第四章动量定理与动量守恒定律.docx
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第四章动量定理与动量守恒定律
第四章动量定理与动量守恒定律
基本内容
本章重点是掌握动量、冲量概念及其物理规律，并掌握这些规律的应用条件和方法。
本章难
点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性力学问题的分析求解。
教学目的
1.掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题。
2.掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题。
3理解质心的概念和质心运动定律。
4-1质点和质点系的动量定理
、冲量质点的动量定理
动量是描写物体机械运动状态的物理量。
在日常生活中，人们站在树下，抬头看见一片树叶落下即将砸到头顶，一定会满不在乎地敢于承当，而看到一颗石子飞来，一定会望而生畏地急忙躲开。
大家也知道，即使在钉子上面放上一个质量很大的物体，也很难把钉子压进木头里去。
可
是，挥动小榔头敲钉子，就比较容易把钉子打进去。
这些现象都与动量概念有关。
可见，动量
是描述一定运动状态下物体“运动量”的概念，比速度更能全面、确切地反映物体的运动状态，为状态量。
牛顿在所著的<<自然哲学的数学原理>>一书中，把动量定义为质点的质量m和其速度v的乘积，即
（1）
它是一个矢量，其大小为|nv|=mv方向为速度的方向。
在国际单位制中，动量的单位
Fdt=dp=d（mv）
上式的积分为
2
tF（t）dt=p2—pi=mv2_mvi
1（4-1）
式中vi和Pl是质点在时刻t1的速度和动量，V2和P2是质点在时刻t2的速度和动量。
F（t）dt
为力对时间的积分，称为力的冲量，用符号I表示。
式（3-1）的物理意义是：
在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。
这就是质点的动量定理。
式（3-1）是质点动量定理的矢量表达式，在直角坐标系中，其分量式为
t2
二tFxdt二mv2x-mv1x
L1
t2
=j.Fydt=mv2y_mv1yt1
t2
Fzdt=mv2z—mviz
：
1
t.
（4-2）
显然，质点在某一轴线上的动量增量，仅与该质点在此轴线上的受的外力的冲量有关。
动量定理在碰撞、打击等情形中特别有用.两物体碰撞时互相作用的力称为冲力.冲力
的特点是作用时间极短，而力的大小变化则极大，这就是所谓力的脉冲。
一般而言，冲力大
小随时间而变化的情况比较复杂，所以很难把每一时刻的冲力测量出来.但若我们能够知道
两物体在碰撞前、后的动量，那么根据动量定理，就可得出物体所受的冲量；若我们还能测
出碰撞时间."■■■,那么也可以通过冲量算出在碰撞时间芒丄内的平均冲力厂为
1
t2一右
、质点系的动量定理
前面两章，我们讨论的是单个质点的运动。
在这一节里，我们要讨论由许多质点构成的
体系的运动规律。
这种问题，常称为质点系问题，或多体问题。
（在质点系中有一类是特别
的，即所有质点都没有受到体系之外的物体的作用力。
也可以简单他说，整个体系不与外物
若在系统S内有两个质点1和2,它们的质量分别为m1和m2。
系统外的质点对它们作
用的力叫做外力，系统内质点间的相互作用力则叫内力。
设作用在质点上的外力分别是F1和
F2，而两质点相互作用的内力分别为F12和F21。
根据质点的动量定理，在「辻“2-b时间内，
两质点所受力的冲量和动量增量分别为
12
（（F1+fjdt=mv—m%
和
l2
t（F2-F21）dt二m2V2-m2%
-11
将上两式相加，有
t2t2
t（F1F2）dtt（F12F/dt=（gwm2v?
）—口1vwm?
v20）
t1't1（4-3）
由牛顿第三定律知F12=孑21，所以系统内两质点间的内力之和，F12'F21=0故上式为
t2
t（F1F2）dt=（m1V1m2V2）—（mv1om2v20）
t1
上式表明，作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量,亦即系统的动量增量。
上述结论容易推广到由n个质点所组成的系统。
如果系统内含有n个质点，那么式（4-3）
可改写成
考虑到内力总是成对出现，且大小相等、方向相反，故其矢量和必为零，即
n
Fiin=0
i=±
设作用于系统的合外力用Fex表示，且系统的初动量和末动量各为Po和P，那么上式可
改写为
tn
fFexdt=Wmv
t1•„
（4-4b）
式（3-4）表明，作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量。
这就是质点系的
动量定理。
对于在无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成
Fexdt=dp
或
Fexdp
F
dt（4-4c）
上式表明，作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。
上式表明在某一时间内质点所受合外力的冲量等于同一时间内质点动量的增量，这一关
系叫做质点动量定理的微分形式。
实际上它是牛顿第二定律的另一种形式。
在相对论中，质量随速率而变，F=ma已不再正确，但Fdt=dp仍然正确。
动量定理与牛顿定律的关系：
1对一个质点，牛顿定律表示的是力的瞬时效应，而动量定理表示的是力对时间的积累效果.
