简单几何图形的面积计算.docx

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简单几何图形的面积计算

简单几何图形的面积计算

第二讲简单几何图形的面积计算

一．常用的基本公式：

1．正方形的边长为a，则正方形的面积是S=a2；

2．长方形的长与宽分别是a、b，则长方形的面积是S=a×b。

3．平行四边形的底边长为a，高为h，则面积是S=a×h。

4．三角形的三条边长分别为a、b、c，在它们上的高分别是ha、hb、hc，

则三角形的面积S=a×ha÷2=b×hb÷2=c×hc÷2。

5．梯形的上底为a，下底为b，高为h，则梯形的面积是（a+b）×h÷2。

6．圆的半径为r，则圆的面积是S=π×r2。

其中π=3.14159265…。

二．几种常用的求面积的方法：

1．直接利用公式计算；

2．列出方程求图形的面积；

3．添加辅助线计算图形面积；

4．利用割补的办法变化图形，计算图形的面积。

5．用相等面积变换计算图形的面积。

（同底等高问题，等底等高问题）

三．例题讲解：

例1．如图，一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个长方形的面积分别是15、18、30公顷，则图中阴影部分的面积是公顷。

解：

由题意知，a×c=15，b×c=18，b×d=30，

所以a×d=（a×c）×（b×d）÷（b×c）=15×30÷18=25（公顷）。

例2．如图所示，三角形ABC是直角三角形，ACD是以A圆心，AC为半径的扇形，图中阴影部分的面积是。

（π取3.14）

解：

阴影部分的面积是三角形面积减去扇形的面积，

三角形ABC的面积=6×6÷2=18，扇形的面积是圆的面积的八分之一，

所以扇形面积是π×6×6÷8=4.5×π=14.13，

所以阴影部分的面积是18–14.13=3.87（平方厘米）。

例3．如图所示，ABCD是一个长方形，BC=9厘米，CD=6厘米，且三角形ABE、三角形ADF和四边形AECF的面积彼此相等，则三角形AEF的面积是。

解：

长方形ABCD的面积是9×6=54（平方厘米），它被分成三个面积相等的图形，

所以三角形ABE的面积=三角形ADF的面积=18（平方厘米），

设BE=x厘米，则6×x÷2=18，x=6厘米，设DF=y厘米，则9×y÷2=18，y=4厘米，

所以CE=9–6=3厘米，CF=6–4=2厘米，所以三角形CEF的面积是3×2÷2=3（平方厘米）。

三角形AEF的面积是18–3=15（平方厘米）。

例4．如图所示，三角形ABC是直角三角形，AB是圆的直径，且AB=20厘米，如果图中阴影I的面积比阴影II的面积大7平方厘米，那么BC长多少厘米？

（π=3.14）

解：

图形I加上图形III的面积是半圆的面积=π×10×10÷2=50π=157（平方厘米），

图形II加上图形III=三角形ABC的面积=BC×20÷2=10×BC，

又图形I的面积比图形II的面积大7平方厘米，

所以157–10×BC=7，BC=（157–7）÷10=15（厘米）。

例5．如图所示，ABCD是边长为9厘米的正方形，M、N分别为AB和BC边的中点，AN、CM相交于点O，则四边形AOCD的面积是平方厘米。

解：

连接OB，

因为M是AB的中点，所以三角形AMO的面积=三角形BMO的面积，

同理三角形BON的面积=三角形CON的面积，

而三角形ABO的面积等于三角形BCO的面积，

所以

，又三角形ABN的面积=9×4.5÷2=20.25（平方厘米），

所以

=20.25÷3=6.75（平方厘米），

四边形ABCD的面积=6.75×4=27（平方厘米）。

所以四边形AOCD的面积=9×9–27=54（平方厘米）。

例6．如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，且AF=CE，BG=DE，当四边形ABCD的面积是25平方厘米时，三角形EFG的面积是平方厘米。

解：

如图，连接AG、GC，因为AF=CE，

所以三角形AFG的面积=三角形CEG的面积（等底等高），

所以三角形EFG的面积=三角形AGC的面积。

又BG=DE，所以三角形ABG的面积=三角形ADE的面积，三角形CBG的面积=三角形CDE的面积。

（等底等高）

于是三角形AGC的面积=四边形ABCD的面积。

所以三角形EFG的面积=四边形ABCD的面积=25平方厘米。

例7．如图所示，两个边长均为2厘米的正方形，其中一个正方形的某一顶点恰好在另一正方形的中心，且图中两个阴影三角形的面积相等。

则这两个正方形不重合部分的面积和是平方厘米。

解：

不难看出，图中两个阴影部分的形状完全一样，即把其中一个阴影部分绕正方形的中心位置旋转90度，正好与另一个阴影部分重合。

所以这两个正方形的重合部分是正方形面积的四分之一。

每个正方形的不重合部分的面积是2×2÷4×3=3（平方厘米），

所以两个正方形不重合部分的面积和是6平方厘米。

例8．求图中阴影部分的面积。

（π=3.14）

解：

这是一个轴对称图形，单独求阴影部分的面积时，中间那两小块不好求，如果把左边的部分绕底部最长线段的中点旋转180度，就可以得到这样一个图形。

这时阴影部分是半个圆减去了中间一个等腰直角三角形。

圆的半径是2厘米，半圆的面积是π×2×2÷2=6.28（平方厘米）。

中间那个等腰直角三角形的直角边是2厘米，所以三角形面积是2×2÷2=2（平方厘米）。

于是阴影部分的面积是6.28–2=4.28（平方厘米）。

例9．如图所示，直线CF与平行四边形ABCD的AB边相交于E点，如果三角形BEF的面积为6平方厘米，则三角形ADE的面积是平方厘米。

解：

连接AC，因为ABCD是平行四边形，C点与D点到AB的距离相等，

所以三角形AED的面积=三角形AEC的面积。

有BC平行于DF，所以A点、F点到BC的距离相等，

三角形ABC的面积=三角形FBC的面积，它们都去掉三角形EBC，

有三角形AEC的面积=三角形BEF的面积，

所以三角形AED的面积=三角形BEF的面积=6平方厘米。

练习题

1．如图所示，ABCG和CDEF分别是边长为10厘米和12厘米的正方形，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

2．如图所示，ABCD是长方形，弧DF和DE是分别以A、C为圆心，AF、CD为半径画出的。

则图中阴影部分的面积是平方厘米。

3．如图所示，图中平行四边形的面积是48平方厘米，高为6厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

4．如图所示，正方形ABFD的面积是100平方厘米，直角三角形ABC的面积比直角三角形CDE的面积大30平方厘米，则线段DE的长是厘米。

5．如图所示，长方形ABCD的面积是36平方厘米，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

6．如图所示，C、D是半圆弧AB上的两个三等分点（即AC弧、CD弧和BD弧的长度都相等），已知圆的半径是6厘米。

则图中阴影部分的面积是平方厘米。

（π=3.14）

7．两个四边形都是正方形，而且外边大正方形的边长是4厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米。

8．如图所示，ABCD是平行四边形，AC为对角线，且EF平行于AC，如果三角形ADF的面积是10平方厘米，那么三角形CDF的面积等于平方厘米。

9．如图所示，三角形ABC的各边上分别取AD、BE、CF各等于AB、BC、CA长度的三分之一，如果三角形DEF的面积是2平方厘米，则三角形ABC的面积是平方厘米。

参考答案

1．50；

2．16.82；

3．9；

4．4；

5．18；

6．18.84；

7．8；

8．10；

9．6．