初中数学九年级上册讲义第03讲一元二次方程的综合应用培优学案.docx

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初中数学九年级上册讲义第03讲一元二次方程的综合应用培优学案

学科教师辅导讲义

学员编号：

年级：

九年级

课时数：

3

学员姓名：

辅导科目：

数学

学科教师：

授课主题

第03讲---一元二次方程的综合应用

授课类型

T同步课堂

P实战演练

S归纳总结

教学目标

1利用一元二次方程根与系数的关系解决简单问题；

2认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤，进一步提高分析问题、解决问题的能力；

3熟练应用一元二次方程解决四类典型应用题。

授课日期及时段

T（Textbook-Based）——同步课堂

一、知识框架

二、知识概念

（一）一元二次方程的根与系数的关系

1、如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣

，x1x2=

2、如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q

3、以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－（x1+x2）x+x1x2=0

（二）列一元二次方程解应用题

1、步骤

列一元二次方程解应用题的步骤可归结为审、设、列、解、验、答。

2、几何面积问题

（1）解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式；

（2）不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线；

（3）重视数形结合的思想方法。

3、平均增降率问题

对于P=a（1+x）n

（1）a是增长或降低的基础量；

（2）x是平均增长或降低率；

（3）n是增长或降低的次数；

（4）P是增长或降低后的数量；

（5）“+”表示增长，“-”表示降低。

4、利润问题

（1）利润=售价-进价（成本）

（2）利润率=

×100%=

×100%

（3）售价=进价×（1+利润率）

（4）总利润=单件商品利润×销售量=销售额-总成本

5、行程问题

通常与构造直角三角形，使用勾股定理得到一元二次方程有关。

考点一：

一元二次方程的根与系数的关系

例1、若m，n是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值是（　　）

A．－7　　　　B．7　　　　C．3　　　　D．－3

例2、x＋y＝－6和xy＝－7有相同的解，若求x和y的值，可将x，y看作某方程的两根，则该方程应是（　　）

A．m2＋6m＋7＝0B．m2－6m－7＝0

C．m2＋6m－7＝0D．m2－6m＋7＝0

例3、设x1x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两根，求下列代数式的值．

（1）x12＋x22　

（2）

＋

　（3）x12＋x22－3x1x2

例4、a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根

C．无实数根D．有一根为0

考点二：

几何面积问题

例1、餐桌桌面是长为160cm，宽为100cm的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽．若设垂下的桌布宽为xcm，则所列方程为（　　）

A．（160+x）（100+x）=160×100×2B．（160+2x）（100+2x）=160×100×2

C．（160+x）（100+x）=160×100D．2（160x+100x）=160×100

例2、小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（如图）．如果这个无盖的长方体底面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为（　　）

A.2cmB．1cmC.0.5cmD．0.5cm或9.5cm

例3、如图，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蝉从C沿CB的方向以每秒1cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24cm2，由题意可列方程（　　）

A．2x·x＝24B．（10－2x）（8－x）＝24

C．（10－x）（8－2x）＝24D．（10－2x）（8－x）＝48

例4、如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的

．

（1）求配色条纹的宽度；

（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．

考点三：

平均增降率问题

例1、股票每天的涨跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天涨停，之后两天时间又跌回原价，若这两天此股票股价的平均下跌的百分率为x，则x满足的方程是（　　）

A．1﹣2x=

B．（1﹣x）2=

C．1﹣2x=

D．（1﹣x）2=

例2、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x相同，则（　　）

A．50（1＋x2）＝196B．50＋50（1＋x2）＝196

C．50＋50（1＋x）＋50（1＋x）2＝196D．50＋50（1＋x）＋50（1＋2x）＝196

考点四：

销售问题

例1、某种花卉每盆盈利与每盆株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）

A．（3＋x）（4－0.5x）＝15B．（x＋3）（4＋0.5x）＝15

C．（x＋4）（3－0.5x）＝15D．（x＋1）（4－0.5x）＝15

例2、某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？

例3、为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为3元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价4元时，每天能出售500个，并且售价每上涨0.1元，其销售量将减少10个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价的200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为800元．

考点五：

行程问题

例1、如图，两艘船同时从A点出发，一艘船以15海里/时的速度向东北方向航行，另一艘船以20海里/时的速度向东南方向航行，几小时后两船正好相距100海里？

P（Practice-Oriented）——实战演练

Ø课堂狙击

1、若x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，则x1＋x2＋2x1x2的值为（　　）

A．－3　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．4

2、设α，β是方程x2+9x+1=0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（　　）

A．0B．1C．2000D．4000000

3、关于x的方程ax2﹣（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x1、x2，且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a，则a的值是（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．2

