运筹学期末试题.docx
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运筹学期末试题
《运筹学》试题样卷
(一)
题号
-一-
-二二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
、判断题(共计10分,每小题1分,对的打",错的打X)
1.无孤立点的图一定是连通图。
2.对于线性规划的原问题和其对偶问题,若其中一个有最优解,
另一个也一定有最优解。
3.如果一个线性规划问题有可行解,那么它必有最优解。
4•对偶问题的对偶问题一定是原问题。
0
5•用单纯形法求解标准形式(求最小值)的线性规划问题时,与j对应的变量
都可以被选作换入变量。
6•若线性规划的原问题有无穷多个最优解时,其对偶问题也有无穷
多个最优解。
7.度为0的点称为悬挂点。
8.表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。
9.一个图G是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
10.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
、建立下面问题的线性规划模型(8分)
某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500
人日;春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工,春秋季收入为25元/人
日,秋冬季收入为20元/人日。
该农场种植三种作物:
大豆、玉米、小麦,并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资,而饲养每头奶牛需投资800元,每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料,并占用人工秋冬季为100人日,春夏季为50
人日,年净收入900元/每头奶牛。
养鸡时不占用土地,需人工为每只鸡秋冬季0.6
人日,春夏季为0.3人日,年净收入2元/每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500只
鸡,牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示:
大豆
玉米
麦子
秋冬季需人日数
20
35
10
春夏季需人日数
50
75
40
年净收入(元/公顷)
3000
4100
4600
试决定该农场的经营方案,使年净收入为最大。
三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表,表中松弛变量,问题的约束为形式(共8分)
X!
X2
X3
X4
X5
X3
5/2
0
1/2
1
1/2
0
X1
5/2
1
—1/2
0
—1/6
1/3
CjZj
0
-4
0
—4
—2
X4,X5为
(1)写出原线性规划问题;(4分)
(2)写出原问题的对偶问题;(3分)
(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。
(1分)
四、用单纯形法解下列线性规划问题(16分)
maxZ2xx2x3
S.t.3X1+X2+X360
x1-X2+2X310
X1+X2-x320
x1,x2,x30
五、求解下面运输问题。
(18分)
某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4,各产地的产量、各
销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示:
问:
应如何调运,可使得总运输费最小?
销地
产地
B
B2
B3
B4
产量
A
10
5
6
7
25
A2
8
2
7
6
25
A3
9
3
4
8
50
销量
15
20
30
35
100
六、灵敏度分析(共8分)
线性规划maxz=10X1+6x2+4x3
S.t.X1+X2+X3100
10x1+4X2+5X3600
2x1+2X2+6X3300
X1,X2,X30
的最优单纯形表如下:
6
X2
200/3
0
5/6
1
5/3
-1/6
0
10
X1
100/3
1
1/6
0
-2/3
1/6
0
0
X6
100
0
4
0
-2
0
1
j
0
-/3
0
-10/3
-2/3
0
(1)C1在何范围内变化,最优计划不变?
(4分)
(2)bi在什么范围内变化,最优基不变?
(4分)
七、试建立一个动态规划模型。
(共8分)
某工厂购进100台机器,准备生产pl,p2两种产品。
若生产产品pl,每台机器每年可收入45万元,损坏率为65%;若生产产品p2,每台机器每年可收入35万元,损坏率为
35%;估计三年后将有新的机器出现,旧的机器将全部淘汰。
试问每年应如何安排生产,
使在三年内收入最多?
