

2、的希尔伯特变换为，即,3、若，则的希尔伯特变换为,两次连续希尔伯特变换相当于两次90o相移，即反相,利用性质1和卷据交换率证明,也可以采用定义通过积分变量代换证明,4、与的能量及平均功率相等，即,希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能量和功率,利用能量守恒定律证明,5、设具有有限带宽的信号的傅氏变换为,假定，则有,设与为低频信号，则,证明见书P198-199,利用该性质可以求信号的包络,超声信号的希尔伯特变换应用,超声信号及hilbert变换,6、偶函数的希尔伯特变换是奇函数，奇函数的希尔伯特变换是偶函数,偶函数：

奇函数：

6.1.3高频窄带信号的复指数形式,

（1）高频窄带信号,振幅调制，称“包络函数”,相位调制，称“相位函数”,由于，所以相对载波来讲是“慢变化”的时间函数。

相对于来讲也是低频信号，且两者在几何上彼此正交。

s（t）的解析信号,s（t）的解析形式可以用复指数表示为,

（2）复指数形式,低频限带,s（t）的复包络,s（t）的复载频,s（t）的包络,s（t）的预包络,对于一个理想的高频窄带信号或低频限带复包络的窄带信号而言，其解析信号的形式可以用一个复指数信号的形式表示。

复指数形式,解析信号,已知实信号,包络,实信号频谱,复信号频谱,解析信号频谱,（3）误差分析,条件,6.1.4高频窄带信号通过窄带系统,输入高频窄带信号,输出,系统冲激响应,因为高频窄带无重叠，所以交叉项为零,输出信号s（t）的复包络,输出,运算的简化,6.1.5随机过程的解析形式及其性质,

（1）解析过程的定义,实随机过程,解析过程,

（2）解析过程的性质,性质：

性质：

若为广义平稳过程，则也是广义平稳过程，且联合平稳。

时间自相关函数：

平均功率相等：

证明,性质2时域证明,性质：

证明,奇函数,偶函数,性质4：

证明,性质5：

证明,性质6：

证明:

根据性质5得,性质4,返回,6.2窄带随机过程,对于典型窄带随机信号，它的每一个样本函数都具有正弦的振荡形式，则所有的样本函数构成的窄带随机过程可以表示为,6.2.1窄带随机过程的数学模型,这是窄带过程准正弦表示形式。

式中，A（t）是窄带过程的包络，（t）是窄带过程的相位，它们都是随机过程，而且它们相对0是慢变随机过程。

（1）正弦形式,

（2）复指数形式,复包络,复载频,包络,相位,平稳窄带随机过程的特性,自相关,功率谱密度,窄带过程莱斯（Rice）表示形式,6.2.2窄带随机过程的垂直分解,关系式,6.2.3窄带随机过程的统计分析,分析条件X（t）是任意的宽平稳、数学期望为零的实窄带随机过程。

已知窄带过程的包络和相位相对于0都是慢变化过程，则很明显Ac（t）,As（t）相对于0为慢变部分。

统计特性特点,性质1：

X（t）是均值为0的平稳过程，则Ac（t）,As（t）也是均值为0的平稳过程，且联合平稳,性质2：

自相关函数相同：

平均功率相同：

方差相同：

性质3：

功率谱密度相同,由定义可证明,由性质2可证明,性质4：

互相关函数：

互相关函数为奇函数：

在同一时刻两者正交：

性质5：

互功率谱密度,由定义可证明,由性质4可证明,性质6：

性质7：

若窄带过程X（t）的单边功率谱是关于0偶对称的，则有,由性质2,4可证明,由性质5可证明,返回,6.3窄带高斯过程包络与相位的分布,假定窄带高斯过程X（t）的均值为零,方差为2,宽带噪声N（t）,高频窄带系统,包络检波,相位检波,窄带高斯过程X（t）,平方律检波,若X（t）为高斯过程，则Ac（t）,As（t）也应为高斯过程，并且都具有零均值和方差2由于Ac（t）,As（t）在同一时刻是互不相关的，且二者都是高斯过程，所以，它们在同一时刻也是互相独立的。

