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人民币汇率与经济的数学模型

人民币汇率与经济的数学模型（C题）

数学科学学院陈荣黄捷舜

摘要

本文主要应用统计学及计量经济学知识，并结合相关经济学理论，研究分析了货币

汇率与国家经济的关系。

对于问题一，主要运用一元线性回归方法系统地研究英国各年汇率与其贸易额的线

性关系。

首先应用统计分析系统软件SAS对题目提供的数据进行初步线性拟合，结合92

年欧洲货币体系危机，英磅汇率出现重大异常变动，将汇率异常值对应年份的数据剔除

出模型，再次拟合回归方程并通过各项显著性检验，最终得到如下经验回归方程：

y=9937.9-3929.8*x

方程表明英国汇率和英国对外贸易额程现负相关性。

对于问题二，首先，我们应用时间序列分析方法，分别研究了人民币汇率与日元、

美元、欧元三大主要货币汇率的关系，得出时间序列模型如下：

人民币汇率对日元汇率时间序列模型：

0.34076510.81687

（1）

t10.22717

（1）t

xB

B

人民币汇率对美元汇率时间序列模型：

34.5452410.29063

（1）

t10.19329

（1）t

xB

B

人民币汇率对欧元汇率时间序列模型：

787.11421

t1

（1）tx

B

接着，在考察人民币汇率与我国经济的关系时，由于国内生产总值（y1）、进出口

贸易总额（y2）和黄金储备量（y3）三者之间存在显著的正相关关系，我们应用主成分分析

法，提取了包含有99.48%信息量的第一主成分prin1作为衡量我国经济发展的变量：

Prin1=0.577080*y1+0.577253*y2+0.577718*y3

以人民币汇率作为自变量x，第一主成分prin1作为因变量，拟合一元线性回归方

程：

Prin1=3.77*E6-444.34*x

方程通过各项显著性检验，表明人民币汇率与我国经济存在负相关关系，并计算出人民

币汇率95%的置信区间[8.139601748，8.319148252]，人民币汇率在此区间内波动时，

能保证我国经济持续、健康发展。

关键词：

人民币汇率、对外贸易额、线性回归、时间序列分析法、主成分分析法

问题重述

近年来，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。

一些学

者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者希望稳定人民币的汇率。

试建立

数学模型，解决下列问题：

1．以英镑汇率为例，考察汇率与贸易额的线性关系，并据此说明汇率的变化对

英国经济的影响；

2．利用人民币汇率与主要货币（如英镑、日元、欧元等）的汇率关系，

探讨人民币汇率在什么范围内变化比较有利于我们经济持续、健康发展。

变量说明

问题分析

问题1的分析：

此问需要对提供的数据表1做线性关系的分析，以汇率为自变量，

贸易额为因变量，用一元线性回归的方法拟合出直线方程来说明随着汇率的变化贸易的

变化情况。

并在此方程的基础上，由汇率变化预测出对英国经济的影响。

汇率有两种不同的表达方法，即直接标价法和间接标价法。

用公式表示为：

假定A

