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平面直角坐标系找规律题型分类汇总解析

平■面直角坐标系找规律题型解析

1、如图，正方形ABCES勺顶点分别为A（1,1）B（1,-1）C（-1,-1）D（-1,1）,y轴上有

点P（0,2）。

作点P关丁点A的对称点p1,作p1关丁点B的对称点p2,作点p2关丁点C

的对称点p3,作p3关丁点D的对称点p4,作点p4关丁点A的对称点p5,作p5关丁点B的

对称点p6…，按如此操作下去，则点p2011的坐标是多少?

解法1:

对称点P1、P2、P3P4每4个点，图形为一个循环周期

设每个周期均由点P1,第1周期点的坐标为：

第2周期点的坐标为：

第3周期点的坐标为：

第n周期点的坐标为：

P2,P3,P4组成。

P1（2,0）,P2（0,-2）

P3（-2,0）,P4（0,2）

2011-4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（一2,0）解法2:

根据题意，P1（2,0）P2（0,-2）P3（-2,0）P4（0,2）

根据p1-pn每四个一循环的规律，可以得出:

P4n（0,2）,P4n+1（2,0）,P4n+2（0,-2）,P4n+3（—2,0）。

2011-4=502…3,所以点P2011的坐标与P3坐标相同，为（一2,0）

总结：

此题是循环问题，关键是找出每几个一循环，及循环的起始点。

此题是每四个点一循环，起始点是p点

2、在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示.

个y

A1宾A5-A6A9A10.

1>Zq£qjKr

—i-if、

OA3A4A7^8A11%2‘X

（1）填写下列各点的坐标：

A4（,）,A8（,）,A10（,）,A12（*

（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；

（3）按此移动规律，若点Am在x轴上，请用含n的代数式表示m（n是正整数）

（4）指出蚂蚁从点A2011到点A2012的移动方向.

（5）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向.（6）指出A106,A201的的坐标及方向。

解法：

（1）由图可知，A4,A12,A8都在x轴上，

•.•小蚂蚁每次移动1个单位，.••OA4=2OA8=4OA12=6

A4（2,0）,A8（4,0）,A12（6,0）;同理可得出：

A10（5,1）

（2）根据

（1）OA4n=4汁2=2n,二点A4n的坐标（2n,0）;

（3）•.•只有下标为4的倍数或比4n小1的数在x轴上，

.,•点A"x轴上，用含n的代数式表示为：

m=4诚m=4n-1;

（4）V2011-4=502•3,

•••从点A2011到点A2012的移动方向与从点A3到A4的方向一致，为向右.

（5）点A100中的n正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100（50,0）和A101（50,1）,所以蚂蚁从点A100到A101的移动方向是从下向上。

（6）方法1:

点A1、A2、A3、A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）

第2周期点的坐标为：

A1（2,1）,A2（3,1）,A3（3,0）,A4（4,0）

第3周期点的坐标为：

A1（4,1）,A2（5,1）,A3（5,0）,A4（6,0）

第n周期点的坐标为:

A1（2n-2,1）,A2（2n-1,1）,A3（2n-1,0）,A4（2n,0）

106-4=26…2,所以点A106坐标与第27周期点A2坐标相同,（2X27-1,1）,即（53,1）方向朝下。

201-4=50・・・1,所以点A201坐标与第51周期点A1坐标相同，（2X51-2,1）,即（100,1）方向朝右。

方法2:

由图示可知，在x轴上的点A的下标为奇数时，箭头朝下，下标为偶数时，箭头朝上。

106=104+2即点A104再移动两个单位后到达点A106,A104的坐标为（52,0）且移动的方向朝上，所以A106的坐标为（53,1）,方向朝下。

同理：

201=200+1，即点A200再移动一个单位后到达点A201,A200的坐标为（100,0）且移动的方向朝上，所以A201的坐标为（100,1）,方向朝右。

3、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0,1）,然

1）T（1,0）],且每秒跳

42、49、2011秒所在点的坐标

后接着按图中箭头所小方向跳动[即（0,0）t（0,1）T（1,动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是多少？

第及方向？

解法1:

到达（1,1）点需要2秒

到达（2,2）点需要2+4秒

到达（3,3）点需要2+4+6秒

到达（n,n）点需要2+4+6+...+2n秒=n（n+1）秒

当横坐标为奇数时，箭头初下，再指向右，当横坐标为偶数时，箭头朝上，再指向左

35=5X6+5,所以第5*6=30秒在（5,5）处，此后要指向下方，再过5秒正好到（5,0）即第35秒在（5,0）处，方向向右。

42=6X7,所以第6X7=42秒在（6,6）处，方向向左

49=6X7+7,所以第6X7=42秒在（6,6）处，再向左移动6秒，向上移动一秒到（0,7）即第49秒在（0,7）处，方向向右

解法2:

根据图形可以找到如下规律，当n为奇数是n2秒处在（0,n）处，且方向指向右；当n为偶数时n2秒处在（n,0）处，且方向指向上。

35=62-1,即点（6,0）倒退一秒到达所得点的坐标为（5,0）,即第35秒处的坐标为

（5,0）方向向右。

用同样的方法可以得到第42、49、2011处的坐标及方向

4、如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平■行.从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示，顶点A55的坐标是（）

解法1:

观察图象，每四个点一圈进行循环，根据点的脚标与坐标寻找规律。

观察图象，点A1、A2、A3A4每4个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（-1,-1）,A2（-1,1）,A3（1,1）,A4（1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（-2,-2）,A2（-2,2）,A3（2,2）,A4（2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（-3,-3）,A2（-3,3）,A3（3,3）,A4（3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（-n,-n）,A2（-n,n）,A3（n,n）,A4（n,-n）

55-4=13…3,.•.A55坐标与第14周期点A3坐标相同，（14,14），在同一象限解法2:

•.•55=4X13+3,二A55与A3在同一象限，即都在第一象限，根据题中图形中的规律可得：

3=4X1-1,A3的坐标为（1,1）,7=4X2-1,A7的坐标为（2,2）,

11=4X3-1,A11的坐标为（3,3）;55=4X14-1,A55（14,14）

5、在平面直角坐标系中，对丁平■面内任一点（门n）,规定以下两种变换：

（1）f（门n）=（m,—n）,如f（2,1）=（2,-1）;

（2）g（门n）=（一m—n）,如g（2,1）=（—2,-1）.

按照以上变换有：

f[g（3,4）]=f（-3,-4）=（-3,4）,那么g[f（-3,2）]等丁（）

解：

..•f（—3,2）=（-3,—2）,g[f（-3,2）]=g（-3,-2）=（3,2）,

6、在平面直角坐标系中，对丁平■面内任一点（a,b）,若规定以下三种变换：

1、f（a,b）=（-a,b）.如：

f（1,3）=（-1,3）;

2、g（a,b）=（b,a）.如：

g（1,3）=（3,1）;

3、h（a,b）=（-a,-b）.如：

h（1,3）=（-1,-3）.

按照以上变换有：

f（g（2,-3））=f（-3,2）=（3,2），那么f（h（5,-3））等丁（）（5,3）

7、一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM勺中点M3i,第二次从M3跳到OM3勺中点M2处，第三次从点M2B到OM2勺中点M1处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点。

的距离为（）

pppal-Jf

OM:

M2MMx

解：

由丁OM=1所有第一次跳动到OM勺中点M3处时，OM3=OM=,同理第二次从M3

点跳动到M2处，即在离原点的2处，同理跳动n次后，即跳到了离原点的2“处

8、如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“t”方向排列，如（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为（）45.

解：

根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等丁x轴上横坐标的平方，

例如：

右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=12,右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22,右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32,右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42,右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，

...452=2025,45是奇数,二第2025个点是（45,0）,第2012个点是（45,13）,

9、（2007?

®宁）如图，在平■面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“t”

方向排列，如（1,0）,（2,0）,（2,1）,（3,2）,（3,1）,（3,0）…根据这个规律探究可得，第88个点的坐标为（）.

解：

由图形可知：

点的横坐标是偶数时，前头朝上，点的横坐标是奇数时，前头朝下。

坐标系中的点有规律的按列排列，第1列有1个点，第2列有2个点，第3列有3个点…第n列有n个点。

...1+2+3+4+…+12=78,二第78个点在第12列上，箭头常上。

88=78+10,从第78个点开始再经过10个点，就是第88个点的坐标在第13列上，坐标为（13,13-10），即第88个点的坐标是（13,3）

10、如图，已知Al（1,0）,A2（1,1）,A3（—1,1）,A4（—1,-1）,A5（2,T）,则点A2007的坐标为（）.

