三角形梯形中位线定理应用练习课.docx
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三角形梯形中位线定理应用练习课
《三角形、梯形中位线定理应用练习课》教学设计
执教李裕达
【教学内容】人教版初中《几何》第二册P176〜P181
【教学目标】1.进一步熟悉三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理;
2•能熟练地运用三角形、梯形中位线的性质定理和判定定理进行有关证明和计算;
3•通过例题和练习，使学生掌握与中点有关的常用辅助线作法;
4•培养学生思维能力和归纳、概括能力，提高解题能力。
【教学重点】三角形、梯形中位线定理的应用
【教学难点】证（解）题思路分析和辅助线的作法
【教学方法】题组教学法
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件等
【教学设计】
一、复习题组
1.知识要点
（1）如图1,
三角形中位线性质定理的条件是
结论是
结论是
三角形中位线判定定理的条件是
（2）如图2,
梯形中位线性质定理的条件是
结论是
结论是
梯形中位线判定定理的条件是
BC
（图2）
2.基本方法
三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线
段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？
（1）全等三角形对应边相等；
（2）等角对等边，等腰三角形“三线合一”性质；
⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等;
⑷角平分线上的点到角的两边距离相等；
（5）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（6）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半;
（7）平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质;
（8）等腰梯形的两腰相等，两条对角线相等。
、基本题组
1顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;
2•顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;
3•顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;
4•顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;
5•顺次连结正方形各边中点所得的四边形是;
6•顺次连结梯形各边中点所得的四边形是。
7•顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是。
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
9•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；
10•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；
11顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点，则厶DEF与厶ABC的周长比为，面积比为
则EE'=,FF'=
）
13.如图3,在厶ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'是AC的四等分点，BC=28,贝UDD'=,EE'=,FF'=。
14.如图4,在厶ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E'是AC边的三等分点，若BC=18,贝UDD'=,EE'=。
EE'//FF'//BC，分别交CD于
15.如图5,在梯形ABCD中，AD//BC,E、F是AB的三等分点,
16.直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（
A.相等且平分B.相等且垂直C.垂直平分
17．以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（
D.垂直平分且相等
）
D.正方形
A•平行四边形B•矩形C.菱形
AB
（图6）
、教练题组
例1.已知：
如图6,在梯形ABCD中，AB//CD，以AD、AC为边作口ACED,
DC的延长线交EB于F。
求证：
EF=FB。
1注1〗本题先由学生讨论，拓宽证题思路，再补充、归纳;
1注2〗本题证法较多，关键是如何添加辅助线，主要方法如下。
（1）延长EC，交AB于点G（如图7）；
⑵延长EC，交BA的延长线于点G（如图8）；
⑶连结AE，交CD于点G（如图9）;
⑷过点E作EG丄AB，分别交DF、AB于G、H（如图10）;
（5）过点E作EG//CD，交AD的延长线于
G（如图11）;
构造梯形中位线
⑹过点F作FG//AD，交AB于G（如图12）;
⑺过点F作FG//AC，交AB于G（如图13）;
构造全等三角形
1注〗重点研究图
构造平行四边形
（图10）
G
7、8、9、11的证法，其他图形的证法仅提一提，以培养学生的发散思维能力。
例2.已知：
如图
15,在厶ABC中，AB=AC,E是AB的中点，延长AB到D，使BD=AB。
