翻折问题折叠问题.docx

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翻折问题折叠问题

翻折问题（折叠问题）

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60分钟

知识点

翻折的特征和要素；

轴对称图形的概念；

判断轴对称图形的方法；

教学目标

1、掌握翻折的特征和要素

2、掌握轴对称图形的概念会判断轴对称图形，并画出对称轴。

教学重点

理解轴对称图形的概念及找出轴对称图形的对称轴。

教学难点

概念的形成过程及对称轴的探究过程。

教学过程

一、复习预习

[轴对称图形]

如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．毛

有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．

二、知识讲解

考点/易错点1

[轴对称]

有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．[图形轴对称的性质]

如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

[轴对称与轴对称图形的区别]

轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．

考点/易错点2

[线段的垂直平分线]

（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．

（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．

考点/易错点3

翻折的特点：

特征

要素

翻折

形状不变

大小不变

对称轴

三、例题精析

【例题1】

【题干】

如图．将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为

（A）15°（B）30°（C）45°（D）60°

【答案】C

【解析】

根据折叠后，轴对称的性质，∠ABE=∠EBD=∠DBF=∠FBC=22.50，∴∠EBF=450。

故选C。

【例题2】

【题干】

如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折

至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：

①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是

A、1B、2C、3D、4

【答案】C

【解析】

①正确：

因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；

②正确：

因为EF=DE=

CD=2，设BG=FG=

，则CG=6﹣

．在直角△ECG中，由勾股定理得

，解得

=3．所以BG=3=6﹣3=GC；

③正确；因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；

④错误：

过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴

，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴

，∴FH=

。

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=

。

故选C。

【例题3】

【题干】

如图所示，将一个正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去一个三角形和一个形如“

”的图形，将纸片展开，得到的图形是

【答案】D

【解析】

根据折叠和轴对称的性质，从折叠的方向和剪去一个三角形的位置看，放开后是位于中间的正方形，故要B，D两项中选择；从剪去的如“

”的图形方向看箭头朝外。

故选D。

【例题4】

【题干】

如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为

【答案】7

【解析】

根据勾股定理求出BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，从而求出△ABE的周长：

∵在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，

∴BC=

。

∵△ADE是△CDE翻折而成，

∴AE=CE，∴AE＋BE=BC=4。

∴△ABE的周长=AB＋BC=3＋4=7。

【例题5】

【题干】

如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC

上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，

则AC＝cm．

【答案】4

【解析】

由矩形性质知，∠B＝90°，又由折叠知∠BAC＝∠EAC。

根据等腰三角形等边对等角的性质，由AE＝CE得∠EAC＝∠ECA。

而根据直角三角形两锐角互余的性质，可以得到∠ECA＝30°。

因此根据30°角直角三角形中，30°角所对直角边是斜边一半的性质有，Rt∆ABC中AC＝2AB＝4。

四、课堂运用

【基础】

1.如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是

A、①②都对B、①②都错C、①对②错D、①错②对

【答案】A。

【分析】∵平行四边形ABCD，∴∠B=∠D=∠AMN，∴MN∥BC。

∵AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM。

故选A。

2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形．若∠CED′＝56°，则∠AED的大小

是．

【答案】62°。

【分析】易得∠DED′的度数，除以2即为所求角的度数：

∵∠CED′＝56°，∴∠DED′＝180°－∠56°＝124°。

又∵∠AED＝∠AED′，∴∠AED＝

∠DED′＝62°。

【巩固】

1.如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠EFC′＝1250，那么∠ABE的度数为

A．150B．200C．250D．300

【答案】B。

【分析】∵ABCD是矩形，∴BE∥C′F，∴∠BEF＝1800－∠EFC′＝1800－1250＝550。

由折叠对称的性质，用ASA可证得△ABE≌△C′BF，∴BE=BF。

∴∠BFE＝∠BEF＝550。

∴∠FEB＝700。

∴∠ABE＝200。

故选B。

2.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为

A.3B.4C.5D.6

【答案】D。

【分析】∵四边形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，

∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，CE=8－3=5，△CEF是直角三角形。

在Rt△CEF中，CF=

。

设AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x＋4）2=x2+82，解得x=6。

故选D。

【拔高】

1.如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为

A、6B、3C、2

D、

【答案】C。

【分析】由已知易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中用三角函数解直角三角形求解．∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=

。

∴∠A=30°，∠CBA=60°。

根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=

∠CBA=30°。

∴CE=BCtan30°=

∴DE=2CE=2

。

故选C。

2.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=6，把△ABC沿直线AD折叠，点C落在C′处，连接BC′，那么BC′的长为．

【答案】3。

【分析】根据题意：

BC=6，D为BC的中点；故BD=DC=3。

由轴对称的性质可得：

∠ADC=∠ADC′=60°，

∴DC=DC′=2，∠BDC′=60°。

故△BDC′为等边三角形，故BC′=3。

课程小结

本节内容作为图形的三种运动中的一种—翻折，具有直观性和可操作性.轴对称和轴对称图形广泛存在于日常生活中。

学习本部分内容，可以使学生充分感受到数学图形的美及其应用价值。

也可以帮助学生从对称的角度重新认识一些特殊图形，建立起轴对称图形的几何概念，为今后研究其他具有对称性质的图形及几何变换奠定基础。

课后作业

【基础】

1.如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是

A、3B、4C、

D、

【答案】C

【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长：

在等腰直角三角形DEH中，DE=2，EH=DH=

=AE，所以AD=AE+DE=

。

故选C。

【巩固】

2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是

A、

B、

C、

D、

【答案】D。

【分析】细观察图形特点，利用对称性与排除法求解：

根据对称性可知，答案A，B都不是轴对称，可以排除；由第三个图可知，两个短边正对着对称轴AB，故排除C。

故选D。

3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则点D到斜边AB的距离是　▲　cm．

【答案】5。

【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等。

因此可得出结论：

∵△BDE是△BDC翻折而成，∠C=90°，∴△BDE≌△BDC。

∴DE⊥AB，DE=CD，

∵DC=5cm，∴DE=5cm。

【拔高】

4.如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长等于cm．

【答案】

。

【分析】由折叠对称的性质，设DF=BE=

，AE=CF=CE=

，则

，解得

。

过点F作FG⊥AB于点G，则FG=4，GE=5－3=2，

∴EF=

。

5、把等腰

沿底边

翻折，得到

，那么四边形

A.是中心对称图形，不是轴对称图形B.是轴对称图形，不是中心对称图形

C.既是中心对称图形，又是轴对称图形D.以上都不正确

【解析】等腰

沿底边

翻折，得到

，那么四边形

是菱形，既是中心对称图形，也是轴对称图形。

【答案】选C。