货币是本国货币，B货币为外国货币。

外币的直接标价法：

汇率=A货币/B货币；外币

的间接标价法：

汇率=B货币/A货币。

英磅的汇率表示是采用间接标价法。

题目提供的历年英磅汇率的数据采用的标价法不一致，也即汇率数据中所有小于1

变量名变量含义变量名变量含义

i样本期t年份

p变量个数

tx第t年汇率值

y因变量

t第t期扰动项

x自变量B后移算子，如1

（1）ttBxx

i理论回归方程系数

（i=1,2,…,p）

prini第i个主成分

yˆY的估计值y1国内生产总值

ˆ

i的估计值iy2进出口贸易总额

y3黄金储备量

的数值都应取倒数为使其变成英镑汇率间接标价法对应的值。

通过“中华人民共和国商

务部（）”查询英镑历年汇率数据可知，由上面方法（汇率数据中所

有小于1的数值都应取其倒数）得出的数据符合英镑历年来的汇率事实。

对原表整理后

得到下表，以后的计算都以下表为准。

问题二分析：

先分别考察人民币与三大货币汇率的关系。

此问题属于时间序列分析

问题，接着再考察人民币和我国经济的关系，这里我们通过上网搜索加入了2002年至

2005年的相关经济数据，用主成分分析法提取包含丰富信息量的第一主成分，再用一元

线性回归的方法研究人民币汇率与第一主成分的关系，也就间接研究了人民币与我国经

济的关系。

最后给出人民币汇率的置信区间，指出当人民币在此区间内波动时，有利于

我国经济持续、健康的发展。

模型假设

A.假设各年贸易额的数值已经消除了通货膨胀的影响；

B.假设国家经济不受除汇率以外的其它因素的影响；

C.假设在未来一段时间内国家的环境相对稳定，即排除了金融危机、战争、自然灭害

等情况；

D.在研究人民币汇率与英国汇率的关系时，假设英国经济不对英国汇率产生影响。

E．商品价格遵循购买力平价定律。

即除去运输成本、贸易壁垒和信息成本，一个给定

商品的价格，用相同的货币来标价,在不同的地点将是相同的。

F．假设国家的国内需求在一定时间内趋于一致，且随GDP的增长而稳定增长；商品需

求弹性比较高。

模型分析、建立与求解

1.线性回归的相关理论

1.1回归概念

把系统中一些因素作为自变量，另一些随自变量变化而变化的变量作为因变量，研

究它们之间的非确定性因果关系，以便预测因变量的未来发展趋势。

具体是根据若干观

年份各年贸易额各年汇率值

199339301.502403846

199443231.5137

19953211.9771.5792

19963500.7141.6102

19973595.0531.6391

19983546.0191.657275439

19993651.6151.617076326

20004097.7851.5167602

20014177.5541.439884809

20024135.7071.499925004

测数据寻找描述因素变量之间的函数或统计相关关系的最佳数学表达式，或者匹配数据

之间相关关系的最佳拟合曲线，来表达随机性变量间的规律。

1.2线性回归模型

当因变量y与影响因素x间基本存在线性关系时，可进行一元线性回归分析。

当因

素多于一个时，可用多元线性回归分析。

1.2.1理论回归方程

011...ppyxx

其中为随机影响因素，:

