数学模型解决储蓄所服务员雇佣优化问题.docx
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数学模型解决储蓄所服务员雇佣优化问题
重庆科技学院
数学模型设计（论文）
题目储蓄所服务员雇佣优化问题
院（系）
专业班级
学生姓名学号
指导教师
2013年1月4日
用数学模型解决储蓄所服务员雇佣优化问题
时间段（时）
9-10
10-11
11-12
12-1
1-2
2-3
3-4
4-5
服务员数量
4
3
4
6
5
6
8
8
【摘要】目前，众多经营机构都想取得经营的最优化，也就是是取得利益最大化，储蓄所服务员雇佣优化问题主要是如何在经营管理中科学选择全时、半时服务员的数量从而使自己的经营成本达到最低。
就第一问而言，我们对同时雇佣全时和半时两类服务员时工作时间段和服务员数量数据进行分析。
在第二问中，半时服务员数量为零，通过第一问的分析基础，计算此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最大。
我们认为如果条件允许下储蓄所应该多雇佣半时服务员。
在第三问中，半时服务员数量没有限制，我们通过计算发现在这种情况下储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最低。
关键字：
雇佣总费用最低功能函数
一．问题的提出
某储蓄所每天的营业时间是上午9：
00到下午5：
00.根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下：
储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9：
00到下午5：
00工作，但中午12：
00到下午2：
00之间必须安排一小时的午餐时间。
储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元。
（1）问该储蓄所应该如何雇佣全时和半时两类服务员?
（2）如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用？
（3）如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
二．问题分析
第一问：
因为全时工数越少，越省钱，半时工数量受限制，所以我们可以看出，因为下午最后两小时要求人数最多，所以这时要用半时工，还有中午的时候，由于全时工要休息一小时，并且12-1点要6人大于1-2点所需人数。
所以可以认为部分半时工从12点开始工作。
第二问：
不用半时工时，全时工要满足中午两个小时人数够，而且下午最后一小时人数够。
第三问:
半时工人数不限制，则全部雇佣半时工最省钱。
三．模型假设
1.假设储蓄所可以随时雇佣足够的服务员，不会出现供不应求的情况；
2.假设所有被雇佣的服务人员没有迟到、早退及旷班现象。
3.假设所有半时服务员每天都从整点开始连续工作4小时。
4.假设每天各时间段所需服务员数量不变。
5.假设所有的服务员都积极配合，服从调配。
四．符号说明
A：
表示全时服务员的上班人数
a1：
表示在12：
00am-1:
00pm全时服务员还上班人数
a2：
表示在1：
00pm-2:
00pm全时服务员还上班人数
b1：
表示在9：
00am-1:
00pm半时服务员的上班人数
b2：
表示在10：
00am-2:
00pm半时服务员的上班人数
b3：
表示在11：
00am-3:
00pm半时服务员的上班人数
b4:
：
表示在12：
00am-4:
00pm半时服务员的上班人数
b5：
表示在1：
00pm-5:
00pm半时服务员的上班人数
c：
功能函数（表示储蓄所雇佣服务员的总费用）
五．模型分析
设A是全时服务员数量，设b1~b5分别是从9：
00am-5:
00pm每隔四小时半时服务员数量，故c=min{100*A+40（b1+b2+b3+b4+b5）},c为储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函数。
功能函数计算公式:
1.在全时和半时服务员同时雇佣的情况：
雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：
c=100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）;
b1+b2+b3+b4+b5<=3;
A+b1>=4;
A+b1+b2>=3;
A+b1+b2+b3>=4;
a1+b1+b2+b3+b4>=6;
a2+b2+b3+b4+b5>=5;
a1+a2=A;
A+b3+b4+b5>=6;
A+b4+b5>=8;
A+b5>=8;
A，b1，b2，b3，b4，b5大于零且都为整数.
