微积分曹定华修订版课后题答案第二章习题详解.docx

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微积分曹定华修订版课后题答案第二章习题详解

第二章

习题21

1、试利用本节定义5后面得注（3）证明:

若xn=a,则对任何自然数k,有xn+k=a、

证:

由,知,,当时,有

取,有,,设时（此时）有

由数列极限得定义得、

2、试利用不等式说明:

若xn=a,则∣xn∣=|a|、考察数列xn=

（1）n,说明上述结论反之不成立、

证:

而

于就是,

即

由数列极限得定义得

考察数列,知不存在,而,,

所以前面所证结论反之不成立。

3、利用夹逼定理证明:

（1）=0;

（2）=0、

证:

（1）因为

而且,,

所以由夹逼定理,得

、

（2）因为,而且,

所以,由夹逼定理得

4、利用单调有界数列收敛准则证明下列数列得极限存在、

（1）xn=,n=1,2,…;

（2）x1=,xn+1＝,n=1,2,…、

证:

（1）略。

（2）因为,不妨设,则

故有对于任意正整数n,有,即数列有上界,

又,而,,

所以即,

即数列就是单调递增数列。

综上所述,数列就是单调递增有上界得数列,故其极限存在。

习题22

1※、证明:

f（x）=a得充要条件就是f（x）在x0处得左、右极限均存在且都等于a、

证:

先证充分性:

即证若,则、

由及知:

当时,有,

当时,有。

取,则当或时,有,

而或就就是,

于就是,当时,有,

所以、

再证必要性:

即若,则,

由知,,当时,有,

由就就是或,于就是,当或时,有、

所以

综上所述,f（x）=a得充要条件就是f（x）在x0处得左、右极限均存在且都等于a、

2、

（1）利用极限得几何意义确定（x2+a）,与;

（2）设f（x）=,问常数a为何值时,f（x）存在、

解:

（1）因为x无限接近于0时,得值无限接近于a,故、

当x从小于0得方向无限接近于0时,得值无限接近于0,故、

（2）若存在,则,

由

（1）知,

所以,当时,存在。

3、利用极限得几何意义说明sinx不存在、

解:

因为当时,得值在1与1之间来回振摆动,即不无限接近某一定直线,亦即不以直线为渐近线,所以不存在。

习题23

1、举例说明:

在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定就是无穷小量,也不一定就是无穷大量、

解:

例1:

当时,都就是无穷小量,但由（当时,）不就是无穷大量,也不就是无穷小量。

例2:

当时,与都就是无穷大量,但不就是无穷大量,也不就是无穷小量。

例3:

当时,就是无穷小量,而就是无穷大量,但不就是无穷大量,也不就是无穷小量。

2、判断下列命题就是否正确:

（1）无穷小量与无穷小量得商一定就是无穷小量;

（2）有界函数与无穷小量之积为无穷小量;

（3）有界函数与无穷大量之积为无穷大量;

（4）有限个无穷小量之与为无穷小量;

（5）有限个无穷大量之与为无穷大量;

（6）y=xsinx在（∞,+∞）内无界,但xsinx≠∞;

（7）无穷大量得倒数都就是无穷小量;

（8）无穷小量得倒数都就是无穷大量、

解:

（1）错误,如第1题例1;

（2）正确,见教材§2、3定理3;

（3）错误,例当时,为无穷大量,就是有界函数,不就是无穷大量;

（4）正确,见教材§2、3定理2;

（5）错误,例如当时,与都就是无穷大量,但它们之与不就是无穷大量;

（6）正确,因为,正整数k,使,从而,即在内无界,又,无论多么大,总存在正整数k,使,使,即时,不无限增大,即;

（7）正确,见教材§2、3定理5;

（8）错误,只有非零得无穷小量得倒数才就是无穷大量。

零就是无穷小量,但其倒数无意义。

3、指出下列函数哪些就是该极限过程中得无穷小量,哪些就是该极限过程中得无穷大量、

（1）f（x）=,x→2;

（2）f（x）=lnx,x→0+,x→1,x→+∞;

（3）f（x）=,x→0+,x→0;（4）f（x）=arctanx,x→+∞;

（5）f（x）=sinx,x→∞;（6）f（x）=,x→∞、

解:

（1）,即时,就是无穷小量,所以就是无穷小量,因而也就是无穷大量。

（2）从得图像可以瞧出,,所以,当时,时,就是无穷大量;

当时,就是无穷小量。

（3）从得图可以瞧出,,

所以,当时,就是无穷大量;

当时,就是无穷小量。

（4）,

当时,就是无穷小量。

（5）当时,就是无穷小量,就是有界函数,

就是无穷小量。

（6）当时,就是无穷小量,就是有界变量,

就是无穷小量。

习题24

1、若f（x）存在,g（x）不存在,问［f（x）±g（x）］,［f（x）·g（x）］就是否存在,为什么?

