高考概率统计9个考点解析.docx
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高考概率统计9个考点解析
高考概率与统计9个考点解析
概率与统计试题是高考的必考内容。
它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。
下面对其常见题型和考点进行解析。
考点1考查等可能事件概率计算
在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件
A包含的结果有m个，那么P（A）=
m
。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计
n
算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1（2004天津）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.
（I）求所选3人都是男生的概率；
（II）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（III）求所选3人中至少有1名女生的概率.
考点2考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算
不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P（A+B）=P（A）+P（B）计算。
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为A⋅B。
用概率的法公式P（A⋅B）=P（A）⋅P（B）计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
例2.（2005全国卷Ⅲ）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125，
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.
考点3考查对立事件概率计算
--
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。
即B=A或A=B。
用概
率的减法公式
P（A）=1-
⎛_⎫
PçA⎪计算其概率。
⎝⎭
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例3．（2005福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为
1与2.
25
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率.
考点4考查独立重复试验概率计算
若在n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。
若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立惩处试验
中，事件A恰好发生k次的概率为P（k）=CkPk（1-P）n-k。
nn
高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例4．（2005湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率
（结果保留两个有效数字）.
考点5考查随机变量概率分布与期望计算
解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。
以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。
例5．（2005湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则
就一直考到第4次为止。
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.
考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合
1考查随机变量概率分布列与函数结合
例6.（2005湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f（x）＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率.
2、考查随机变量概率分布列与数列结合
例7甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：
若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。
已知甲乙两人
7
射击一次击中的概率均为
8
，且第一次由甲开始射击。
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。
（2）
→∞
若第n次由甲射击的概率为an，求数列{an}的通项公式；求liman，并说明极
n
限值的实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合例8（2005辽宁卷）
某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品.
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；
（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；
（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη
最大？
最大值是多少？
（解答时须给出图示）
考点7考查随机变量概率分布列性质应用设离散型随机变量的分布列为
ξ
x1
x2
xi
P
P1
P2
Pi
它有下面性质：
①Pi≥0（i=1,2,）
②p1+p2++pi+=1,即总概率为1；
③期望Eξ=xP++xP+;方差Dξ=（x
-Eξ）2P++（x
-Eξ）2P+
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.
a
例9（2004年湖北高考题）设随机变量的概率分布为P（ξ=k）=
a=
5k,
a为常数,k=1,2,,则
例10（2004年全国高考题）某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:
每题回
答正确得100分,回答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题回答正确与否相互之间没有影响.
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.
②求这名同学总得分不为负分（即ξ≥0））的概率.
例11（2002年天津高考题）甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：
t/hm2）：
其中产量比较稳定的小麦品种是.
考点8样本抽样识别与计算
简单随机抽样,系统抽样,分层抽样得共同特点是不放回抽样,且各个体被抽取得概率相等,均为（N为总体个体数,n为样本容量）.系统抽样,分层抽样的实质分别是等距抽样与按比例抽样,只需按照定义,适用范围和抽样步骤进行,就可得到符合条件的样本.高考常结合应用问题,考查构照抽样模型,识别图形,搜集数据,处理材料等研究性学习的能力.
例12（2005年湖北湖北高考题）某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样
例13（2005年湖南高考题）一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了件产品.
考点9考查直方图。
例14.（2005江西卷）为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视
力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a,b的值分别为（）
A．0,27,78B．0,27,83
C．2.7,78D．2.7,83
例1（2004天津）本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力.满分
12分.
31
（I）解：
所选3人都是男生的概率为4.
65
（II）解：
所选3人中恰有1名女生的概率为
C1C23
3.
6
C1C2+C2C14
（III）
解：
所选3人中至少有1名女生的概率为2424=.
65
2.（2005全国卷Ⅲ）解：
（Ⅰ）记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件A、B、C，……1分
则A、B、C相互独立，由题意得：
P（AB）=P（A）P（B）=0.05P（AC）=P（A）P（C）=0.1
P（BC）=P（B）P（C）=0.1254分
解得：
P（A）=0.2；P（B）=0.25；P（C）=0.5
所以,甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是0.2、0.25、0.5……6分
（Ⅱ）∵A、B、C相互独立，∴A、B、C相互独立，…7分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
P（A⋅B⋅C）=P（A）P（B）P（C）=0.8⨯0.75⨯0.5=0.310分
∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为p=1-P（A⋅B⋅C）=1-0.3=0.7……12分
例3．（2005福建卷文）解：
（Ⅰ）依题意，记“甲投一次命中”为事件A，“乙投一次命中”为事件B，则
P（A）=1,P（B）=2,P（A）=1,P（B）=3.
2525
1
甲、乙两人在罚球线各投球一次，恰好命中一次的概率为.
2
（Ⅱ）∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为
P=1⨯1⨯3⨯3=9
2255100
∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率
P=1-P=1-
9
100
=91.
100
91
答：
甲、乙两人在罚球线各投球二次，至少有一次命中的概率为.
100
∵“甲、乙两人各投球一次，恰好命中一次”的事件为A⋅B+A⋅B
∴P（A⋅B+A⋅B）=P（A⋅B）+P（A⋅B）=1⨯3+1⨯2=1.
25252
1
例4．（2005湖北卷）解：
（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p5,需要
更换2只灯泡的概率为
C2p3（1-p）2;
511
（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1（1-p2），故所求的概率为
p=（1-p）2+p（1-p）;
112
（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为
5
（II）中所求，下同）换4只的概率为C1p4（1-p），故至少换4只灯泡的概率为
p=p5+C1p4（1-p）.
又当p1
=0.8,p2
=0.3时,p=0.22+0.8⨯0.7=0.6
3
∴p=0.65+5⨯0.64⨯0.4=0.34.
