中考数学常考易错点34《反比例函数》.docx
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中考数学常考易错点34《反比例函数》
反比例函数
易错清单
1.利用待定系数法确定反比例函数关系式.
【例1】 （2014·广东梅州）已知反比例函数
的图象经过点M（2,1）.
（1）求该函数的表达式;
（2）当2<<4时,求y的取值范围（直接写出结果）.
【解析】
（1）利用待定系数法把（2,1）代入反比例函数y=中可得的值,进而得到解析式;
（2）根据y=可得=,再根据条件2<<4可得2<<4,再解不等式即可.
【答案】
（1）∵ 反比例函数
的图象经过点M（2,1）.∴ =2×1=2,
∴ 该函数的表达式为
.
（2）
∵ 2<<4,
解得
.
【误区纠错】 此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,以及反比例函数的性质,关键是正确确定函数解析式.注意在求不等式的解时不能出错.
2.反比例函数系数的几何意义.
【例2】 （2014·湖南娄底）如图,M为反比例函数
的图象上的一点,MA垂直y轴,垂足为A,△MAO的面积为2,则的值为 .
【解析】 根据反比例函数比例系数的几何意义得到
||=2,然后去绝对值得到满足条件的的值.
【答案】 ∵ MA垂直y轴,
∴ S△AOM=
||,
∴
||=2,即||=4.
而>0,∴ =4.
【误区纠错】 本题考查了反比例函数比例系数的几何意义在反比例函数
的图象中任取一点,过这一个点向轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值||.
3.利用数形结合解决反比例函数与不等式相关问题.
【例3】 （2014·四川南充）如图,一次函数y1=+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A（2,5）和点B,与y轴相交于点C（0,7）.
（1）求这两个函数的解析式;
（2）当取何值时,y1【解析】
（1）将点C、点A的坐标代入一次函数解析式可得,b的值,将点A的坐标代入反比例函数解析式可得m的值,继而可得两函数解析式;
（2）寻找满足使一次函数图象在反比例函数图象下面的的取值范围.
∴ 一次函数解析式为y=-+7.
将点（2,5）代入反比例函数解析式
∴ m=10.
∴ 反比例函数解析式为
.
∴ 点D的坐标为（5,2）,
当0<<2或>5时,y1【误区纠错】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是联立解析式,求出交点坐标.本题在写取值范围时容易出错.
4.反比例函数和几何图形相结合问题.
【例4】 （2014·四川遂宁）已知如图,反比例函数y=
的图象与一次函数y=+b的图象交于点A（1,4）、点B（-4,n）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式;
（2）求△OAB的面积;
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围.
【解析】
（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标,把A的坐标代入一次函数解析式求出即可;
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标,求出△ACO和△BOC的面积相加即可;
（3）根据A,B的坐标结合图象即可得出答案.
（2）如图,当=-4时,y=-1,B（-4,-1）,
当y=0时,+3=0,=-3,故C（-3,0）.
（3）∵ B（-4,-1）,A（1,4）,
∴ 根据图象可知当>1或-4<<0时,一次函数值大于反比例函数值.
【误区纠错】 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,用待定系数法求出一次函数的解析式,三角形的面积,一次函数的图象等知识点,用了数形结合思想.
名师点拨
1.掌握反比例函数的定义,会判断反比例函数.
2.会用待定系数法求反比例函数的解析式.
3.会画反比例函数的图象并能说明其性质.
4.借助函数思想解决实际问题.
提分策略
1.反比例函数值的大小比较.
比较反比例函数值的大小,在同一个象限内根据反比例函数的性质比较,在不同象限内,不能按其性质比较,函数值的大小只能根据特征确定.
A.负数B.非正数
C.正数D.不能确定
又 点（-1,y1）和均位于第二象限,-1<-,
∴ y1∴ y1-y2<0,即y1-y2的值是负数.
【答案】 A
2.与反比例函数有关的图形面积的求法.
过双曲线上任意一点引轴、y轴垂线,所得矩形面积为||,是经常考查的一个知识点.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解反比例函数y=（≠0）中的几何意义.
