数学中考总复习专项突破汇编1规律探索型问题.docx
《数学中考总复习专项突破汇编1规律探索型问题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学中考总复习专项突破汇编1规律探索型问题.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![数学中考总复习专项突破汇编1规律探索型问题.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2023-2/23/02eb02ed-7900-41d8-80f6-d8a2b5d169f5/02eb02ed-7900-41d8-80f6-d8a2b5d169f51.gif)
数学中考总复习专项突破汇编1规律探索型问题
备战2019中考初中数学六大题型专项突破
专题一:
规律探索型问题
【方法指导】
归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形,或是给出的与图形有关的操作、变化过程,或是根据已知条件中所提供的若干特例,要求通过观察、分析、推理,探求其中所蕴含的本质规律或者特征,进而类比、归纳或者猜想出一般的结论。
在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动,以加深学生对相关数学知识的理解,认识数学知识之间的联系。
解决此类问题的关键是仔细审题、归纳规律、合理推测、认真验证,从而得到出问题的结论。
【典例解析】
类型一:
数字中的规律
【例1】(2018山东淄博)(4分)将从1开始的自然数按以下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第8列的数是 2018 .
【考点】37:
规律型:
数字的变化类.
【分析】观察图表可知:
第n行第一个数是n2,可得第45行第一个数是2025,推出第45行、第8列的数是2025﹣7=2018;
【解答】解:
观察图表可知:
第n行第一个数是n2,
∴第45行第一个数是2025,
∴第45行、第8列的数是2025﹣7=2018,
故答案为2018.
【点评】本题考查规律型﹣数字问题,解题的关键是学会观察,探究规律,利用规律解决问题.
类型二:
数式中的规律问题:
【例2】(2018浙江衢州)(4分)定义:
在平面直角坐标系中,一个图形先向右平移a个单位,再绕原点按顺时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫作图形的γ(a,θ)变换.
如图,等边△ABC的边长为1,点A在第一象限,点B与原点O重合,点C在x轴的正半轴上.△A1B1C1就是△ABC经γ(1,180°)变换后所得的图形.
若△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1,△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2,△A2B2C2经γ(3,180°)变换后得△A3B3C3,依此类推……
△An﹣1Bn﹣1Cn﹣1经γ(n,180°)变换后得△AnBnCn,则点A1的坐标是 ,点A2018的坐标是 .
【分析】分析图形的γ(a,θ)变换的定义可知:
对图形γ(n,180°)变换,就是先进行向右平移n个单位变换,再进行关于原点作中心对称变换.向右平移n个单位变换就是横坐标加n,纵坐标不变,关于原点作中心对称变换就是横纵坐标都变为相反数.写出几次变换后的坐标可以发现其中规律.
【解答】解:
根据图形的γ(a,θ)变换的定义可知:
对图形γ(n,180°)变换,就是先进行向右平移n个单位变换,再进行关于原点作中心对称变换.
△ABC经γ(1,180°)变换后得△A1B1C1,A1坐标(﹣
,﹣
)
△A1B1C1经γ(2,180°)变换后得△A2B2C2,A2坐标(﹣
,
)
△A2B2C2经γ(3,180°)变换后得△A3B3C3,A3坐标(﹣
,﹣
)
△A3B3C3经γ(3,180°)变换后得△A4B4C4,A4坐标(﹣
,
)
依此类推……
可以发现规律:
An横坐标存在周期性,每3次变换为一个周期,纵坐标为
当n=2018时,有2018÷3=672余2
所以,A2018横坐标是﹣
,纵坐标为
故答案为:
(﹣
,﹣
),(﹣
,
).
【点评】本题是规律探究题,又是材料阅读理解题,关键是能正确理解图形的γ(a,θ)变换的定义后运用,关键是能发现连续变换后出现的规律,该题难点在于点的横纵坐标各自存在不同的规律,需要分别来研究.
类型三:
图形中的规律问题:
【例3】(2018山东烟台)(3分)如图所示,下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的,按此规律摆下去,第n个图形中有120朵玫瑰花,则n的值为( )
A.28B.29C.30D.31
【分析】根据题目中的图形变化规律,可以求得第个图形中玫瑰花的数量,然后令玫瑰花的数量为120,即可求得相应的n的值,从而可以解答本题.
【解答】解:
由图可得,
第n个图形有玫瑰花:
4n,
令4n=120,得n=30,
故选:
C.
【点评】本题考查图形的变化类,解答本题的关键是明确题意,找出题目中图形的变化规律.
【真题热身】
1.(2018湖北宜昌)(3分)1261年,我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”,请观察图中的数字排列规律,则a,b,c的值分别为( )
A.a=1,b=6,c=15B.a=6,b=15,c=20
C.a=15,b=20,c=15D.a=20,b=15,c=6
2.(2018山东枣庄)(4分)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
2
3
4
第3行
9
8
7
6
5
第4行
10
11
12
13
14
15
16
第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
则2018在第 行.
3.(2018东营)(4.00分)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=
x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,1),那么点A2018的纵坐标是 .
