第4章三角形.docx

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第4章三角形

第4章三角形

24.（2014•湖北潜江仙桃，第24题10分）如图①，△ABC与△DEF是将△ACF沿过A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）．平移△DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转△DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点．

（1）如图②，△ABC中，若AB=BC，且∠ABC=90°，则线段EM与EN有何数量关系？

请直接写出结论；

（2）如图③，△ABC中，若AB=BC，那么

（1）中的结论是否还成立？

若成立，请给出证明：

若不成立，请说明理由；

（3）如图④，△ABC中，若AB：

BC=m：

n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论．

24.解：

（1）EM=EN．证明：

过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图②所示．

则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．∵∠HBG+∠DEF=180°，∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵BA=BC，点E为AC中点，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH=EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM=EN．

（2）EM=EN仍然成立．证明：

过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图③所示．则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．∵∠HBG+∠DEF=180°，∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵BA=BC，点E为AC中点，∴BE平分∠ABC．又∵EH⊥AB，EG⊥BC，∴EH=EG．在△HEM和△GEN中，∵∠HEM=∠GEN，EH=EG，∠EHM=∠EGN，∴△HEM≌△GEN．∴EM=EN．（3）线段EM与EN满足关系：

EM：

EN=n：

m．证明：

过点E作EG⊥BC，G为垂足，作EH⊥AB，H为垂足，连接BE，如答图④所示．则∠EHB=∠EGB=90°．∴在四边形BHEG中，∠HBG+∠HEG=180°．∵∠HBG+∠DEF=180°，∴∠HEG=∠DEF．∴∠HEM=∠GEN．∵∠HEM=∠GEN，∠EHM=∠EGN，∴△HEM∽△GEN．∴EM：

EN=EH：

EG．∵点E为AC的中点，∴S△AEB=S△CEB．∴AB•EH=BC•EG．∴EH：

EG=BC：

AB．∴EM：

EN=BC：

AB．∵AB：

BC=m：

n，∴EM：

EN=n：

m．【解析】本题通过图形的变换，考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和等知识，同时也渗透了变中有不变的辩证思想，而运用等积法又是解决第三小题的关键。

专题9：

一、选择题

1.（2008年沈阳第6题，3分）若等腰三角形中有一个角等于

，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°

2．（2009年沈阳第6题，3分）一个三角形的周长是36cm，以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是（　　）

A.8cmB.12cmC.15cmD.18cm

3．（2014•青海西宁,第3题，3分）下列线段能构成三角形的是（　　）

　A．2，2，4B．3，4，5C．1，2，3D．2，3，6

1.D【解析】等腰三角形的性质、分类讨论思想历来是各地中考的热点。

本题考查了等腰三角形的性质“等边对等角”及等腰三角形中不同位置的角的分类——顶角和底角。

由于所给50°角并未明确其位置，因此要通过分类讨论来解题。

2.D【解析】本题考查了三角形中位线的性质.

3.B【解析】本题考查的是三角形三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边”．

二、填空题

1.（2007年沈阳第11题，3分）如图，AC、BD相交于点O，∠A＝∠D，请你再补充一个条件，使得△AOB≌△DOC，你补充的条件是　　　　　　　．

2．（2008年沈阳第11题，3分）已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为．

4．（2006年沈阳第13题，3分）已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是．

1.AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO　【解析】本题是条件开放类问题，适用分析结论法，从结论需要满足的条件拟推。

2.120°【解析】本题属于简单的角度计算问题，由于没给图形，需要依据题意画出图形增强几何直观辅助思考。

4.

或

【解析】“△ACD和△ABD都是等腰三角形”并未明确哪些边是腰，因此需要分类讨论：

。

三、解答题

1.（2011年沈阳第19题，10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=30°，∠DAB=45°.

（1）求∠DAC的度数；

（2）求证：

DC=AB.

1.

（1）解：

∵AB=AC　∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°，∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.

（2）证明：

∵∠DAB=45°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°，∴∠DAC=∠ADC，∴DC=AC，∴DC=AB

3．（2013年沈阳第24题，12分）定义：

我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：

如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：

如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

应用：

如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

（1）求证：

△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

探究：

在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的

，请直接写出△ABC的面积．

3.