2牛顿定律只适用于质点，不能直接用于质点系•而动量定理可适用于质点系•
3牛顿定律和动量定理都只适用于惯性系•要在非惯性系中应用动量定理，必须考虑惯性力的冲量•
三、动量定理的应用实例
课本63页例一
四、思考题
如图所示，一根轻质无弹性的细线一端系于固定点0，另一端系一质量为m的小球，且
小球作半径为r的匀速率圆周运动，速率为Vo。
问小球运行半周，小球的重力、绳的拉力与
小球受到的合力的冲量大小为多少？
方向如何？
4-2动量守恒定律
一、动量守恒定律
ex
从式（4-4）可以看出，当系统所受合外力为零，即F-0时，系统的总动量的增量亦
为零，即p—P0=°。
这时系统的总动量保持不变，即
n
p=WmN=
i:
±恒矢量（4-5a）
这就是动量守恒定律，它的表述为：
当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持
不变，式（4-5a）是动量守恒定律的矢量式。
在直角坐标系中，其分量式为
Pxmivix=C1
Py="mWy=C2
Pz='miy=C3
式中C1、C2和C3均为恒量。
二、应用动量守恒定律应该注意的几个方面
（1）只有外力对系统动量的增量有贡献。
系统内力不改变系统总动量，但可使系统内各质点的动量变化•
体系动量守恒并不是要求体系不受外力，只要所受外力的矢量和为零。
不受外力的体系
其动量必然守恒，故孤立体系的动量守恒。
在某些过程（如爆炸、碰撞）中，体系虽受外力，但外力有限，过程时间很短，外力冲量很小.而其间内力很大，体系内每一部分的动量变化主要来自内力的冲量，外力的冲量可忽略不计，故可以利用动量守恒定律研究体系内部各部分间的动量再分配问题
（2）动量守恒是矢量式，它可以写成三个分量式：
若Fx
=0,
则
Px=
常量；
若Fy
=0,
则
Py=
常量；
若Fz
=0,
则
Pz=
常量；
（3）
与牛顿
定律
一样,
动量守恒定律只适用于惯性系。
（4）动量守恒定律虽然由牛顿第二、三定律导出，但它比牛顿定律适用范围更广。
尤
其是微观领域的某些过程中，牛顿定律也许不成立，但动量守恒定律仍然成立
这是因为动量守恒定律可以不用牛顿定律，而直接从空间的平移不变性（一种时空对称
也导出。
时空对称性原理是比牛顿定律更高层次的定律。
动量不仅是表述物体运动状态的量，而且，动量较之速度其涵义更为广泛，意义更为重要。
因此，一般描述物体作机械运动时的状态参量，用动量P比用速度v更确切些。
动量P和位矢r是描述物体机械状态的状态参量。
课本65页例二和例三
二、思考题
1质点系的动量守恒，是否意味着该系统中，一部分质点的速率变大时，一部分质点的速
率一定会变小？
2假使你处在摩擦可略去不计的覆盖着冰的湖面上，周围无其它可利用的工具，你怎样依
靠自身的努力返回湖岸呢？
能否用步行、滚动、挥舞双臂或踢动两脚而到达岸边？
例题4-1一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下端刚与地面接触.此
时放开绳子，从静止状态开始下落.已知绳子质量为m,长为L,求下落到所剩长度为z时，
地面对这段绳子的作用力。
定理有
的长度为-vdt，可
加上已经落地的一段绳子所受到的支
持力，总的作用力为
mfz\
FuF.+d-z^gtmg
IiI丿
例题4-2—长为I，质量为M的小车放置在平直轨道上。
车的A端站有一质量为m的人，人和小车原来都静止不动，如果这人从车的A端走到B端，不计小车与轨道之间的摩擦，求小车和人各自的位移为多少？
解答：
人走动前，人和车原为静止，速度均为零；走动后，设人和小车相对于地面的速度分别为v和V假设它们均与x轴正向同向
o=m+v）+m+
试中，负号表示人与小车运动的方向相反。
由v=dx/dt,有
两边积分：
由此得小车相对于地面的位移为
所以，人相对于地面的位移（即末位置与初位置的坐标之差）为
f.ml,Ml
M+W2
X=X-i=-1=—
（在水平方向上系统不受外力，动量守恒，故
mv,MV?