八、求解对策问题。
(共10分)
某种子商店希望订购一批种子。
据已往经验,种子的销售量可能为500,1000,1500或2000
公斤。
假定每公斤种子的订购价为6元,销售价为9元,剩余种子的处理价为每公斤3元。
要求:
(1)建立损益矩阵;(3分)
(2)用悲观法决定该商店应订购的种子数。
(2分)
(3)建立后悔矩阵,并用后悔值法决定商店应订购的种子数。
(5分)
(8分)
工序代号
工序时间
最早开工时间
最早完工时间
最晚开工时间
最晚完工时间
机动时间
1-2
8
1-3
7
1-4
6
2-4
3
2-5
5
3-4
2
3-6
3
4-5
3
4-6
7
4-7
4
5-7
9
6-7
8
十、用标号法求Vi到V6的最短路。
(6分)
V
^1
V
《运筹学》试题样卷
(二)
题号
-一-
-二二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
一、判断题(对的打V,错的打X.共计10分,答在下面的表格中)
1、单纯形法计算中,选取最大正检验数k对应的变量xk作为换入变量,可使目标函数值得到最快的减少。
2、单纯形法计算中,如不按最小非负比值原则选出换出变量,则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
3、对于一个动态规划问题,应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
4、应用对偶单纯形法计算时,若单纯形表中某一基变量Xi°,且人所在行的所有元素都大于或等于零,则其对偶问题具有无界解。
5、用位势法计算检验数时,每一行(或列)的位势的值是唯一的,所以每一个空格的检验数是唯一的。
6、动态规划的最短路问题也可以用图论中求最短路问题的方法求解。
7、图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系,它与图的几何形状无关。
8、动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
9、在画网络计划图时,允许有多个起点和多个终点。
10、因为运输问题是一种特殊的线性规划模型,因而求其解也可能出现下列四种情况:
有唯一最优解;有无穷多个最优解;无界解;无可行解。
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
10
二、试建立此问题的数学模型。
(8分)
某工厂I、□、川三种产品在下一年个季度的合同预定数如下表所示,该三种产品第一季
度初无库存,要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。
已知该厂每季度生产工时为
15000小时,生产产品I、n、川每件需3,4,3小时。
因更换工艺装备,产品I在第二季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品i、n每件每迟交一个季度赔偿20元,产
品川赔偿15元,又生产出来的产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费为5元。
问应
如何安排生产,使总的赔偿加库存费用最小。
含口产口仃
季度
1
2
3
4
I
1500
1000
2000
1200
n
1500
1500
1200
1500
出
1500
2000
1500
2500
三、用单纯形法求解线性规划问题(16分)
MaxZ=1500xi+2500x2
s.t.3xi+2x265
2xi+x240
3X275
xi,x20
四、写出下面线性规划的对偶问题(8分)
minz
x1x22x3
2x1
x2
2x3
7
2x1
3x2
X3
5
3x1
5x2
4X3
3
x1,x20,x3无约束;
五、求解下面运输问题。
(18分)
某公司从三个产地A1、A2、A3将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4,各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示
销地
产地
B1
b2
B3
B4
产量
A
3
11
3
10
7
A2
1
9
2
8
4
A3
7
4
10
5
9
销量
3
6
5
6
20
问:
应如何调运,可使得总运输费最小
六、灵敏度分析(8分)
线性规划maxz4xlx25x3
6x13x2
3x14x2
5x345
5x330
为,X2,X3
0
的最终单纯形表如下:
Cj
4
1
5
0
0
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
4
X1
5
1
—1/3
0
1/3
—1/3
5
x3
3
0
1
1
—1/5
2/5
j
0
—8/3
0
—1/3
—2/3
(1)Xl的系数Ci在什么范围变化,上述最优解不变?
(4分)
(2)b2在什么范围变化,最优基不变?
(4分)
七、建动态规划模型。
(8分)
某公司拥有资金10万元,若投资于项目i(i=1,2,3)的投资额为xi时,其收益分别为g1(x1)=4x1,g2(x2)=9x2,g3(x3)=2x32,问应如何分配投资数额才能使总收益最大?
