课堂教学设计抛物线.docx
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课堂教学设计抛物线
【课题】2.3.1抛物线及其标准方程(第1课时)
【教学目标】
1.设计轨迹探究活动,经历“由定义获得轨迹(抛物线)”的过程,理解抛物线的定义;
2.会推导抛物线的标准方程,提高观察、猜想、分析、对比、概括、转化等方面的能力,领会数形结合与转化思想;
3.经历“获得四种标准方程”的过程,掌握抛物线的标准方程,提高类比能力,学习数形结合的思维方法.
【重点】理解抛物线的定义,掌握抛物线的标准方程.
【难点】形成“动点、轨迹、位置、方程”对应联系的能力,掌握抛物线位置特征与标准方程形式特点的联系.
【教学过程】
一.导出课题
我们已学习了圆、椭圆、双曲线.今天我们将学习圆锥曲线——抛物线,以及它的定义和标准方程.课题是“抛物线及其标准方程”.
请大家思考两个问题:
问题1:
同学们对抛物线已有了哪些认识?
在物理中,抛物线被认为是抛射物体的运行轨道;在数学中,抛物线是二次函数的图象?
问题2:
在二次函数中研究的抛物线有什么特征?
在二次函数中研究的抛物线,它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向两种情形.
引导学生进一步思考:
如果抛物线的对称轴不平行于y轴,那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天,我们突破函数研究中这个限制,从一般意义上来研究抛物线.
二.抛物线
1.引入问题:
到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的动点轨迹?
2.分类思考、问题转化:
若常数
,则动点M的轨迹是一个椭圆;
若常数
,则动点M的轨迹是一个双曲线;
若常数
,则动点M的轨迹是什么?
3.探究活动:
到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹
(1)尝试并讨论:
作轨迹上的一个点
参考:
特殊的一点:
从F到l的垂线段的中点;
一般的一点:
方法一:
在直线l上任取一点P,连PF,作PF的中垂线m,过点P作l的垂线交m于M,则M是轨迹上的一点;
(2)作多个点,归纳得到轨迹的示意图
在学生基本得到轨迹之后,教师借助于《几何画板》演示“动点轨迹”.
(3)简单实验
如图,把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上,一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘;把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A,截取绳子的长等于A到直线l的距离AC,并且把绳子另一端固定在图板上的一点F;用一支铅笔扣着绳子,紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧,然后使三角板紧靠着直尺左右滑动,这样铅笔就描出一条曲线,这条曲线叫做抛物线.反复演示后,请同学们来归纳抛物线的定义,教师总结.
4.学习抛物线的定义
提问:
这是什么曲线呢?
阅读教材P62:
抛物线的定义
“平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线”.
思考讨论:
定义中有内隐的条件要求吗?
隐含条件:
定点不在定直线上
说明:
若定点在定直线上,则轨迹是一条直线(过这个定点且垂直于这条定直线的直线)
(过程设计:
若学生没有发现隐含条件,则可以直接研究定点在定直线上的情况)
三.求抛物线的方程
1.引入问题:
我们原来知道“二次函数的图象是抛物线”,现在又知道了“平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线”.从“曲线与方程的思想”去考虑,我们如何说明前后说法没有矛盾?
思路一:
说明二次函数的图象满足抛物线的定义(即从二次函数研究图象的几何性质);
思路二:
说明抛物线(在适当的条件下)可以用二次函数表示(即求抛物线的方程).
2.已知抛物线,求方程
已知:
抛物线的焦点为F,准线为l,
求:
抛物线的方程.
思考提示:
(1)作为已知条件,焦点F到
准线l的距离可以假设为p(已知);
(2)观察与猜想:
点M会在直线l的左侧吗?
抛物线的顶点会在什么地方?
从已知条件看,我们最好怎样取坐标系?