求证：
CD=2CE。
证法一：
取AC的中点F,连结BF（如图16）。
证法二：
过点B作BF//CE，交AC的延长线于F（如图17）。
证法三：
延长CE到F,使EF=CE，连结FA、FB（如图18）。
（图15）
口
（图19）
，再证此中线长等于DF；
22，BM、CN是厶ABC的角平分线,
例3.已知：
如图19,在厶ABC中，/B=2/C,AD丄BC于D,E是BC的中点。
求证：
AB=2DE
分析：
⑴要证AB=2DE，只需证等于AB一半的线段等于DE
或等于DE的2倍的线段等于AB。
（2）找等于AB一半的线段有三种方法:
是只取AB的中点，但这不利于问题的证明;
二是构造以AB为斜边的直角三角形中线（因为条件中有垂直）
三是构造以AB为第三边某三角形的中位线，再证此中位线等于DE。
证法一：
取AB的中点F,
（如图20）。
（以下证明略）
证法二：
取AC的中点F，
（如图21）。
（以下证明略）
例4.（选讲）已知：
如图
AE丄BM于E,AF丄CN于F。
求证：
EF//BC。
分析：
由“角相等”证“平行”很难实现。
考虑条件中有“角平分线”
和“垂直”，因而可采用“补形”的办法试证。
证明：
延长AF交BC于G,延长AE交BC于H。
（以下略）
思考：
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”
结论是否还成立？
如何证明？
（如图23）,亠
P
四、巩固题组
1.已知:
如图24,AD是厶ABC
的中线，E是AD
AE的延长线交AC于F。
求证:
BE=3EF。
2.已知:
如图25,
在菱形ABCD中，E是AD的中点,
求证:
3.（选做）
交AB于
GE=GF。
已知：
如图26,
G,交CB延长线于F。
（图23）
在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是AD、BC
的中点，延长BA、CD，分别交FE的延长线于M、N。
（图25）
、复习题组
1.如图1,三角形中位线性质定理的条件是,
结论是
三角形中位线判定定理的条件是
结论是
2•如图2，梯形中位线性质定理的条件是，
结论是
梯形中位线判定定理的条件是
结论是
3•三角形、梯形中位线定理不仅反映了线段的相等关系，也反映了线段间的倍半关系。
此外，证明线
段相等或倍半关系还有其他方法，你能指出一些其他的常用方法吗？
二、基础题组
1•顺次连结四边形各边中点所得的四边形是;
2•顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是;
3•顺次连结矩形各边中点所得的四边形是;
4•顺次连结菱形各边中点所得的四边形是;
5•顺次连结正方形各边中点所得的四边形是。
6•顺次连结梯形各边中点所得的四边形是;
7•顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是;
&顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是。
9•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是菱形；
10•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是矩形；
11•顺次连结对角线的四边形各边中点所得的四边形是正方形。
12.已知D、E、F是厶ABC各边的中点，则△DEF与厶ABC的周长比为，面积比为
13.如图3，在△ABC中，D、E、F是AB的四等分点，D'、E'、F'是AC的四等分点，BC=28,
贝UDD'=,EE'=,FF'=;
14.如图4，在△ABC中，D、E是AB边的三等分点，D'、E'是AC边的三等分点，若BC=18,
贝UDD'=,EE'=;
15.如图5，在梯形ABCD中，AD//BC,E、F是AB的三等分点，EE'//FF'//BC，分别交CD于
C.垂直平分D.垂直平分且相等
16•直角三角形斜边上的中线与连结两直角边中点的线段的关系是（
17.以等腰梯形两底中点和两条对角线中点为顶点的四边形是（
）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
三、例题题组
D.正方形
A.相等且平分
B.相等且垂直
例1.已知：
如图，在梯形ABCD中，AB//CD，以AD、AC为边作□ACED,
DC的延长线交EB于F。
求证：
EF=FB。
例2.已知：
如图，在△
ABC中，AB=AC,E是AB的中点，延长
AB至UD，使BD=AB。
求证：
CD=2CE。
例3.已知：
如图，在△ABC中，/B=2/C,AD丄BC于D,E是BC的中点。
求证：
AB=2DE
例4.（选讲）已知：
如图,
BM、CN是厶ABC的角平分线,
AE丄BM于E,AF丄CN于F。
求证：
EF//BC。
A
思考：
若将两条“内角平分线”改成“外角平分线”
（如图），结论是否还成立？
如何证明？
四、巩固题组
1已知：
如图，AD是厶ABC的中线,
求证：
BE=3EF。
E是AD的中点,
AE的延长线交
2.已知：
如图，在菱形
求证：
GE=GF。
ABCD中，AB=CD,
FE的延长线于M、N。
B
F
ABCD中，E是AD的中点，EF丄AC，交AB于G,交CB延长线于F。
3.（选做）已知：
如图，在四边形
延长BA、CD，分别交
求证：
/BMF=/CNF。
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