八、解决对策问题。
(10分)
根据已往的资料,一家超级商场每天所需面包数(当天市场需求量)可能是下列当中的某
一个:
100,150,200,250,300,但其概率分布不知道。
如果一个面包当天卖不掉,则可
在当天结束时每个0.5元处理掉。
新鲜面包每个售价1.2元,进价0.9元,假设进货量限制
在需求量中的某一个,要求
(1)建立面包进货问题的损益矩阵;(3分)
(2)用乐观法确定进货量。
(2分)
(3)建立后悔矩阵,并用后悔值法确定进货量。
(5分)
九、用双标号法求下列图中Vl到V9的最短路线及其长度。
(6分)
十、下图是商业中心建设项目的网络计划图,请用标号法计算出表中的各个参数,最后指
工序时间
开工时间
完工时间
机动时间
最早
最晚
最早
最晚
A(20)
B(10)
C(8)
D(24)
E(8)
X4,X5分别表示奶牛和鸡的
答案
判断题。
共计10分,每小题1分
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
10
X
X
V
V
X
V
X
V
maxZ3000x14100x24600x3900x420x520x625x7
X1
X2X3
1.5x4
100
(土地限制)
400x43x5
15000
(资金限制)
20x1
35x2
10x3100x4
0.6%
x63500
(劳动力限制)
50x1
175x2
40x350x4
0.3%
x74000
(劳动力限制)
X4
200
(牛栏限制)
X5
1500
(鸡舍限制)
Xj
0(j
1,2,,7)
三、对偶问题。
共计
-8分
解:
(1)原线性规划问题:
maxz6x1
2x210x3
x22x25
3x1
x2x310
则有
二、建线性规划模型。
共计8分(酌情扣分)
解:
用Xi,X2,X3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数;饲养数;X6,X7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力(人日)数,
Xi,X2
4分
(2)原问题的对偶规划问题为:
minw5y110y2
3y26
yiy22
2yiy210
yi,y20;……3分
(3)对偶规划问题的最优解为:
Y(4,2)T。
……1分
四、单纯形表求解线性规划。
共计16分
解:
引入松弛变量X4、X5、X6,标准化得,
maxZ2x1x2x3
s.t.3X1+X2+X3+X4=60
X1-X2+2X3+X5=10
X1+X2-X3+X6=0
X1,X2,X3,X4、X5、X6,>03分
建初始单纯形表,进行迭代运算:
9分
Cb
Xb
b'
2
-1
1
0
0
0
0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0
X4
60
3
1
1
1
0
0
20
0
X5
10
[1]
-1
2
0
1
0
10*
0
X6
20
1
1
-1
0
0
1
20
1
0
2*
-1
1
0
0
0
0
X4
30
0
4
-5
1
-3
0
7.5
2
X1
10
1
-1
2
0
1
0
—
0
X6
10
0
[2]
-3
0
-1
1
5*
2
20
0
1*
-3
0
-2
0
0
X4
10
0
0
1
1
-1
-2
2
X1
15
1
0
0.5
0
0.5
0.5
-1
X2
5
0
1
-1.5
0
-0.5
0.5
3
25
0
0
-1.5
0
-1.5
-0.5
由最优单纯形表可知,原线性规划的最优解为:
(15,5,0)T•…分
最优值为:
z*=25。
2分
五、求解运输问题。
共计18分
解:
(1)最小兀素法:
(也可以用其他方法,酌情给分)
设Xij为由Ai运往Bj的运量(i=1,2,3;j=1,2,3,4)
列表如下:
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
1
25
25
2
20
5
25
3
15
30
5
50
销量
15
20
30
35
100
3分
所以,基本的初始可行解为:
X14=25;X22=20;X24=5;
X31=15;X33=30;X34=5
其余的Xij=o。
3分
(2)求最优调运方案:
1会求检验数,检验解的最优性:
1仁2;12=2;13=3;
21=1;23=5;32=-13分
2会求调整量进行调整:
=52分
销地产地
B1
B2
B3
B4
产量
1
25
25
2
15
10
25
3
15
5
30
50
销量
15
20
30
35
100
…3分
3再次检验2分
4能够写出正确结论
解为:
X14=25;X22=15;X24=10X31=15,X32=5X33=30
其余的Xij=0。
1分
最少运费为:
5351分。
六、灵敏度分析。
共计8分
(1)(4分)
(2)(4分)
200/3「.100/3100
max,b.min,-
5/32/32
40b10
七、建动态规划模型。
共计8分
解:
(1)设阶段变量k表示年度,因此,阶段总数n=3。
⑵状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数,同时也是第k-1年度末时的完
好机床数量。
(3)决策变量uk,表示第k年度中分配于生产产品p1的机器台数。
于是sk-uk便为该
年度中分配于生产产品p1的机器台数.