解:
过F作l的垂线FK(K为垂足),设
(焦参数),取FK的中点O,
以O为原点,射线OF为x正半轴,取坐标系如图,
则
,
,设抛物线上任意一点
,则
(同学们能看着此式说它的几何意义吗?
)
这就是“顶点在原点、焦点在x正半轴上”的抛物线的标准方程.
思考:
解析式反映的是二次函数吗?
(x是y的二次函数).
四.抛物线的标准方程
1.引导问题:
(曲线的)标准方程其中“标准”的含义是什么?
理解:
所谓“标准方程”,主要是方程的“最简”,从而使曲线的几何性质(形状大小、位置特征)能从方程中显露出来.
认识:
对于一条确定的曲线,在坐标系中它的位置的“标准”,决定了其方程的“标准”.
2.抛物线的四种标准方程
阅读理解:
课本第63页汇总表.
让学生参照焦点在x正半轴上的情况
(启发学生如何记忆:
数形结合起来)
位置描述:
抛物线的顶点在原点,焦点在××半轴上;
或者说:
抛物线的顶点在原点,开口向××.
数量特征:
焦参数p(焦点到准线的距离),顶点是焦点到准线的垂线段的中点.
3.标准方程的直接运用
例1(课本第63页)
(1)已知抛物线的标准方程是
,求它的焦点坐标和准线方程
(2)已知抛物线的焦点坐标是
,求它的标准方程.
教学要点:
五.反馈与巩固
练习:
课本第64-65页,练习题:
1、2、3
练习1由三名学生演板,教师予以订正.答案是:
(1)y2=12x;
(2)y2=-x;(3)y2=4x,y2=-4x,x2=4y,x2=-4y.
这时,教师小结一下:
由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解.
六.小结:
本次课主要介绍了抛物线的定义,推导出抛物线的四种标准方程形式,并加以运用.
反思:
二次函数的图象真是抛物线吗?
求y=4x2
的焦点坐标和准线方程.(本课已经从图形直观和曲线方程两个方面作了讨论)
七.作业:
习题:
课本第69页,习题2.3:
1,2,3,4
选做题:
1.根据下列条件,求抛物线的方程,并描点画出图形:
(1)顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6;
(2)顶点在原点,对称轴是y轴,并经过点p(-6,-3).
2.求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.
选做题答案:
1.
(1)y2=24x,y2=-2x
(2)x2=-12y(图略)
2.分别令x=0,y=0得两个焦点F1(0,-3),F2(4,0),从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x
【课题】2.3.1抛物线的定义标准方程以及应用(第2课时)
【教学目标】
1.使学生掌握抛物线的定义、标准方程,并能初步利用它们解决有关问题.
2.通过教学,培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳等合情推理的方法,提高学生抽象、概括、分析、综合的能力.
3.培养学生运用数形结合的数学思想理解有关问题.
【教学重点与难点】
抛物线标准方程的有关应用既是教学重点,又是难点.
【教学过程】
一.复习提问:
1.定义:
(请一名同学回答)
平面内与一定点F和一定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在直线上).定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2.标准方程、图象及性质:
由于抛物线开口方向的不同,共有4种不同情况,请同学们写出其它3种情况下的标准方程、焦点坐标及准线方程,并说明理由.
3.观察图形,分辨这些图形有何相同点和不同点.
共同点有:
①原点在抛物线上.②对称轴为坐标轴.③准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别对称于原点,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的四分之一.
不同点:
①抛物线的焦点在x轴上时,方程左端是y2,右端是2px;当抛物线的焦点在y轴上时,方程左端是x2,右端是2py.②开口方向与x轴(y轴)正半轴同向时,焦点在x轴(y轴)的正半轴上,方程右端取正号.
开口方向与x轴(y轴)负半轴同向时,焦点在x轴(y轴)的负半轴上,方程右端取负号.(启发学生如何记忆:
数形结合起来)
二.课堂练习
1.抛物线的顶点是双曲线16x2-9y2=144的中心,而焦点是双曲线的左顶点,求抛物线的方程.