4、李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n人参加聚会，根据题意可列出方程为（　　）

A．

=20B．n（n﹣1）=20C．

=20D．n（n+1）=20

5、从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（　　）

A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm2

6、广州亚运会的某纪念品原价188元，连续两次降价a%，后售价为118元，下列所列方程中正确的是（　　）

A．188（1+a%）2=118B．188（1﹣a%）2=118

C．188（1﹣2a%）=118D．188（1﹣a2%）=118

7、某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的产值为175亿元，若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　）

A．50（1+x）2=175B．50+50（1+x）2=175

C．50（1+x）+50（1+x）2=175D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175

8、如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，则点P、Q分别从点A，B同时出发，经过秒钟，使△PBQ的面积等于8cm2.

9、某种T恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1400元，每件应降价元．

10、某小区2012年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2014年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是____

11、为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域

ABCD的面积为ym2．

（1）求AE的长（用x的代数式表示）；

（2）当y=108m2时，求x的值．

12、小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件，如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元，按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元，请问她购买了多少件这种服装？

13、一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？

若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．

Ø课后反击

1、一元二次方程x2＋3x＝1的两根之和与两根之积分别是（　　）

A．3，1　　B．－3，－1　　C．3，－1　　D．－3，1

2、若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≥1B．k＞1C．k＜1D．k≤1

3、已知x1、x2是一元二次方程3x2=6﹣2x的两根，则x1﹣x1x2+x2的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

4、元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　）

A．x（x﹣1）=90B．x（x﹣1）=2×90

C．x（x﹣1）=90÷2D．x（x+1）=90

5、有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四周各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，设铁皮各角应切去的正方形边长为xcm，则下面所列方程正确的是（　　）

A．4x2=3600B．100×50﹣4x2=3600

C．（100﹣x）（50﹣x）=3600D．（100﹣2x）（50﹣2x）=3600

6、某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（　　）

A．10（1+x）2=36.4B．10+10（1+x）2=36.4

C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4

7、已知x＝3是关于x的方程x2＋2x＋m＝0的一根，则另一根是____，m＝____

8、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒？

四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？

点P和点Q的距离是10cm．

9、关于x的方程2x2－（a2－4）x－a＋1＝0.

（1）a为何值时，方程的一根为0?

（2）a为何值时，两根互为相反数？

10、为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

11、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获得2240元的利润，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

12、如图，一个农户要建一个矩形猪舍ABCD，猪舍的一边AD利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成．为了方便进出，在CD边留一个1米宽的小门．

（1）若矩形猪舍的面积为80平方米，求与墙平行的一边BC的长；

（2）若与墙平行的一边BC的长度不小于与墙垂直的一边AB的长度，

问BC边至少应为多少米？

1、【2016•桂林】若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5

2、【2014•黄冈】若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（　　）

A．﹣8B．32C．16D．40

3、【2013•烟台】已知实数a，b分别满足a2﹣6a+4=0，b2﹣6b+4=0，且a≠b，则

的值是（　　）

A．7B．﹣7C．11D．﹣11

4、【2016•恩施州】某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（　　）

A．8B．20C．36D．18

5、【2016•鄂州】关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2=0．

（1）求证：

无论k为何值，方程总有实数根．

（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2=0的两个根，记S=

+x1+x2，S的值能为2吗？

若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．

6、【2014•莱芜】若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=　　　　　　．

7、【2014•随州】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么需售出多少辆汽车？

（注：

销售利润＝销售价－进价）

S（Summary-Embedded）——归纳总结

1、平均增降率问题

对于P=a（1+x）n

（1）a是增长或降低的基础量；

（2）x是平均增长或降低率；

（3）n是增长或降低的次数；

（4）P是增长或降低后的数量；

（5）“+”表示增长，“-”表示降低。

2、利润问题

（1）利润=售价-进价（成本）

（2）利润率=

×100%=

×100%

（3）售价=进价×（1+利润率）

（4）总利润=单件商品利润×销售量=销售额-总成本

解一元二次方程的应用问题时，先找准等量关系，再根据等量关系列出方程并准确计算出结果是关键。

Ø本节课我学到了

Ø我需要努力的地方是