即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.
例5．（2005湖北卷）解：
ξ的取值分别为1，2，3，4.
ξ=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（ξ=1）=0.6.
ξ=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
P（ξ=2）=（1-0.6）⨯0.7=0.28.
ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P（ξ=3）=（1-0.6）⨯（1-0.7）⨯0.8=0.096.
ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P（ξ=4）=（1-0.6）⨯（1-0.7）⨯（1-0.8）=0.024.
∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
∴ξ的期望Eξ=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1－（1－0.6）（1－0.7）（1-0.8）（1－0.9）=0.9976.
例6.（2005湖南卷）解：
（I）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3.由已知A1，A2，A3相互独立，P（A1）=0.4，P（A2）=0.5，
P（A3）=0.6.
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3.相应地，客人没有游览的景点数的可能
取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P（ξ=3）=P（A1·A2·A3）+P（A1⋅A2⋅A3）
=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3））
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
ξ
1
3
P
0.76
0.24
P（ξ=1）=1－0.24=0.76.
所以ξ的分布列为
Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.
（Ⅱ）解法一因为f（x）=（x-3ξ）2+1-9ξ2,
24
所以函数f（x）=x2-3ξx+1在区间[3ξ,+∞）上单调递增，
2
要使f（x）在[2,+∞）上单调递增，当且仅当
4
3ξ≤2,即ξ≤4.
23
从而P（A）=P（ξ≤
）=P（ξ=1）=0.76.
3
解法二：
ξ的可能取值为1，3.
当ξ=1时，函数f（x）=x2-3x+1在区间[2,+∞）上单调递增，当ξ=3时，函数f（x）=x2-9x+1在区间[2,+∞）上不单调递增.0所以P（A）=P（ξ=1）=0.76.
例7解：
记A为甲射击，B为乙射击，则
1）前4次射击中甲恰好射击3次可列举为AAAB，AABA，ABAA
其概率为P=7⨯
8
7⨯1+
88
7⨯1⨯1
888
+1⨯1⨯7
888
=63
512
2）第n+1次由甲射击这一事件，包括第n次由甲射击，第n+1次继续由甲射击这
一事件以第n次由乙射击，第
n+1
由甲射击这一事件，这两事件发生的概率是互斥的
7
且发生的概率分别为a与
8n
1（1-a
8n
）则有关系式
an+1
=7a+
8n
1（1-a
8n
）=3a+1
4n8
其中a
=1。
a
-1=3（a
-1），∴数列{a-1
}为等比数列。
∴an
1
=1+1
n+1
（3）
24n2n2
n-1
224
∴liman
=lim
（1+1
（3）
n-1）=1
n→∞
n→∞2242
实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时，甲、乙两分别射击的次数接近相等。
例8（2005辽宁卷）
（Ⅰ）解：
P甲=0.8⨯0.85=0.68,
P乙0.75⨯0.8=0.62分
、（Ⅱ）解：
随机变量ξ、η的分别列是
5
2.5
P
0.68
0.32
2.5
1.5
P
0.6
0.4
Eξ=5⨯0.68+2.5⨯0.32=4.2,Eη=2.5⨯0.6+1.5⨯0.4=2.16分
⎧5x+10y≤60,
8x+2y≤40,
⎪
（Ⅲ）解：
由题设知⎪
⎪
⎨x≥0,
⎪⎩y≥0.
分
作出可行域（如图）：
目标函数为
z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y.……8
作直线l:
4.2x+2.1y=0,
将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时z=4.2x+2.1y
⎧5x+10y=60,
取最大值.解方程组
⎩8x+2y=40.
得x=4,y=4.即x=4,y=4时，z取最大值，z的最大值为25.212分
例9（2004年湖北高考题）解:
由分布列的性质得a（1+1
552
∴a=4
+）=a.
1
5
1-1
5
=a=1.
4
例10（2004年全国高考题）解:
ξ的取值为-300,-100,100,300.
P（ξ=-300）=0.22=0.008；
P（ξ=-100）=3⨯0.2⨯0.82=0.096;
P（ξ=100）=3⨯0.2⨯0.82=0.384;
P（ξ=300）=0.82=0.512
所以的概率分布为
§
-300
-100
100
300
P
0.008
0.096
0.384
0.512
∴Eξ=-300⨯0.008-100⨯10096+100⨯0.384+300⨯0.512=180
这名同学总得分不为负分的概率为
P（ξ≥0）=P（ξ=100）+P（ξ=300）=0.384+0.512=0.896
例11（2002年天津高考题）解:
根据题意，需要比较S2和S2
甲乙
由于S2=1[（9.810）0.158，S2=0.552因此甲产量比较稳定.
甲5乙
例12（2005年湖北湖北高考题）解:
对于情况①,可能是系统抽样,可能是分层抽样（一年级1～108号中抽4人,二年级109～189号中抽3人,三年级190～270号中抽3人）;
对于情况②,可能是分层抽样;
对于情况③,可能是系统抽样,可能是分层抽样;
对于情况④,因为一年级1～108号中只抽3人,不是分层抽样;在1～27号中没有抽人,故不是系统抽样.所以,选（D）
例13（2005年湖南高考题）解:
因甲．乙．丙成等差数列,则乙生产线生产的产品应为
1
总数的
3
1
故乙生产线生产了
3
*16800=5600件产品
例14.（2005江西卷）答案为A
概率与统计问题是每年高考新课程卷的必考内容.其考查特点一是重视对等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用和离散型随机变量的分布列,期望,方差及抽样方法,抽样概率等问题的考查;二是试题多为课
0.3
0.1
视力
4.34.44.54.64.74.84.95.05.15.2
本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率分布列的性质及其应用,实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.
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