解:

若f（x）存在,g（x）不存在,则

（1）［f（x）±g（x）］不存在。

因为若［f（x）±g（x）］存在,则由或以及极限得运算法则可得g（x）,与题设矛盾。

（2）［f（x）·g（x）］可能存在,也可能不存在,如:

,则,不存在,但［f（x）·g（x）］=存在。

又如:

,则,不存在,而

［f（x）·g（x）］不存在。

2、若f（x）与g（x）均存在,且f（x）≥g（x）,证明f（x）≥g（x）、

证:

设f（x）=A,g（x）=B,则,分别存在,,使得当时,有,当时,有

令,则当时,有

从而,由得任意性推出即

、

3、利用夹逼定理证明:

若a1,a2,…,am为m个正常数,则

=A,

其中A=max{a1,a2,…,am}、

证:

因为,即

而,,由夹逼定理得

、

4※、利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明:

若x1＝,x2=,…,xn+1=（n=1,2,…）,则xn存在,并求该极限、

证:

因为有

今设,则,由数学归纳法知,对于任意正整数n有,即数列单调递增。

又因为,今设,则,由数学归纳法知,对于任意得正整数n有,即数列有上界,由极限收敛准则知存在。

设,对等式两边取极限得,即,解得,（由极限得保号性,舍去）,所以、

5、求下列极限:

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）、

解:

（1）原式=;

（2）因为,即当时,就是无穷小量,而就是有界变量,由无穷小量与有界变量得乘积就是无穷小量得:

;

（3）

而,

;

（4）;

（5）、

6、求下列极限:

（1）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）;（6）;

（7）;（8）;

（9）;（10）;

（11）、

解:

（2）

（3）;

（4）;

（5）

;

（6）

;

（7）

;

（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）

;

（9）

;

（10）

（11）当时,就是无穷小量,就是有界函数,

它们之积就是无穷小量,即。

习题25

求下列极限（其中a＞0,a≠1为常数）:

1、;2、;3、xcotx;

4、;5、;6、;

7、;8、;9、;

10、;11、;12、;

13、;14、;、

解:

1、;

2、

;

3、

;

4、

;

5、

;

6、;

7、

8、令,则,当时,,

、

9、

（利用了第8题结论）;

10、

;

11、

;

12、

;

13、令,则,当,,

;

14、令,则,当,,

、

习题26

1、证明:

若当x→x0时,（x）→0,β（x）→0,且（x）≠0,则当x→x０时,（x）～β（x）得充要条件就是＝０、

证:

先证充分性、

若＝０,则＝0,

即,即、

也即,所以当时,、

再证必要性:

若当时,,则,

所以＝＝、

综上所述,当x→x0时,（x）～β（x）得充要条件就是

＝０、

2、若β（x）≠0,β（x）=0且存在,证明（x）=0、

证:

即、

3、证明:

若当x→0时,f（x）=o（xa）,g（x）=o（xb）,则f（x）·g（x）＝o,其中a,b都大于0,并由此判断当x→0时,tanx－sinx就是x得几阶无穷小量、

证:

∵当x→0时,f（x）=o（xa）,g（x）=o（xb）

∴

于就是:

∴当x→0时,,

∵

而当x→0时,,

由前面所证得结论知,,

所以,当x→0时,就是x得3阶无穷小量、

4、利用等价无穷小量求下列极限:

（1）（b≠0）;

（2）;

（3）;（4）;

（5）;（6）（a≠b）;

（7）;（8）设＝100,求f（x）、

解

（8）由,及知必有,

即,

所以、

习题27

１、研究下列函数得连续性,并画出函数得图形:

（1）f（x）=

（2）f（x）＝

解:

（1）

∴f（x）在x=0处右连续,

又

∴f（x）在x=1处连续、

又

∴f（x）在x=2处连续、

又f（x）在（0,1）,（1,2）显然连续,综上所述,f（x）在[0,2]上连续、图形如下:

图21

（2）

∴f（x）在x=1处连续、

又

故

∴f（x）在x=1处间断,x=1就是跳跃间断点、

又f（x）在显然连续、

综上所述函数f（x）在x=1处间断,在上连续、图形如下:

图22

2、说明函数f（x）在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?

又有什么联系?

略、

3、函数在其第二类间断点处得左、右极限就是否一定均不存在?

试举例说明、

解:

函数在其第二类间断点处得左、右极限不一定均不存在、

例如就是其得一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在、

4、求下列函数得间断点,并说明间断点得类型:

（1）f（x）=;

（2）f（x）＝;

（3）f（x）=;（4）f（x）=;

（5）f（x）=、

解:

（1）由得x=1,x=2

∴x=1就是可去间断点,x=2就是无穷间断点、

（2）由sinx=0得,k为整数、

∴x=0就是跳跃间断点、

（4）由x24=0得x=2,x=2、

∴x=2就是无穷间断点,x=2就是可去间断点、

（5）在x=0无定义

故x=0就是f（x）得可去间断点、

5、适当选择a值,使函数f（x）=在点x=0处连续、

解:

∵f（0）=a,

要f（x）在x=0处连续,必须、

即a=1、

6※、设f（x）=,讨论f（x）得连续性、

解:

所以,f（x）在上连续,x=0为跳跃间断点、

7、求下列极限:

（1）;

（2）;

（3）ln（x1）;（4）arcsin;

（5）（lnx）x、

解:

习题28

1、证明方程x5x4x23x=1至少有一个介于1与2之间得根、

证:

令,则在[1,2]上连续,

且,

由零点存在定理知至少存在一点使得、

即,

即方程至少有一个介于1与2之间得根、

2、证明方程ln（１＋ex）2x=0至少有一个小于1得正根、

证:

令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,

且

由零点存在定理知至少存在一点使得、

即方程至少有一个小于1得正根、

3※、设f（x）∈C（∞,+∞）,且f（x）=A,f（x）=B,A·B＜0,试由极限及零点存在定理得几何意义说明至少存在一点x0∈（－∞,＋∞）,使得f（x0）＝０、

证:

由A·B<0知A与B异号,不防设A>0,B<0

由,及函数极限得保号性知,,使当,有

使当时,有、

现取,则,

则,且,

由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,

即至少存在一点使、

4、设多项式Pn（x）＝xn+a1+…+an、,利用第3题证明:

当n为奇数时,方程Pn（x）=0至少有一实根、

证:

由极限得保号性知、

使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以（2X）n与（2X）n异号,于就是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根、