(4)状态转移方程为
Sk10.35uk0.65(s(5)允许决策集合,在第k段为Uk(sk){uk0uksk}
(6)目标函数。
设gk(sk,uk)为第k年度的产量,则
gk(sk,uk)=45uk+35(sk-uk),
因此,目标函数为
Rkgk(sk,Uk)
ik
(7)条件最优目标函数递推方程。
fk(Sk)mqx(Uk(Sk))
UkUk
令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发,采取最优分配方案到第3年度结束这段时间
的产品产量,根据最优化
原理有以下递推关系:
{[45Uk35(skUk)]fk1[0.35Uk0.65$Uk)]}
(8).边界条件为
f31(s31)0
八、解决对策问题。
共10分
(1)益损矩阵如下表所示:
……3分
销售
S1
S2
S3
S4
订购
500
1000
1500
2000
A1500
1500
1500
1500
1500
A21000
0
3000
3000
3000
A31500
—1500
1500
4500
4500
A42000
—3000
0
3000
6000
(2)悲观法:
A1,订购500公斤。
……2分
(3)后悔矩阵如下表所示:
3分
S1
S2
S3
S4
最大后悔值
A1
0
1500
3000
4500
4500
A2
1500
0
1500
3000
3000
A3
3000
1500
0
1500
3000
A4
4500
3000
1500
0
4500
工序代号
工序时间
最早开工时间
最早完工时间
最晚开工时间
最晚完工时间
机动时间
1-2
8
0
8
0
8
0
1-3
7
0
7
2
9
2
1-4
6
0
6
5
11
6
2-4
3
8
11
8
11
0
2-5
5
8
13
9
14
1
3-4
2
7
9
9
11
2
3-6
3
7
10
15
18
8
4-5
3
11
14
11
14
0
4-6
7
11
18
11
18
0
4-7
4
11
15
22
26
11
5-7
9
14
23
17
26
3
6-7
8
18
26
18
26
0
关键问题是:
①T②;2T④;④T⑤;④T6;6T⑦
评分标准:
①能正确给各顶点标号并填表4分
2正确写出关键问题2分
3正确画出关键线路2分
十、用标号法求V1到V6的最短路。
(6分)
正确标号:
4分;正确写出结论:
2分
运筹学样卷
(二)答案
判断题。
(共计10分,每小题1分)
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
10
X
X
X
X
V
X
X
X
二、建线性规划模型。
(8分)(酌情给分)
解:
设Xij为第i个季度生产的产品j的数量;sj为第i个季度末需库存的产品j的数量;tij为第i个季度不能交货的产品j的数量;%j为第i个季度对产品j的预定数量,则有:
433
minZ20(ti1ti2)15ti35sij
i1i1j
XiiXi2Xi315000(i1,2,3,4)
X?
10
44
Xijyij150(j1,2,3)
i1i1
ii
XkjtijSijykj(i1,2,3,4;j1,2,3)
k1k1
xij,sij,tij0
三、求解线性规划。
(16分)
解:
引入松弛变量x3,x4,x5,标准化得,
MaxZ=1500X1+2500X2
s.t.3x1+2x2+x3=65
2x1+x2+x4=40
3x2+x5=75
x1,x2>03分
建初始单纯形表,进行迭代运算:
9分
Cb
Xb
b'
1500
2500
1
0
0
0
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
65
3
2
1
0
0
32.5
0
X4
40
2
1
0
1
0
40
0
X5
75
0
[3]
0
0
1
2.5*
1
0
1500
2500*
0
0
0
0
X3
15
[3]
0
1
0
-2/3
5*
0
X4
15
2
0
0
1
-1/3
7.5
2500
X2
25
0
1
0
0
1/3
—
2
62500
1500*
0
0
0
-2500/3
1500
X1
5
1
0
1/3
0
-2/9
0
X4
5
0
0
-2/3
1
1/9
2500
X2
25
0
1
0
0
1/3
3
70000
0
0
-500
0
-500
由最优单纯形表可知原线性规划的最优解为:
(5,25,0,5,0)T...2分
最优值为:
z*=70000。
2分
四、解:
原问题的对偶规划问题为:
(共8分)
Maxf=7y计5y2+3y3
2yi2y23y31
yi3