高三数学数学山西省四校届高三下学期第.docx

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高三数学数学山西省四校届高三下学期第

2018届高三年级第四次四校联考试题

数学试题（理科）

本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题。

注意事项:

1．考生答卷前务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、考号填写在试卷上，并用2B铅笔在机读卡上规定位置涂黑自己的考号和考试科目。

２．选择题选出答案后，用2B铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．交卷时只交试卷和机读卡，不交试题，答案写在试题上的无效。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题。

本大题共12小题．每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

１．sin15°cos165°的值等于（）

Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.

2．复数的实部是（）

A．B．C．3D．

3．已知集合A={x||x|<3,xZ},B={1,2,3,4},全集U=AUB，则集合C（AB）的子集个数为（）

A．8B．16C．32D．64

4.不等式≥1的解集为（）

A．B．C．D．

5.已知等差数列{an}的公差为2，若成等比数列，则a2=（）

A．－4B．－6

C．－8D．－10

6.函数的定义域为，则其值域为（）

A．B．

C．D．

7.把曲线按向量平移，得到的曲线方程是（）

A．B．

C．D．

8．高为5，底面边长为4的正三棱柱形容器（下有底），可放置最大球的半径是（）

A．B．2C．D．

9．若展开式中的第5项是，设，则（）

A．1B．C．D．

10.实数满足不等式组,则的取值范围是（）

A．B.C.D.

11．定义在上的函数满足，又，，，则（）

A．　B．C．D．

12．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,+∞）B.（1,）C.（－1,1+）D.（1,1+）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题。

共4个小题，每空5分，共20分。

将正确答案填在答题卷中对应的横线上。

13.随机变量服从正态分布，若，则

　　　.

14．已知，且满足，则向量在方向上的投影等于.

15.已知点P（2,1）在圆C：

上，点P关于直线的对称点也在圆C上，则圆C的半径为　　　　　　．

16．设、、表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题：

①②

③

④

其中正确命题的序号是.

三、解答题。

共6个小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本小题满分10分）在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a=2csinA

（Ⅰ）确定角C的大小；

（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。

18．（本小题满分12分）如图，在多面体ABC-DEFG中，平面∥平面，⊥平面，,,∥．且,．

（Ⅰ）求证：

∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

19．（本小题满分12分）

“上海世博会”于2018年5月1日至10月31日在上海举行。

世博会“中国馆·贵宾厅”作为接待中外贵宾的重要场所，陈列其中的艺术品是体现兼容并蓄、海纳百川的重要文化载体，为此，上海世博会事物协调局将举办“中国2018年上海世博会‘中国馆·贵宾厅’艺术品方案征集”活动。

某地美术馆从馆藏的中国画、书法、油画、陶艺作品中各选一件代表作参与应征，假设代表作中中国画、书法、油画入选“中国馆·贵宾厅”

的概率均为，陶艺入选“中国馆·贵宾厅”的概率为.

（Ⅰ）求该地美术馆选送的四件代表作中恰有一件作品入选“中国馆·贵宾厅”的概率;

（Ⅱ）设该地美术馆选送的四件代表作中入选“中国馆·贵宾厅”的作品件数为随机变量ξ，求ξ数学期望.

20.（本小题满分12分）已知=，（0，e]，其中是自然常数，

（Ⅰ）当时,求的单调区间和极值；

（Ⅱ）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

21.（本小题满分12分）

设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）试问：

△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由

22．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和满足：

（为常数，且）．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；

（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为.求证：

．

第四次四校联考数学参考答案

一、BBCCBCCBADCD

二、13．（文）80（理）0.414.15.216.①④

三、17．解

（1）由及正弦定理得，

∵sinA≠0,∴sinC=

∵ABC是锐角三角形，……………………………………………4分

（2）∵c=,C=由面积公式得

……………………6分

由余弦定理得

………………8分

由②变形得………………………………………10分

18．（本小题满分12分）解法一向量法

由已知，AD、DE、DG两两垂直，建立如图的坐标系，

则A（0，0，2），B（2，0，2），C（0，1，2），

E（2，0，0），G（0，2，0），F（2，1，0）

（Ⅰ）

∴，所以BF∥CG．

又BF平面ACGD

故BF//平面ACGD……………………6分

（Ⅱ），

设平面BCGF的法向量为，

则，

令，则，

而平面ADGC的法向量

∴＝

故二面角D-CG-F的余弦值为．……………………12分

解法二设DG的中点为M，连接AM、FM，

则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，

所以MF//DE，且MF＝DE

又∵AB//DE，且AB＝DE∴MF//AB，且MF＝AB

∴四边形ABMF是平行四边形，即BF//AM，

又BF平面ACGD

故BF//平面ACGD……………6分

（利用面面平行的性质定理证明，可参照给分）

（Ⅱ）由已知AD⊥面DEFG∴DE⊥AD，DE⊥DG

即DE⊥面ADGC，

∵MF//DE，且MF＝DE，∴MF⊥面ADGC

在平面ADGC中，过M作MN⊥GC，垂足为N，连接NF，则

显然∠MNF是所求二面角的平面角．

∵在四边形ADGC中，AD⊥AC，AD⊥DG，AC=DM＝MG＝1

∴，∴MN＝

在直角三角形MNF中，MF＝2，MN

∴＝＝＝，＝

故二面角D-CG-F的余弦值为……………………12分

19．（文）

（1）+………………………….6分

（2）……….12分

（理）

20．（文）

（1）∵a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，

∴a3=5，a5=9，公差

∴………………3分

又当n=1时，有b1=S1=1－

当

∴数列{bn}是等比数列，

∴…………6分

（2）（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………9分

∴

∴…………………………12分

（理）

（1）时，，……1分

由得，∴f（x）的单调递减区间（0,1）

由得，单调递增区间（1，e）……3分

∴的极小值为……4分

（2）假设存在实数，使（）有最小值3，…………………5分

①当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.……7分

②当时，在上单调递减，在上单调递增

，，满足条件.……9分

③当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.……11分

综上所述，存在实数，使得当时有最小值3。

……12分

21．（文）

（I）2分

由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数。

综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

………………………6分

（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

…………………………….8分

由假设知

即解得1

故的取值范围是（1，6）………………………12分

（理21）（文22）

解：

椭圆的方程为4分

（2）①当直线AB斜率不存在时，即,由

…………5分

又在椭圆上，所以

所以三角形的面积为定值.……6分

②当直线AB斜率存在时：

设AB的方程为y=kx+b

，=（2kb）24（k2+4）（b24）>0……………8分

……………………………………10分

S=|AB|=|b|===1

综上三角形的面积为定值1.………………………………………………12分

22．（理）

解：

（Ⅰ）∴…………………….1分

当时，

两式相减得：

，（a≠0，n≥2）

即是等比数列．∴；……………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a≠1∴,，

若为等比数列，则有

而，，……………………6分

故，解得，……………………7分

再将代入得成立，

所以．………………………………………………………………8分

（III）证明：

由（Ⅱ）知，

所以，

………………10分

所以

…………………………12分