=0
其中Vv分别为某时刻人和车对地的速度.再设u为人对地的速度，则
为人对船
V,=uv2②
则可写出下面三个运动学关系式
例题4-3在光滑的水平面上，有一质量为叫的静止物体B,在B上又有一质量为ma的静止物体A，A受冲击，以va（相对于水平面〕向右运动，A和B之间的摩擦系数为’，A逐渐带动B一起运动，问A从开始运动到相对于B静止
时，在B上运动多远?
解：
取A和B组成的系统，根据动量守恒
maVa=mam©V
内力做功不为零，由系统的动能定理
W外W内」Ek
-mgx=]mambV2--maVa22
2
mbVa
2gmamb
X
完全弹性碰撞完全非弹性碰撞
两物体在碰撞过程中，它们之间相互作用的内力较之其他物体对它们作用的外力要大得
多，因此，在研究两物体间的碰撞问题时，可将其他物体对它们作用的外力忽略不计。
如果
在碰撞后，两物体的动能之和完全没有损失，那么，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。
实际上，在两物体碰撞时，由于非保守力作用，致使机械能转换为热能、声能、化学能等其他形式的
能量，或者其他形式的能量转换为机械能，这种碰撞就是非弹性碰撞。
如两物体在非弹性碰撞后以同一速度运动，这种碰撞叫做完全非弹性碰撞。
例题4-4如图，质量为M的物块A
在离平板为h的高度处自由下落•落在质量也为M的平板B上.已知轻质弹簧的倔强系数为k，物体与平板作完全非弹性碰撞，求碰撞后弹簧的最大压缩量.
解：
本题可分为三个物理过程
⑴物块A下落
V；=2gh①
⑵物块A与平板B发生碰撞
Mv^MMv2②
⑶碰撞后弹簧被压缩机械能守恒d怎£=0
Ek=0一1MMv2
弹簧被最大压缩时
取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点0.则平板B放上后位移为xi，块A碰撞后位移为X2，则
E^1kx,x22-MMgx2-’kx；
根据机械守恒式，得
2M
+MV；+1ktx,+x2f-x2L（M+M）gx2=0
2
kx厂Mg④
将①、②、④式代入③式，整理后得
2
X2
2MgMgh
X20
kk
得碰撞后弹簧最大压缩量为
—、思考题
在弹性碰撞中，有哪些量保持不变？
在非弹性碰撞中又有哪些量不变。
4-5.一质量为m的小球，由顶端沿质量为M的圆弧形木槽自静止下滑，设圆弧形槽的半
径为R（如图所示）。
忽略所有摩擦，求
（1）小球刚离开圆弧形槽时，小球和圆弧形槽的速度各是多少？
（2）小球滑到B点时对木槽的压力
解：
设小球和圆弧形槽的速度分别为■.1和：
2
（1）由动量守恒定律
mM2=°
1212
由机械能守恒定律m1M2=mgR
22
由上面两式解得
⑵小球相对槽的速度为
竖直方向应用牛顿运动第二定律
2
V
N「mg二m——
R
例题4-6.打桩机的铁锤质量为"、落高为：
桩的质量为：
;，落锤一次使桩下沉的位移为d且锤不反弹，求桩下落过程中所受到的岩土平均阻力R？
分析：
第一阶段：
锤从高处山处落下
到桩头上，该阶段锤和地球组成的系统机械能守恒。
第二阶段：
锤与桩碰撞后速度
立即降低，直到跟桩的速度相等为
止，锤与桩的系统发生完全非弹性碰
第三阶段：
锤、桩以共同的初速v，在岩土阻力R作用下，在岩土中下降阶段，岩土阻力做负功，锤和桩组成的系统动能减少。
解答：
第一阶段：
由机械能守恒定律
第二阶段：
由动量守恒定律
朋］巧「I=（擁I+fn2）v
、
叨1+叨2%+叨2
第三阶段：
由动能定理凤+呼）—（）冷（亦吨*
R=_他曲
昭+輕）d
（通常，R比：
一i二大得多，所以上式左边第一项远小于第二项，可以忽略不计。
）
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