解法1:

观察图象，点A1、A2、A3A4每4个点，图形为一个循环周期设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（1,0）,

A2（1,1）

A3（-1,1）

A4（-1,-1）

第2周期点的坐标为：

A1（2,-1）,

A2（2,2）

A3（-2,2）

A4（-2,-2）

第3周期点的坐标为：

A1（3,-2）,

A2（3,3）

A3（-3,3）

A4（-3,-3）

第n周期点的坐标为：

A1（n,-（n-1））

A2（n,n）

A3（-n,n）

A4（-n,-n）

因为2007-4=501…3,所以A2007的坐标与第502周期的点A3的坐标相同，即（-502,502）解法2:

由图形以可知各个点（除A1点和第四象限内的点外）都位丁象限的角平分线上，位丁第一象限点的坐标依次为A2（1,1）A6（2,2）A10（3,3）•••A4n-2（n,n）因为第一象限角平分线的点对应的字母的下标是2,6,10,14,即4n-2（n是自然数,

n是点的横坐标的绝对值）；

同理第二象限内点的下标是4n-1（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；第三象限是4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

第四象限是1+4n（n是自然数，n是点的横坐标的绝对值）；

因为2007-4=501…3,所以A2007位丁第二象限。

2007=4n-1WJn=502,

故点A2007在第二象限的角平分线上，即坐标为（-502,502）.

11、如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点、按如此规律走下去，当机器人走到A6,A108点D的坐标各是多少。

北

a6h«

J■

电

西A

南

取东

解法1:

观察图象，点A1、A2、A3A4每4个点，图形为一个循环周期设每个周期均由点A1,A2,A3,A4组成。

第1周期点的坐标为：

A1（3,0）,A2（3,6）,A3（-6,6）,A4（-6,-6）

第2周期点的坐标为：

A1（9,-6）,A2（9,12）,A3（-12,12）,A4（-12,-12）

第3周期点的坐标为：

A1（15,-12）,A2（15,18）,A3（-18,18）,A4（-18,-18）

第n周期点的坐标为：

A1（6n-3,-（6n-6））,A2（6n-3,6n）,A3（-6n,6n）,A4（-6n,-6n）

因为6-4=1…2,所以A6的坐标，与第2周期的点A2的坐标相同，即（9,12）

因为108士4=27,所以A108的坐标与第27周期的点A4的坐标相同，（-6X27,-6X27）

解法2:

根据题意可知，A1A2=3,A2A3=6,A3A4=8,A4A5=15当机器人走到A6点时，A5A6=18米，点A6的坐标是（9,12）;

12、（2013?

兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3,0）、B（0,4）,对/\OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则^2013的直角顶点的坐标为（）.

△

解：

•.•点A（-3,0）、B（0,4）,.••AbS+4%5,

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：

4+5+3=12,

2013士3=671,A2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，

671X12=8052,2013的直角顶点的坐标为（8052,0）.

12.（2013?

聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（）

i_:

42°Ai10_-

解：

由图可知，n=1时，4X1+1=5,点A5（2,1）,

n=2时，4X2+1=9,点A9（4,1）,

n=3时，4X3+1=13,点A13（6,1）,所以，点A4n+1（2n,1）.

13.（2013?

®江）如图，所有正三角形的一边平■行丁x轴，一顶点在y轴上.从内到外,

它们的边长依次为2,4,6,8,…，顶点依次用A1、A2、A3A4••表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5A4A5与A7A8…均相距一个单位，求点A3和A92的坐标分别是多少，.

因为92-3=30・・・2,所以A92的坐标与第31周期的点A2的坐标相同，即（31,-31）

解法2:

ZXA1A2A3勺边长为2,A1A2A3勺高线为2X2=0

A1A2与x轴相距1个单位，二A3O克-1,二A3的坐标是（0,应-1）;

92-3=30…2,A92是第31个等边三角形的初中第四象限的顶点，

第31个等边三角形边长为2X31=62,

.••点A92的横坐标为2x62=31,.•边A1A2与A4A5A4A5与A7A8…均相距一个单位，

.••点A92的纵坐标为-31,二点A92的坐标为（31,-31）.

14、如图是某同学在课外设计的一款软件，蓝精灵从O点第一跳落到A1（1,0）,第二

跳落到A2（1,2）,第三跳落到A3（4,2）,第四跳落到A4（4,6）,第五跳落到A5.到

A2n+1.

解：

.••蓝精灵从O点第一跳落到A1（1,0）,第二跳落到A2（1,2）,第三跳落到

A3（4,2）,第四跳落到A4（4,6）,

蓝精灵先向右跳动，再向上跳动，每次跳动距离为次数+1,即可得出：

第五跳落到A5（9,6）,到达A2n后，要向右方向跳（2n+1）个单位落到A2n+1.