N0,2。

y与x有n组样本数据值。

（1,2,...,）为回归系数，表示自变量变化引起因变量变化的比率，由解方程求得。

iip

解方程常用最小二乘法：

使该曲线与各点的纵向垂直距离最小，即观测值y与回归计算

值yˆ间的误差平方和2最小。

yyˆ

1.2.2经验回归方程

011

ˆˆˆ...ˆppyxx

1.2.3系数矩阵形式

ˆXTX1XTY

式中是回归系数向量；是因变量的次观12

ˆˆ,ˆ,......ˆ

T

p12,,......,T

nYyyyYn

测值向量；矩阵np是个自变量的次观测值并增加列向量1所组成。

Xpn

1.2.4线性回归模型的假设理论

独立性：

给定i条件下，的条件期望值，即零均值假设；xi0iE

无自相关：

的逐次观察值互不相关；i

等方差：

对于所有i，的条件方差同为常数，即；xi2var|2iix

正态性：

随机误差项服从均值、方差为的正态分布；i02

1.2.5方程各项指标的检验

（1）变量相关性检验

简单相关系数：

22

111

nnn

iiii

iii

rxxyyxxyy

a）反映因变量y与自变量x间线性关系的密切程度。

相关系数的取值范围为

|r|1；

b）r1，表示y与x完全正相关，即所有的对应点都在一条直线上；

c）r1,表示y与x完全负相关，所有的对应点也都在一条直线上；

d）r0，实际情况中很少出现，说明样本点的分布杂乱无章；

e）0|r|1，表明x与y有确定的非线性函数关系，或称曲线函数关系。

但简单相

关系数只是反映两个变量间的线性关系，并不能反映变量间的非线性关系。

复相关系数

2222

1111

ˆ1ˆ

nnnn

iiiii

iiii

Ryyyyyyyy

2

1

n

i

i

SSTyy

2

1

ˆ

n

i

i

SSRyy

22

11

ˆ

nn

iii

ii

SSEyy

SSTSSRSSE

①反映因变量与所有自变量间整体线性关系的密切程度，即曲线的拟合优度。

相关

系数只能反映变量间密切关系，不能反映变量间因果关系，即拟合效果与预测效果不相

同。

其中SST为y的总离差平方和，反映观测值与平均值的离散程度，数值越大则表示y

波动越大；SSR为y的回归平方和，反映估计值与平均值的离散程度，即自变量x的重

要程度。

SSR越大表示由△x引起y的波动越大，其与回归方程有关；SSE为y的残差平

方和，反映观测值与计算值偏差，SSE越大表示由其它因素影响引起y的随机波动越大，

其与回归方程有关。

②实际应用时必须清除自变量个数和样本数量多少的影响，对R进行修正：

2

1

2

1

ˆ1

1

（）1

n

ii

i

n

i

i

yynp

AdjustedRSquare

yyn

P表示自变量的个数，当方程为一元线性回归方程时，p=1。

调整的判定系数

adjustedRsquare能解释因变量y的波动中由整体x引起的百分比率，其值在0—1

之间，值越大表明回归方程的拟合优度越好。

（2）回归方程显著性——F检验

方差分析作用是检验因变量y与自变量x整体有无线性关系。

F统计量:

2

1

2

1

ˆ

1ˆ1

n

i

i

n

ii

i

yyp

FSSRp

SSEnpyynp

为回归均方差与剩余均方差的比值，F值越大线性方程越显著。

式中的P表示自变

量的个数，当方程为一元线性回归方程时，p=1。

原假设012，当时拒绝原假:

...0（0,1,...,）pHip,1aFFpnp

设，接受备择假设,认为线性回归模型在显著性水平下有显著1:

0（0,1,...,）iHipa

意义，一般取a=0.1，0.05，0.01。

（本文取a=0.05）

（3）回归系数显著性——t检验

作用是检验每一个自变量i（=1,2,…,p。

对于一元的情况p=1）对因变量y的线xi

性影响。

多元线性回归的偏相关系数

，T1

iiiitSXX

其中S为总体方差的一个无偏估计量，

22

1

1ˆ1

n

ii

i

SSSEnpyynp

11121

21222

1

1

1

1

p

p

nnp

xxx

Xxxx

xx

L

L

MMM

其中当p=1时X为n2的矩阵。

表示排除其他变量影响后，某自变量与因变量y之间的相关程度和方向，其值itix

越大两变量间线性关系越显著。

原假设，当成立时则否定假设，说明0:

0（0,1,...,）iHip2

1iattnp

对y有显著性影响，其中ix21iaaPttnp

（4）残差独立性检验

①DW检验

假设理论中随机误差项之间的无自相关性不一定满足，即存在序列相关，则将会i

使不是有效的估计量，因而必须对回归模型进行序列相关检验，以保证预测结果的有i

效性。

统计量

2

1

2

2

2

n

ii

i

n

i

i

DW

其中与的值通过查表可得，其值主要由、、决定。

（为显著性水平，LdUdanka

一般取a=0.05,n是样本数，k=p+1,p为自变量个数。

）

DW2时（一般1.5—2.5）残差与自变量互为独立，0

相关，2

若之间存在自相关性，则需通过数据变换消除。

i

②散点图

以预测值yˆ为横轴，以观测值与预测值的误差yyˆ为纵轴。

若散点呈随机分布即残

差分布为常数，则认为残差与因变量或自变量间相互独立；若散点呈现明显规律，则可

能存在自相关、非线型、非常数方差等，需变换因变量或自变量的数据。

同时若随机分

布的散点大部分落在水平直线-2和2之间，则可以判断模型的拟合效果比较好。

（5）残差正态性检验

①残差直方图

是以一组无间隔的直条图表现残差频数分布特征的统计图，其中每一条形的高度分

别代表相应组别的频率。

直方图可以展示正态分布曲线及其参数。

②积累概率图

是一种用来判断一个变量分布与一个指定分布是否符合的概率分布图。

这里代表残

差分布的曲线与代表正态分布的斜线重合程度越高，则两种分布的一致性越好。

（6）自变量共线检验

①共线性是指某个自变量与其它自变量的总体线性相关。

但多元线性回归方法中应

用最小二乘法估计模型参数的一个必要条件是自变量之间为不完全线性相关，若不满

足，则可能出现回归系数值不可靠、回归系数符号与事理意义不符、有用变量被剔除等

情况。

②判断共线性使用统计量容许度和方差膨胀因子。

容许度12，其中为与其他x间的复相关系数。

容许度值越大自iToleranceRiRix

变量与其它自变量x间的共线性越弱，一般要求。

并且使用时要求观测量近ix22

iRR

似正态分布。

方差膨胀因子112。

iVIFR

③消除共线性，可用的方法主要有：

剔除不必要的自变量：

从运用相关分析或聚类分析求得的一组高度相关的自变量

中，剔除回归系数最小的、或t检验值最小的、或系数符号与经济意义不符的变量；

自变量进行数据转换：

有数学函数转换、观测值累加、自变量合并等方法；

增加观测样本值；重新抽取样本数据；寻找新的自变量等。

2.问题一的模型的分析、建立和求解

2.1问题一数学模型分析

要求以英镑汇率为例，考察汇率与贸易额的线性关系，并据此说明汇率的变化对英

国经济的影响。

2.2问题一模型的建立

2.2.1模型

设汇率为自变量x,贸易额为因变量y,建立一元线性回归模型考察x与y的线性关

系。

模型如下：

01yx

其中和为待估计的系数。

由题目供给的数据（2007scnuMCMCTable.xls）应01

用SAS软件录入数据并编写程序求解。

（程序及SAS输出结果见附录部分）

由SAS输出结果可知，回归方程的整体显著性F检验值为0.45，对应概率值

P=0.5143，远远大于0.05的显著性水平，所以不能拒绝原假设。

我们有理由认为方程

拟合效果不显著。

观察y与x的散点图：

由图可以看出，当年份t=1992、2003、2004时，所对应的数据点为异常值，将其

剔除出回归方程后再次作回归得到经验回归方程：

y=9937.9-3929.8*x

2.2.2模型检验

因为模型是一元线性回归模型，由一元线性回归的有关理论可知，方程中x与y

简单相关系数r,方程系数x的显著性t检验以及方程的整体显著性F检验三者之间是等

价的关系。

（1）由SAS输出结果可知x与y的简单相关系数r=-0.78068,表明x与y的线性

关系十分显著。

（2）方程的整体显著性检验统计量F=12.48,对应的概率值P=0.0077

拒绝原假设，认为方程整体线性关系十分显著。

（3）常数项显著性t检验值为5.73,对应的概率值P=0.0004。

回归系数01

的显著性检验统计量t=-3.53，对应概率值P=0.0077

假设（原假设为回归系数不显著），我们认为x的系数十分显著，具有统2

计意义。

（4）残差独立性检验：

给定i条件下，由SAS输出结果可知的条件期望值xi

0，即随机误差满足零均值假设；iEi

（5）残差独立性的DW检验值为DW=2.624，（a=0.05,n=13,k=2）,但《DW检验上

下界表》中数据容量n的下限为15>13,所以这里因为题材目提供的数据太

少而无法用DW检验，只能寻求其它检验方法。

以为横轴，为纵轴作t1ete

散点图（其中t=2,3,…,n,n=13）:

可以看到散点沿着=0随机分布，认为误差项方差不存在相关性。

进一步用自te

相关系数法作进一步检验，得到t1与的相关系数为-0.33795,对应统计量的概率ete

值为0.3737,所以接受原假设，认为与不相关。

t1ete

（6）异方差性的spearman检验中，自变量x与残差e的spearman等级相关系

仅为，对应的检验统计量T=0.3435400869,而T检验在0.05的显著性水平

下的临界值t1=2.2009851601,T

差性，也即满足回归方程的等方差的假设。

（7）残差正态性检验中，残差e有偏度Skewness=-1.1902972，峰度Kurtosis

=2.67279908,偏度和峰度都非常接近0。

综上可以看出，虽然模型的随机误差项满足回归方程的的假设：

零均值、同方差、

不相关和正态性，并且方程通过各项显著性检验，认为方程拟合效果理想，是最优化方

程。

2.3问题一的总结

贸易额与汇率的线性关系为：

y=9937.9-3929.8*x；其中y表示各年的贸易额，x

表示各年汇率值。

可以看出，汇率与贸易额程负相关关系，当汇率升高时，贸易额反而

降低。

从经济学角度看，英国采用的汇率标价法是间接标价法，当X增大时，英镑汇率

增大，英镑相对于其它货币升值，从而，使英国的出口商品价格相对提高，进口商品的

价格相对下降，这样，在国内外商品需求弹性比较高的前提下，英国的出口商品的贸易

总额会降低很多，而对于进口商品，由于英国的国内需求比较稳定，进口商品的贸易总

额会有所提高，但幅度不大，因而，对外总贸易总额相对会降低。

当X减少时，英镑汇

率降低，英镑相对于其它货币贬值，从而，使英国进口商品的国内价格相对提高，出口

商品的国外价格相对下降，这样，在国内外商品需求弹性比较高的前提下，英国的出口

商品的贸易总额会大大上升，而对于进口商品，由于英国的国内需求比较稳定，进口商

品的贸易总额会有所下降，但幅度不大，因而，对外总贸易总额相对会提高。

这正好符

合线性回归所求得的公式。

3.问题二的模型的分析、建立和求解

3.1随机时间序列的相关理论

题目提供的数据中，是在一系列时刻所得到的随机离散数据，所12,,...,（14）ntttn

以考虑用随机时间序列分析的方法来考察汇率随着时间的变化关系。

随机时间序列分析

模型分为三种类型：

自回归模型（auto-regressivemodel,AR）、滑动平均模型（moving

averagemodel,MA）和自回归滑动平均模型（auto-regressivemovingaverage

model,ARMA）。

自回归滑动平均模型（ARMA）是随机时间序列分析的普遍形式，自回归

模型（AR）和滑动平均模型（MA）是它的特殊情况。

对于ARMA模型，在进行参数估计

之前，需要进行模型的识别，目的找出ARMA（p,q），AR（p）,MA（q）模型的具体特征。

主

要是确定模型的阶，即p和q的值。

识别的基本方法是利用时间序列样本的自相关函数

和偏自相关函数。

AR（p）模型的识别：

若t的偏自相关函数在p以后截尾，即k>p时，=0；而它的自相关函数ykkkk

k是拖尾的，则此序列是自回归AR（p）序列。

MA（q）模型的识别

若随机序列t的自相关函数是截尾的，即k>p时，=0；而它的偏自相关函数yk

kk是拖尾的，则此序列是滑动平均MA（q）序列。

ARMA（p,q）模型的识别

若随机序列的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的，则此序列是自回归滑动平均

ARMA（p,q）序列。

平稳非白噪声序列建模步骤图

平稳非白

噪声序列

计算样本相关系

数和偏相关系数

参数

估计

模型检验

模型

优化

Y

序列

预测

3.2考察人民币汇率与日元汇率的关系

3.2.1建模步骤（见上图）

3.2.2模型识别

由题目提供的数据，人民币汇率与日元汇率的关系可以用随机时间序列分析的方法

来研究。

应用SAS的arima过程编写程序进行分析，得到输出结果如下：

N

模型

识别

从上图可以看到，汇率随着时间的变化不存在强的变化趋势，序列波动很强。

91

年到95年，日元迅速升值，之后开始小幅度回落，接着又再度上升、然后又再度回落，

从上图可以看到，x（人民币与日元汇率）的自相关系数（Autocorrelations）是迅速

收敛的，因而该序列是平稳的。

自相关图（Autocorrelations）显示延迟1阶后，自相关

系数全部衰减到2倍标准差范围内波动，这表明序列明显地短期相关。

但序列由显著非

零的相关系数衰减为小值波动的过程相当连续，比较缓慢，该自相关系数可