让学生练习,回答(y2=-12x).
2.已知两抛物线的顶点在原点,而焦点分别在点F1(2,0)和F2(0,2),求它们的交点.
让学生演板并共同校正.
解:
顶点在坐标原点,焦点分别是F1(2,0)、F2(0,2)的抛物线的方程是:
所以它们的交点为A(0,0),B(8,8).
三.例析计论
作为应用,请同学们看下面的例题.
例1.参阅教材P64例题2并讲评。
解答从略
例2 经过抛物线的焦点F,作一条直线垂直于x轴,和抛物线相交,两个交点的纵坐标为y1,y2.求y1·y2的值.(图2-49)
故y1·y2=-p2.
【反思】能否根据抛物线的定义求解?
解析:
如图2-50,根据抛物线的定义,|AF|=|BF|=|AM|=p,故y1·y2=-p2.
【引申】上例中若缺少“垂直于x轴”的条件,结果怎样?
怎样求交点坐标?
如何建立直线方程?
(请同学自行写出解题过程,并利用投影仪展示解题过程.)
与抛物线方程联立,消去x可得:
四。
当堂练习
P65练习第4题
让二名学生板演并相互校正。
(启发学生一题多解)
答案:
|FM|=4
五。
小结
请同学小结这节课的内容.
(抛物线的定义;p的几何意义;标准方程的4种形式.)
六。
作业:
P69。
5,6
选做题:
p69B组题第1题
【课题】2.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)
【教学目标】
1.引导学生运用对比(同椭圆、双曲线)和类比(抛物线之间)的思想得到抛物线的几何性质.
2.使学生初步掌握有关抛物线问题的解题方法,培养学生严谨、周密的思考问题的能力及抽象概括能力.
3.通过对抛物线几何性质的探索,强化学生的注意力及新旧知识的联系,树立学生求真的勇气和自信心
【教学重点与难点】
抛物线几何性质,掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法.
【教学过程】
一.当堂训练1
教材P68练习题第1题
让学生板演并相互订正.
二、复习提问
问题1:
我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质,请同学们回忆一下,是从哪几个方面研究的?
答:
研究了范围、对称性、顶点、离心率、渐近线几个问题.
问题2:
在研究几何性质时,对曲线的方程有无限制?
答:
是在曲线的标准方程条件下研究的.
三、类比椭圆、双曲线得出抛物线的几何性质.
请学生阅读教材P65并相互讨论,作出对比研究,分析:
【提出问题】和椭圆、双曲线的几何性质相比,抛物线的几何性质有什么特点?
学生和教师共同小结:
(1)抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可以无限延伸,但是没有渐近线.
(2)抛物线只有一条对称轴,这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合,抛物线没有中心.
(3)抛物线只有一个顶点,它是焦点和焦点在准线上射影的中点.
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义,并和抛物线的定义作比较.其结果是应规定抛物线的离心率为1.注意:
这样不仅引入了抛物线离心率的概念,而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了.
【说明】抛物线的其它标准方程y2=-2px,x2=2py,x2=-2py同样有类似的结论,它们的顶点都在坐标原点,一次项的变量如为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向,正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同,负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反.
【练习】请同学们完成P68练习题第2题.
评注:
在抛物线方程中,参数p对图象的影响:
p值越大,抛物线开口也越大.理由,对于同一个x值,它们对应的y值不同,p值大,|y|也大.
四.例析讨论
例1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2
),求它的标准方程.
解析:
待定系数法.
思考与探究:
顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点M(2,-2
),这样的抛物线有几条?
并求出它们的标准方程.
例2 如图所示是抛物线y2=2px的图象,且有一条过焦点垂直于对称轴的弦(如图2-50).求它的长度.
让学生一题多解:
解法一:
分别过点A、B作准线l的垂线,垂足分别为D、C.(可由计算机演示出,或在投影片中画出).由抛物线定义知|AF|=|AD|=p,|BF|=|BC|=p,所以|AB|=|AF|+|BF|=2p.