6.3.1包络和相位的一维概率分布,又,由于,A（t）和（t）的联合概率密度为,即,可得,包络的一维概率密度为瑞利分布,相位的一维概率密度为均匀分布,在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独立的随机变量,6.3.2包络和相位的二维概率分布,求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：

先求出四维概率密度然后转换为最后再推导出,窄带高斯过程的包络和相位不是互相独立的随机过程,需要记住结论，理解分析过程,条件：

单边功率谱是关于0偶对称,两过程独立,四维的联合分布可以用二维分布来表示：

（1）求,根据性质7,其它,

（2）求,（3）求的二维分布,第一类零阶修正贝塞尔（Bessel）函数,包络的二维分布,相位的二维分布,窄带随机过程的包络和相位过程彼此是不独立的,随机余弦信号,为已知常数，在上均匀分布。

均值为零，方差为的平稳随机过程。

关于偶对称。

（均为高斯分布）,高斯窄带噪声,6.3.3余弦信号加窄带高斯过程的包络及相位的概率分布,理解分析过程,合成信号,合成信号的包络,合成信号的相位,

（1）求在给定条件下的,方差,二维条件概率密度,均值,高斯过程,

（2）求在给定条件下的,由于：

包络与相位的二维条件概率密度,（3）求包络的一维概率密度,包络的一维概率密度,n=2的莱斯分布,a=0时，变为瑞利分布，即前面窄带过程的包络分布,当r1时，（小信噪比时）,（瑞利分布）,当r1时，（大信噪比时）,讨论：

（高斯分布）,（4）求相位的一维概率密度,当r0时，（小信噪比时）,（均匀分布）,概率积分函数,其均值为，方差为高斯分布,当r时，（无噪声）,当r1时，（大信噪比时）,信噪比r极小时，接近均匀分布信噪比r较大时，在附近接近高斯分布信噪比趋于r时，趋于在上的一个冲激,相位的一维概率密度总结,返回,6.4窄带高斯过程包络平方的概率分布,若窄带高斯过程通过平方律检波器，其输出是包络的平方，即为,窄带高斯过程的包络服从瑞利分布，即,已知，则Ut的概率密度为,窄带高斯过程的包络平方为指数分布,6.4.1窄带高斯噪声包络平方的分布,需要掌握,6.4.2余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的概率分布,包络平方,因为包络服从莱斯分布,包络平方的概率密度,了解,定义：

若n个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为零，方差为，则的分布是具有n个自由度的中心分布,6.4.3分布,

（1）中心分布,概率密度为,p228,性质：

两个互相独立的具有分布的随机变量之和仍为分布，若它们的自由度分别为n1和n2，其和的自由度为n=n1+n2。

定义：

若n个互相独立的高斯变量X1,X2,Xn的数学期望都为，方差为，则的分布是具有n个自由度的非中心分布,

（2）非中心分布,概率密度为,非中心分布参量,性质：

两个相互独立的非中心分布的随机变量之和仍为非中心分布，若它们的自由度为n1和n2，非中心分布参量分别为和，其和的自由度为n=n1+n2，非中心分布参量为,P232,对于两个自由度的中心分布，即Xi（i=1,2）是数学期望为零，方差为，且相互独立的高斯变量，则为瑞利分布。

指数分布,（3）瑞利分布,当高斯变量Xi（i=1,2,n）的数学期望为不为零时，是非中心分布，而则是莱斯分布。

（4）莱斯分布,应用,窄带过程N（t）,平方律检波,独立采样m次,归一化,加法器,开方,中心分布,莱斯分布,返回,S（t）+N（t）,非中心,瑞利分布,指数分布（2项）,