2.不能雇佣半时服务员时的情况：
雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：
c=100*A;
A>=4;
A>=3;
A>=4;
a1>=6;
a2>=5;
a1+a2=A;
A>=8;
3.半时服务员数量没有限制时的情况：
雇用总费用，全时服务员数量与半时服务员数量满足下列函数关系：
c=100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）;
A+b1>=4;
A+b1+b2>=3;
A+b1+b2+b3>=4;
a1+b1+b2+b3+b4>=6;
a2+b2+b3+b4+b5>=5;
a1+a2=A;
A+b3+b4+b5>=6;
A+b4+b5>=8;
A+b5>=8;
六、模型建立与求解
储蓄所服务员雇佣优化模型
1.模型
设A是全时服务员数量，设b1~b5分别是从9：
00am-5:
00pm每隔四小时半时服务员数量,c为储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函数。
（1）全时和半时服务员同时雇佣模型c=min{100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）}；
（2）不能雇佣半时服务员模型c=min{100*A}；
（3）半时服务员数量没有限制模型c=min{100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）}；
c表示储蓄所雇佣服务员的每天总费用的功能函数。
2.计算求解
（1）对问题所给之对数据，在全时和半时服务员同时雇佣的情况下计算显示如下：
Optimalsolutionfoundatstep:
10
Objectivevalue:
820.0000
Branchcount:
2
VariableValueReducedCost
A7.0000000.0000000
B10.000000040.00000
B20.000000040.00000
B30.000000040.00000
B42.00000040.00000
B51.00000040.00000
A15.000000100.0000
A22.000000100.0000
RowSlackorSurplusDualPrice
1820.00001.000000
20.00000000.0000000
33.0000000.0000000
44.0000000.0000000
53.0000000.0000000
61.0000000.0000000
70.00000000.0000000
80.0000000100.0000
94.0000000.0000000
102.0000000.0000000
110.00000000.0000000
结果说明：
在全时服务员数量A=7,半时服务员总数为3（b1+b2+b3+b4+B5=3）时，储蓄所雇佣服务员的每天总费用c最少为820元。
结果评价：
此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用c还比较高，在条件允许的情况下应该多雇佣半时服务员。
（2）对问题所给之对数据，在不能雇佣半时服务员时的情况计算显示如下：
Optimalsolutionfoundatstep:
0
Objectivevalue:
1100.000
Branchcount:
0
VariableValueReducedCost
A11.000000.0000000
A16.000000100.0000
A25.000000100.0000
RowSlackorSurplusDualPrice
11100.0001.000000
27.0000000.0000000
38.0000000.0000000
47.0000000.0000000
50.00000000.0000000
60.00000000.0000000
70.0000000100.0000
83.0000000.0000000
结果说明：
不能雇佣半时服务员时，全时服务员A=11,此时储蓄所雇佣服务员的每天总费用c最少为1100元。
结果评价：
储蓄所雇佣服务员的每天总费用偏高，较第一种情况每天至少增加280元。
（3）对问题所给之对数据，在半时服务员数量没有限制时的情况显示如下：
Optimalsolutionfoundatstep:
8
Objectivevalue:
560.0000
Branchcount:
0
VariableValueReducedCost
A0.0000000100.0000
B14.00000040.00000
B20.000000040.00000
B30.000000040.00000
B42.00000040.00000
B58.00000040.00000
A10.00000000.0000000
A20.00000000.0000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1560.00001.000000
20.00000000.0000000
31.0000000.0000000
40.00000000.0000000
50.00000000.0000000
65.0000000.0000000
70.00000000.0000000
84.0000000.0000000
92.0000000.0000000
100.00000000.0000000
结果说明：
半时服务员数量没有限制时，半时服务员总数为14，全时服务员A=0,此时储蓄所雇佣服务员的总费用c最少为560元，较第一种情况储蓄所总费用每天减少260元，较第二种情况储蓄所总费用每天减少540元
结果评价：
在这三种方法中，储蓄所雇佣服务员的每天总费用达到最低。
七．模型的优缺点
1.模型的优点
（1）通过处理数据，巧妙地应用了优化模型，对A与b1，b2，b3，b4，b5的变化过程行实时跟踪处理和合理解释。
（2）运用功能强大、对非线性问题很好LINGO优化软件处理数据，快捷高效，所得结果较为可靠。
（3）根据题目信息将半时服务员分为五种，不仅简化了求解过程，而且使问题考虑的更加全面。
2.模型的缺点
（1）求解雇佣总费用是一个优化过程，并不能在图表直观描述每天服务员数量的变化趋势。
（2）雇佣总费用以天为单位，数据量不够，误差可能比较大。
（3）我们只考虑一天不同时间段所需服务员数量，而没有考虑较长时间内服务员数量。
八．参考文献
[1].姜启源、谢金星、叶俊.，数学模型，.高等教育出版社
[2].魏巍，MATLAB应用数学工具箱技术手册，国防工业出版社
九．附表
1.全时和半时服务员同时雇佣时LINGO代码：
model:
min=100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）;
b1+b2+b3+b4+b5<=3;
A+b1>=4;
A+b1+b2>=3;
A+b1+b2+b3>=4;
a1+b1+b2+b3+b4>=6;
a2+b2+b3+b4+b5>=5;
a1+a2=A;
A+b3+b4+b5>=6;
A+b4+b5>=8;
A+b5>=8;
@gin（a1）;@gin（a2）;
@gin（b1）;@gin（b2）;@gin（b3）;@gin（b4）;
@gin（b5）;
end
2.不能雇佣半时服务员时LINGO代码：
model:
min=100*A;
A>=4;
A>=3;
A>=4;
a1>=6;
a2>=5;
a1+a2=A;
A>=8;
@gin（a1）;@gin（a2）;
end
3.半时服务员数量没有限制时LINGO代码：
model:
min=100*A+40*（b1+b2+b3+b4+b5）;
b1+b2+b3+b4+b5<=3;
A+b1>=4;
A+b1+b2>=3;
A+b1+b2+b3>=4;
a1+b1+b2+b3+b4>=6;
a2+b2+b3+b4+b5>=5;
a1+a2=A;
A+b3+b4+b5>=6;
A+b4+b5>=8;
A+b5>=8;
@gin（a1）;@gin（a2）;
@gin（b1）;@gin（b2）;@gin（b3）;@gin（b4）;
@gin（b5）;
end
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