初升高数学衔接教程第19讲预习篇函数全章复习适合优生.docx

初升高数学衔接教程第19讲预习篇函数全章复习适合优生.docx

《初升高数学衔接教程第19讲预习篇函数全章复习适合优生.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初升高数学衔接教程第19讲预习篇函数全章复习适合优生.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初升高数学衔接教程第19讲预习篇函数全章复习适合优生

函数全章复习

【学习目标】

1．会用集合与对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.

2．能正确认识和使用函数的三种表示法：

解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；

3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；

4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；

5．理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系；

6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质.

【知识网络】

【要点梳理】

关于函数的概念

1．两个函数相等的条件

用集合与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要素——定义域、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，这两个函数相等．

2．函数的常用表示方法

函数的常用表示方法有：

图象法、列表法、解析法．注意领会在实际情境中根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．

3．映射

设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原象），在集合B中都有唯一确定的元素（象）与之对应，那么就称对应f：

A→B为从集合A到集合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．

4．函数的定义域

函数的定义域是自变量的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受到实际意义的制约．其题型主要有以下几种类型：

（1）已知得函数表达式，求定义域；

（2）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；

（3）已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围．

5．函数的值域

由函数的定义知，自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域．

函数值域的求法：

（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；

（2）形如的函数，可用换元法．即设，转化成二次函数再求值域（注意）；

（3）形如的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这种函数的值域为；

（4）形如（中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．

6．函数的解析式

函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．

求函数解析式的主要方法：

已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数的表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已知抽象函数表达式，则常用解方程组、消参的方法求出．

函数的单调性

（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是增函数．

（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有，那么就说函数在区间D上是减函数．

（3）若函数在某个区间上总是递增（或递减）的，则该区间是函数的一个单调增（或减）区间．若函数在整个定义域上总是递增（或递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．

与函数单调性有关的问题主要有：

由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；通过图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大小、判断某些超越方程根的个数等．

函数的奇偶性

（1）若一个函数具有奇偶性，则它的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

（2）若奇函数的定义域内有零，则由奇函数定义知，即，所以．

（3）奇、偶性图象的特点

如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数．

图象的作法与平移

（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；

（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；

（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．

一次函数和二次函数

1．一次函数

，其中．

2．二次函数

二次函数，通过配方可以得到决定了二次函数图象的开口大小及方向．顶点坐标为，对称轴方程为．

对于二次函数．

当时，的图象开口向上；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递减的，在上是单调递增的；当时，函数取得最小值．

当时，的图象开口向下；顶点坐标为；对称轴为；在上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值．

函数的应用举例（实际问题的解法）

（1）审题：

弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；

（2）建模：

将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；

（3）求模：

求解数学模型，得到数学结论；

（4）还原：

将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．

求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

函数与方程

（1）对于函数，我们把使得实数叫做函数的零点．

（2）确定函数的零点，就是求方程的实数根．

（3）一般地，如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线，并且，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根．

（4）一般地，对于不能用公式法求根的方法来说，我们可以将它与函数联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．

判断函数在某区间有零点的依据：

对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程与函数联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程的根．

对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：

其一，函数的图象在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0．

（5）在实数范围内，二次函数的零点与二次方程的根之间有密切关系．

①，方程有两个实根，其对应二次函数有两个零点；

②，方程有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；

③，方程无根，其对应二次函数无零点．

【典型例题】

类型一：

映射

例1．设集合，f是A到B的映射，并满足．

（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；

（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；

（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．

举一反三：

【变式1】已知a，b为两个不相等的实数，集合，，表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（）

A．1B．2C．3D．4

类型二：

函数的概念及性质

例1．设定义在R上的函数y=f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于，且，则有（）

A．B．

C．D．

举一反三：

【变式1】下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（　　）

A．B．C．D．

【变式2】定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）

A．B．

C．D．

例2．设偶函数满足，则（）

A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}

C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}

例3．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为（）

A．－2B．－4C．－8D．不能确定

举一反三：

【变式1】若函数的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）

A．[0，1]B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4]D．（0，1）

例4．已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为（）

A．B．C．D．

举一反三：

【变式1】函数（x∈R）的值域是________．

例5．设函数．

（1）画出函数的图象；

（2）若不等式的解集非空，求a的取值范围．

举一反三：

【变式1】直线y=1与曲线y=x2－|x|+a有四个交点，则a的取值范围是________．

类型三：

函数的零点问题

例1．若函数在区间（－2，2）上的图象是连续的，且方程在（－2，2）上仅有一个实根0，则的值（）

A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定

举一反三：

【变式1】二次函数中，若ac＜0，则函数的零点个数是个．

【变式2】若函数有一个零点是2，那么函数的零点是．

类型四：

函数性质的综合应用

例1.已知函数（x≠0，常数a∈R）．

（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若函数在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

举一反三：

【变式1】已知函数，且f

（1）=1．

（1）求实数k的值及函数的定义域；

（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

类型五：

函数的实际应用

例1．某社区有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

（Ⅰ）设在甲家租一张球台开展活动小时的收费为元，在乙家租一张球台开展活动小时的收费为元．试求和．

（Ⅱ）问：

小张选择哪家比较合算？

为什么？

举一反三：

【变式1】某公司每年需购买某种元件8000个用于组装生产，每年分n次等量进货，每进一次货（不分进货量大小）费用500元，为了持续生产，需有每次进货的一半库存备用，每件每年库存费2元，问分几次进货可使得每年购买和贮存总费用最低？

课后作业

1.定义在R上的函数对任意两个不等实数总有成立，则必有（）。

A.函数是先增后减B.函数是先减后增

C.函数在R上是增函数D.函数在R上是减函数

2.（2014安徽郎溪返校考）方程的解的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

3.当时，函数的值域为（）。

A.B.C.D.

4.函数的定义域为（）

A.B.Ｃ.　　　Ｄ.

5.设集合，则从A到B的对应法则是映射的是（）

A.B.C.D.

6.设为常数，函数．若为偶函数，则等于（）

A.-2B.2C.-1D.1

7.若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（）

A.B.

C.D.

8.设函数若，则的取值范围是（）

A.B.

C.D.

9.若函数的零点是2和，则，.

10.若为奇函数,则实数______.

11．设，则f{f[f（﹣1）]}=．

12．若函数是偶函数，则的递减区间是．

13.已知函数f（x）=-x2+2ax-a2+1

（1）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围；

（2）当x[-1，1]时，求函数f（x）的最大值g（a），并画出最大值函数y=g（a）的图象．

14．已知函数.

①当时，求函数的最大值和最小值；

②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．

15．“依法纳税是每个公民应尽的义务”．2008年3月1日开始实施新的个人所得税方案，国家征收个人所得税是分段计算，总收入不超过2000元，免征个人工资薪金所得税；超过2000元部分征税，设全月纳税所得额为x，x＝全月总收入－2000元，税率见下表：

级数

全月应纳税所得额x

税率

1