解法二:
因为A、B两点在抛物线上,
又|AB|=|y1-y2|=2p.
小结两种不同的方法,方法一用抛物线定义得出,较简捷.方法二由解析法得出,这种解题思想较好.
例3、斜率为1的直线经过抛物线
的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长。
解析:
本题有三种解法:
一是求出A、B两点坐标,再利用两点间距离公式求出AB的长;二是利用韦达定理找到x1与x2的关系,再利用弦长公式|AB|=
求得,这是设而不求,整体代入的思想方法;三是把过焦点的弦分解转化为到准线的距离。
五.当堂训练2
1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,求|AB|的值.
2.证明:
与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点.
六.小结
1.抛物线的几何性质;
2.抛物线的应用.
七、布置作业
P69习题A组5,6
选做题:
1.在抛物线y2=12x上,求和焦点的距离等于9的点的坐标.
2.有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上,另一顶点在原点,求这个三角形的边长.
3.求证:
以抛物线的焦点弦为直径的圆,必与抛物线的准线相切.
【课题】2.3.2抛物线的简单几何性质(第2课时)
【教学目标】
1.使学生进一步理解抛物线的定义、掌握抛物线的标准方程和几何性质.
2.通过对抛物线定义、标准方程和几何性质的进一步研究,培养学生综合运用抛物线的各方面知识的能力.
3.抛物线的定义、标准方程以及几何性质是来源于实践的理论,同时服务于实践,通过本次课可进行辩证唯物主义思想教育.
【重点】会运用坐标法解决抛物线的有关证明与计算问题.
【重点】抛物线的标准方程的有关应用。
【教学过程】
一.复习:
1、抛物线的定义:
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线。
2、抛物线的标准方程和几何性质:
,
,
二.当堂训练1
1、点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:
x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程。
解析:
坐标法直接求或者用定义求.(让学生深刻理解曲线方程的意义)
2、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值。
解析:
让学生一题多解.
解法一:
设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则准线方
因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4.
因此,所求抛物线方程为y2=-8x.
又点M(-3,m)在此抛物线上,故m2=-8(-3).
解法二:
由题设列两个方程,可求得p和m.由题意
在抛物线上且|MF|=5,故
涉及直线与圆锥曲线相交时,常把直线与圆锥曲线方程联立,消去一个变量,得到关于另一变量的一元二次方程,然后用韦达定理求解,这是解决这类问题的一种常用方法.
三.例析讨论
例1.教材p67例5
师生共同讨论完成,解答从略.
例2.顶点在原点、焦点在x轴上的抛物线,被直线y=2x+1截得的
分析:
方程可能有两种形式,故用一般形式y2=2ax较好,求a的值正、负均可,否则在y2=2px中,易出现p<0的误解.
解:
设抛物线方程为y2=2ax.
∵△=[2(2-a)]2-4×4×1=4a2-16a>0,
∴a>4或a<0。
设直线与抛物线交点为A(x1,y1)、B(x2,y2).
∴|a-2|=4,∴a=6或a=-2.
故所求抛物线方程为y2=12x或y2=-4x.
四.当堂训练2
1.物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:
直线MQ平行于抛物线的对称轴.
2.教材P68练习题第3题
解析:
运用函数求解.
五.小结:
本课主要研究了抛物线的定义、标准方程以及几何性质的应用,着重分析了定义、直线与抛物线相交等问题,一些方法带有一般性,请同学们注意掌握好.
六.作业:
P69B组题1,2,3
选做题:
求证:
以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切(图2-37).
则以AB为直径的圆,必与抛物线准线相切.
证明:
作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,M为AB的中点,作MM1⊥l于M1,则由抛物线的定义可知:
|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|.
又在直角梯形BB1A1A中
故以AB为直径的圆,必与抛物线的准线相切.