17.（2012?

莱芜）将正方形ABCB勺各边按如图所示延长，从射线AB开始，分别在各射线上标记点A1、A2、A3…，按此规律，点A2012在那条射线上.

七

解：

如图所示:

点名称射线名称

A10

A12

A17

A19

A26

A28

••-

A11

A18

A20

A25

A27

…

A14

A16

A21

A23

A30

A32

…

A13

A15

A22

A24

A29

A31

…

根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每16个点排列的位置一循环，因为2012=16X125+12,所以点A2012所在的射线和点A12所在的直线一样.

因为点A2012所在的射线是射线AB,所以点A2012在射线AB上，故答案为：

AB.

18、（2011?

钦州）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,…,按这样的运动规律，经过第2011次运动后，动点P的坐标是.

七（3,2）（7,2）（11,2）

解法1:

观察图象，每4个点，图形为一个循环周期设每个周期均由点P1,P2,P3,P4组成。

第1周期点的坐标为：

P1（1,1）,

P2（2,0）,

P3（3,2）,

P4（4,0）

第2周期点的坐标为：

P1（5,1）,

P2（6,0）,

P3（7,2）,

P4（8,0）

第3周期点的坐标为：

P1（9,1）,

P2（10,0）,

P3（11,2）,

P4（12,0）

第n周期点的坐标为：

P1（4n-3,1）

P2（4n-2,0）

P3（4n-1,2）

P4（4n,0）

因为2011-4=502…3,所以P2011的坐标与第503周期的点P3的坐标相同（503X4-1,2）,即（2011,2）

解法2、根据动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到点（3,2）,

...第4次运动到点（4,0）,第5次接着运动到点（5,1）,…，

横坐标为运动次数，经过第2011次运动后，动点P的横坐标为2011,纵坐标为1,0,2,0,每4次一轮，

•••经过第2011次运动后，动点P的纵坐标为：

2011-4=502余3,故纵坐标为四个数中第三个，即为2,.••经过第2011次运动后，动点P的坐标是：

（2011,2）

19、将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对（n,表示第n排，从左到右第m个数，如（4,3）表示实数

1第一排

23第三排

456第

7S910-…第四排

因为103士2=51・・・1,所以P2011的坐标与第52周期的点A1的坐标相同，即（-52,52）

解法2:

（1）观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1,纵坐

1,-

标是次数的一半，即第n次跳至点的坐标为

02）.第2次跳动至点的坐标是A2（2,1）,

第4次跳动至点的坐标是

第6次跳动至点的坐标是

第8次跳动至点的坐标是

第n次跳动至点的坐标是

A4（3,2）,

A6（4,3）,

A8（5,4）,

''n+1nj

Anl2,2人二第100次跳动至点的坐标是（51,50）.

（2）观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半，纵坐标是横坐

n1n1

标的相反数，即第n次跳动至点An的坐标为I2，2J

第1次跳动至点的坐标是A1（-1,1）,第3次跳动至点的坐标是A3（-2,2）,

第5次跳动至点的坐标是A5（-3,3）,第7次跳动至点的坐标是A7（-4,4）,

n次跳动至点的坐标是

.•.第103次跳动至点的坐标是（-52,52）.

21、（2008TS安）如图，将边长为1的正三角形OAFBx轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1,P2,P3…P2008的位置，则点P2008,P2007的横坐标分别为为（）（）

www.uumat

解法1:

观察图象，点P1、P2、P3每3个点，图形为一个循环周期。

设每个周期均由点P1、P2、P3组成。

第1周期点的坐标为：

P1（1,0）,P2（1,0）,P3（2.5,y）

第2周期点的坐标为：

P1（4,0）,P2（4,0）,P3（5.5,y）

第3周期点的坐标为：

P1（7,0）,P2（7,0）,P3（8.5,y）

第n周期点的坐标为：

P1（3n-2,0）,P2（3n-2,0）,P3（3n-1+0.5,y）

因为2008-3=669…1,所以P208的坐标与第670周期的点P1的坐标相同,

（3X670-2,0）,即（2008,0）所以横坐标为2008

因为2007-3=669,所以P2007的坐标与第669周期的点P3的坐标相同，

（3X669-1+0.5,y）,即（2006.5,y）所以横坐标为2006.5

解法2:

观察图形结合翻转的

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