4.(2018广西贵港)(3.00分)如图,直线l为y=
x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;……,按此作法进行下去,则点An的坐标为( ).
5.(2018广西桂林)将从1开始的连续自然数按图规律排列:
规定位于第m行,第n列的自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2)…按此规律,自然数2018记为
列
行
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3
4
第2行
8
7
6
5
第3行
9
10
11
12
第4行
16
15
14
13
…
…
…
…
…
第n行
…
…
…
…
【参考答案】
1.(2018湖北宜昌)(3分)1261年,我国南宋数学家杨辉用图中的三角形解释二项和的乘方规律,比欧洲的相同发现要早三百多年,我们把这个三角形称为“杨辉三角”,请观察图中的数字排列规律,则a,b,c的值分别为( )
A.a=1,b=6,c=15B.a=6,b=15,c=20
C.a=15,b=20,c=15D.a=20,b=15,c=6
【分析】根据图形中数字规模:
每个数字等于上一行的左右两个数字之和,可得a、b、c的值.
【解答】解:
根据图形得:
每个数字等于上一行的左右两个数字之和,
∴a=1+5=6,b=5=10=15,c=10+10=20,
故选:
B.
【点评】本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.
2.(2018山东枣庄)(4分)将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
2
3
4
第3行
9
8
7
6
5
第4行
10
11
12
13
14
15
16
第5行
25
24
23
22
21
20
19
18
17
…
则2018在第 45 行.
【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2,由此估算2018所在的行数,进一步推算得出答案即可.
【解答】解:
∵442=1936,452=2025,
∴2018在第45行.
故答案为:
45.
【点评】本题考查了数字的变化规律,解题的关键是通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.
3.(2018东营)(4.00分)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…和B1,B2,B3,…分别在直线y=
x+b和x轴上.△OA1B1,△B1A2B2,△B2A3B3,…都是等腰直角三角形.如果点A1(1,1),那么点A2018的纵坐标是
.
【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点,则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半.故先设出各点A的纵坐标,可以表示A的横坐标,代入解析式可求点A的纵坐标,规律可求.
【解答】解:
分别过点A1,A2,A3,…向x轴作垂线,垂足为C1,C2,C3,…
∵点A1(1,1)在直线y=
x+b上
∴代入求得:
b=
∴y=
x+
∵△OA1B1为等腰直角三角形
∴OB1=2
设点A2坐标为(a,b)
∵△B1A2B2为等腰直角三角形
∴A2C2=B1C2=b
∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b
把A2(2+b,b)代入y=
x+
解得b=
∴OB2=5
同理设点A3坐标为(a,b)
∵△B2A3B3为等腰直角三角形
∴A3C3=B2C3=b
∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b
把A2(5+b,b)代入y=
x+
解得b=
以此类推,发现每个A的纵坐标依次是前一个的
倍
则A2018的纵坐标是
故答案为:
【点评】本题为一次函数图象背景下的规律探究题,结合了等腰直角三角形的性质,解答过程中注意对比每个点A的纵坐标变化规律.
4.(2018广西贵港)(3.00分)如图,直线l为y=
x,过点A1(1,0)作A1B1⊥x轴,与直线l交于点B1,以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2;再作A2B2⊥x轴,交直线l于点B2,以原点O为圆心,OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3;……,按此作法进行下去,则点An的坐标为( 2n﹣1,0 ).
【分析】依据直线l为y=
x,点A1(1,0),A1B1⊥x轴,可得A2(2,0),同理可得,A3(4,0),A4(8,0),…,依据规律可得点An的坐标为(2n﹣1,0).
【解答】解:
∵直线l为y=
x,点A1(1,0),A1B1⊥x轴,
∴当x=1时,y=
,
即B1(1,
),
∴tan∠A1OB1=
,
∴∠A1OB1=60°,∠A1B1O=30°,
∴OB1=2OA1=2,
∵以原点O为圆心,OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2,
∴A2(2,0),
同理可得,A3(4,0),A4(8,0),…,
∴点An的坐标为(2n﹣1,0),
故答案为:
2n﹣1,0.
5.(2018广西桂林)将从1开始的连续自然数按图规律排列:
规定位于第m行,第n列的自然数10记为(3,2),自然数15记为(4,2)…按此规律,自然数2018记为 (505,2)
列
行
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
2
3
4
第2行
8
7
6
5
第3行
9
10
11
12
第4行
16
15
14
13
…
…
…
…
…
第n行
…
…
…
…
【分析】根据表格可知,每一行有4个数,其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列;偶数行的数字从左往右是由大到小排列.用2018除以4,根据除数与余数确定2018所在的行数,以及是此行的第几个数,进而求解即可.
【解答】解:
由题意可得,每一行有4个数,其中奇数行的数字从左往右是由小到大排列;偶数行的数字从左往右是由大到小排列.
∵2018÷4=504…2,
504+1=505,
∴2018在第505行,
∵奇数行的数字从左往右是由小到大排列,
∴自然数2018记为(505,2).
故答案为(505,2).
【点评】本题考查了规律型:
数字的变化类,通过观察得出表格中的自然数的排列规律是解题的关键.