牛吃草问题.docx

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牛吃草问题

牛吃草问题

英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：

牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量（牛吃的草量--生长的草量=消耗原有的草量）；

4、最后求出牛可吃的天数

想：

这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是6头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究，用其中一头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数。

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220（份），16头牛10天吃草为1×16×10=160（份）

（220-160）÷（22-10）=5（份），说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110（份），说明原有老草110份。

综合式：

110÷（25-5）=5.5（天），就能算出一共多少天。

如果想求出有多少牛，那么题目一定会告诉你原来的草量，方法就和求草一样。

你可以先写出求草的算式，再带入数字。

　【例1】一片草场的青草每天都匀速生长，这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？

　　解题思路总结：

解决牛吃草问题的关键是：

（1）设1头牛1天吃1份草；

（2）要求出每天（或每周等）新生长的草量；

　　（3）要求出原有的草量；注意：

原有的草量不变。

　　然后代入计算就可以了。

　　解：

作线段图如下图：

　　设1头牛1天吃1份草，

　　则27头牛6天共吃草：

27×6＝162份；23头牛9天共吃23×9＝207份，

　　多了207－162＝45份，相当于（9－6）天生长的草量，

　　所以每天生长的草量为：

＝15份/天；

　　则原有的草量为：

162－6×15＝72份；

　　21头牛中有15头吃生长的草，那么剩下的21－15＝6头吃原有的草，

　　所以可以吃：

天，因此可供21头牛吃12天。

例2 一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。

先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。

如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。

那么出水管比进水管晚开多少分钟？

  分析：

虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草”，进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。

  出水管所排出的水可以分为两部分：

一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。

因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。

  设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。

两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 

有的水，可以求出原有水的水量为 

  解：

设出水管每分钟排出的水为1份。

每分钟进水量 

  答：

出水管比进水管晚开40分钟。

*  例3 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供多少头牛吃10天？

  分析与解：

与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。

但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

  设1头牛1天吃的草为1份。

20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。

由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草   （20＋10）×5＝150（份）。

  由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。

  例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：

该扶梯共有多少级？

  分析：

与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。

  上楼的速度可以分为两部分：

一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

男孩5分钟走了20×5＝ 100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。

由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有   （20＋10）×5＝150（级）。

   解：

自动扶梯每分钟走 

  （20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），   自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。

   答：

扶梯共有150级。

 例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

  分析与解：

等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

  旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

  设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客 

  （4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。

  假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为 

  （4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。

  同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要 

  60÷（7-2）=12（分）。

例6 有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。

问：

第三块草地可供19头牛吃多少天？

  分析与解：

例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。

为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。

   ［5，6，8］＝120。

  因为 5公顷草地可供11头牛吃10天， 120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。

  因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。

  120÷8＝15，问题变为：

 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？

   因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：

  “一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？

” 

  这与例1完全一样。

设1头牛1天吃的草为1份。

每天新长出的草有 

  （240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。

草地原有草（264—180）×10＝840（份）。

可供285头牛吃 

  840÷（285—180）＝8（天）。

   所以，第三块草地可供19头牛吃8天。

奥数牛吃草问题练习题及答案

（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。

如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

27×6=16223×9=207207-162=4545/（9-6）=15每周生长数

162-15×6=72（原有量）72/（21-15）=12周

（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。

现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。

现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

4×15=608×7=5660-56=44/（15-7）=0.5（每分钟涌量）

60-15×0、5=52、5（原有水量）52、5+/（5×0.5）/5=11桶

（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

17×30=51019×24=456510-456=5454/（30-24）=9每天生长量

510-30×9=240原有草量240+6×9=294294/6=49人

（４）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

6×4=244×5=2024-20=44/（5-4）=4每天漏掉数

24+4×4=40原有数

这桶酒每天漏掉的酒可供4人喝一天？

（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

5×20=1006×15=90100-90=1010/（20-15）=2每天入库数

100-20×2=60原有库存数60+2×6=7272/6=12台

（6）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

20×4=8014×5=7080-70=1010/（5-4）=10每分钟减少数

80+4×10=120原有数70+5×10=120

（7）：

两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。

问井深是多少？

20×5=10015*6=90100-90=1010/（6-5）=10黒夜下滑数

100+5×10=15015×6+10×6=150

（8）一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？

12×16-18×8=192-144=4848/（16-8）=6每星期生长数

192-16×6==96原有数96+6×6=132132/6=2222×4=88头

（9）有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。

如果用12个人淘水，3小时可以淘完。

如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。

现在要想2小时淘完，需要多少人？

12×3=365×10=5050-36=1414/（10-3）=2每小时增加数

36-3×2=30原有30+2×2=3434/2=17人

（10）有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。

若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。

若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。

现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？

4×15=608×7=5660-56=44/（15-7）=0.560-15×0.5=52.552.5+5×0.5=5555/5=11台

（11）李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。

如果50人担水，20小时可把池水担完。

如果70人担水，10小时可把池水担完。

现有130人担水，几小时可把池水担完？

50×20=100070×10=7001000-700=300300/（20-10）=30每小时增加1000-30×20=400原有

400/（130-30）=4小时

（１）牧场上有一片牧草，可供27头牛吃6周，或者供23头牛吃9周。

如果牧草每周匀速生长，可供21头牛吃几周？

（２）有一口水井，如果水位降低，水就不断地匀速涌出，且到了一定的水位就不再上升。

现在用水桶吊水，如果每分吊4桶，则15分钟能吊干，如果每分钟吊8桶，则7分吊干。

现在需要5分钟吊干，每分钟应吊多少桶水？

（３）有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。

如果需要6天割完，需要派多少人去割草？

（４）有一桶酒，每天都因桶有裂缝而要漏掉等量的酒，现在这桶酒如果给6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。

这桶酒每天漏掉的酒可供几人喝一天？

（５）一水库存水量一定，河水均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？

（6）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小红要从扶梯上楼，已知小明每分钟走20梯级，小红每分钟走14梯级，结果小明4分钟到达楼上，小红用5分钟到达楼上，求扶梯共有多少级？

（7）：

两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只却恰好用了6昼夜。

问井深是多少？

（8）一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？

（9）有一只船有一个漏洞，水用均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。

如果用12个人淘水，3小时可以淘完。

如果只有5个人淘水，要10小时才能淘完。

现在要想2小时淘完，需要多少人？

（10）有一个水井，水不断由泉涌出，井满则溢出。

若用4台抽水机，15小时可把井水抽干。

若用8台抽水机，7小时可把井水抽干。

现在要用几台抽水机，能5小时把井水抽干？

（11）李村组织农民抗旱，从一个有地下泉的池塘担水浇地。

如果50人担水，20小时可把池水担完。

如果70人担水，10小时可把池水担完。

现有130人担水，几小时可把池水担完？

（12）一片草地,每周都匀速生长.这片草地可以供12头牛吃9周,或者共15头牛吃6周.那么,这片草地可供9头牛吃几周?

（13）一牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃 24天。

现有一群牛，吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完，这群牛原来有多少头？

  （14）经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少亿人？

（15）某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

如果同时开放3个检票口，那么40分钟检票口前的队伍恰好消失；如果同时开放4个检票口，那么25分钟队伍恰好消失。

如果同时开放8个检票口，那么队伍多少分钟恰好消失？