（1）证明：

∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠EAO=∠BFO又∵∠AOE=∠FOB，AE=BF∴△AOE≌△FOB∴EO=BO∴△AOE与△AOB是“友好三角形”

（2）∵△AOE与△DOE是“友好三角形”∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=

AD=3∵△AOB与△AOE是“友好三角形”∴S△AOB=S△AOE∵△AOE≌△FOB∴S△AOE=S△FOB∴S△AOD=S△ABF∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2×

×4×3=12探究：

2或2

★专项训练

1．（2014•江苏淮安，第17题3分）如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为　　．

2.（2013上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．

3.（2014•湘西州，第14题4分）已知等腰△ABC的两边长分别为2和3，则等腰△ABC的周长为（　　）

　A．7B．8C．6或8D．7或8

4.（2014•福建厦门，第6题3分）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则∠ACB等于（　　）

　A．∠EDBB．∠BEDC．

∠AFBD．2∠ABF

5.（2014•湘西州，第9题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（　　）

　A．

B．

C．1D．2

1.130°【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．

2.30°3.D【解析】当2为底时，三角形的三边为3，2、3可以构成三角形，周长为8；当3为底时，三角形的三边为3，2、2可以构成三角形，周长为7．

4.C【解析】在△ABC和△DEB中，

，∴△ABC≌△DEB（SSS），∴∠ACB=∠DEB．∵∠AFB是△BCF的外角，∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，∠ACB=

∠AFB

5.C【解析】∵∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠B=45°，∵CD⊥AB，∴AD=BD=AB=1，CDB=90°，

∴CD=BD=1．

10.（2014•福建漳州，第20题8分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：

（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）

（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是　　度和　　度；

（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

（3）继续按以上操作发现：

在△ABC中画n条线段，则图中有　　个等腰三角形，其中有　　个黄金等腰三角形．

10.解：

（1）如图1所示：

∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：

108，36；

（2）如图2所示：

（3）如图3所示：

当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…

∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．

故答案为：

2n，n．

12.（2014•齐齐哈尔，26题8分）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：

BD=DP．（无需写证明过程）

（1）在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？

如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？

请直接写出你的结论，无需证明．

12.

（1）答：

BD=DP成立．证明：

如答图2，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

∵∠1+∠ADB=90°，∠ADB+∠2=90°，∴∠1=∠2．在△BDF与△PDA中，

∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．

（2）答：

BD=DP．证明：

如答图3，过点D作DF⊥MN，交AB的延长线于点F，则△ADF为等腰直角三角形，∴DA=DF．

在△BDF与△PDA中，

∴△BDF≌△PDA（ASA）∴BD=DP．

★模拟中考

一、选择题（每题3分，共16分）

1．（2014•湘西州，第10题4分）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（　　）

　A．45°B．60°C．90°D．120°

2．（2014•内蒙古包头，第6题3分）长为9，6，5，4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（　　）

　A．1种B．2种C．3种D．4种

3．（2014•广东深圳，第8题3分）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、角∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（　　）

　A．AC∥DFB．∠A=∠DC．AC=DFD．∠ACB=∠F

1.C2.C【解析】根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4．3.C

12．（2014•辽宁大连,第19题，9分）如图：

点A、B、C、D在一条直线上，AB=CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：

AE=BF．

12．证明：

∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD，∵CE∥DF，∴∠D=∠ACE，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，在△ACE和△BDF中，

，∴△ACE≌△BDF（ASA），∴AE=BF．

13．（2014•福建漳州，第19题8分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）

13．答案不唯一，如AC=DE．证明：

∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF．

14．（2014•铜仁，第21题10分）如图所示，已知∠1=∠2，请你添加一个条件，证明：

AB=AC．

（1）你添加的条件是　　；

（2）请写出证明过程．

14．解：

（1）添加的条件是∠B=∠C，

（2）证明：

在△ABD和△ACD中

，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴AB=AC．

15．（2014•内蒙古赤峰，第19题10，分）如图，已知△ABC中AB=AC．

（1）作图：

在AC上有一点D，延长BD，并在BD的延长线上取点E，使AE=AB，连AE，作∠EAC的平分线AF，AF交DE于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在

（1）的条件下，连接CF，求证：

∠E=∠ACF．

15．

（1）解：

如图所示【解析】以A为圆心，以AB长为半径画弧，与BD的延长线的交点即为点E，再以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AC、AE相交，然后以这两点为圆心，以大于它们

长度为半径画弧，两弧相交于一点，过点A与这一点作出射线与BE的交点即为所求的点F

（2）证明：

∵AB=AC，AE=AB，∴AE=AC，∵AF是∠EAC的平分线，∴∠EAF=∠CAF，在△AEF和△ACF中，

，∴△AEF≌△ACF（SAS），∴∠E=∠ACF．