【例2】 如图,点B在反比例函数
（>0）的图象上,横坐标为1,过点B分别向轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,则矩形OABC的面积为（ ）.
A.1B.2
C.3D.4
【解析】 ∵ 点B在反比例函数
（>0）的图象上,过点B分别向轴,y轴作垂线,垂足分别为A,C,故矩形OABC的面积S=||=2.
【答案】 B
3.一次函数与反比例函数的综合题解法.
主要题型利用值与图象的位置关系综合确定系数的符号或图象位置;已知直线与双曲线表达式求交点坐标;用待定系数法确定直线与双曲线的表达式;应用函数图象性质比较一次函数值与反比例值的大小等.解题时,一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识,并结合图象分析、解答问题.
【例3】 如图,一次函数y=-+2的图象与反比例函数
的图象交于A,B两点,与轴交于D点,且C,D两点关于y轴对称.
（1）求A,B两点的坐标;
（2）求△ABC的面积.
【解析】
（1）根据反比例函数与一次函数的交点问题得到方程组然后解方程组
即可得到A,B两点的坐标;
（2）先利用轴上点的坐标特征确定D点坐标,再利用关于y轴对称的点的坐标特征得到C点坐标,然后利用S△ABC=S△ACD+S△BCD进行计算.
（3）根据坐标与线段的转换可得出AC,BD的长,然后根据三角形的面积公式即可求出答案.
【答案】
（1）根据题意,得解方程组
得或
所以A点坐标为（-1,3）,B点坐标为（3,-1）.
（2）把y=0代入y=-+2,得-+2=0,解得=2,
所以D点坐标为（2,0）.
因为C,D两点关于y轴对称,
所以C点坐标为（-2,0）.
所以S△ABC=S△ACD+S△BCD
4.利用反比例函数解决实际问题.
把实际问题转化为反比例函数应用题的关键是建立反比例函数模型,即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
【例4】 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间（时）的关系可近似地用二次函数y=-2002+400刻画;1.5小时后（包括1.5小时）y与可近似地用反比例函数
（>0）刻画（如图所示）.
（1）根据上述数学模型计算
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值?
最大值为多少?
②当=5时,y=45,求的值.
（2）按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上2000在家喝完半斤低度白酒,第二天早上700能否驾车去上班?
请说明理由.
【解析】
（1）①利用y=-2002+400=-200（-1）2+200确定最大值;
②直接利用待定系数法求反比例函数解析式即可;
（2）求出=11时,y的值,进而得出能否驾车去上班.
【答案】
（1）①y=-2002+400=-200（-1）2+200,
∴ 喝酒后1时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200（毫克/百毫升）.
②∵ 当=5时,y=45,y=（>0）,
∴ =y=45×5=225.
（2）不能驾车上班.
理由如下
∵ 晚上2000到第二天早上700,一共有11小时,
∴ 第二天早上700不能驾车去上班.
5.利用反比例函数与几何知识相结合解题.
在近几年的中考题目中,常常把几何知识和反比例函数相结合在一起,综合性强,对学生的思维能力要求高.解决此类问题的关键是熟悉常见几何图形的特征,将几何图形的隐含性质结合反比例函数知识挖掘出.
【例5】 如图,在平面直角坐标系中,反比例函数
（>0）的图象和矩形ABCD在第一象限,AD平行于轴,且AB=2,AD=4,点A的坐标为（2,6）.
（1）直接写出B,C,D三点的坐标;
（2）若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.
【解析】 先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B,C,D三点的坐标,再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上,把A、C两点坐标代入
中,得到关于a,的方程组,从而求得的值.
【答案】
（1）B（2,4）,C（6,4）,D（6,6）.
如图,矩形ABCD平移后得到矩形A'B'C'D',
设平移距离为a,则A'（2,6-a）,C'（6,4-a）.
∵ 点A',点C'在
的图象上,
∴ 2（6-a）=6（4-a）,解得a=3.
∴ 点A'（2,3）.
∴ 反比例函数的解析式为
.
专项训练
一、选择题
1.（2014·江苏泰州二中模拟）如图,已知点（m,y1）,（m-3,y2）,（m-4,y3）在反比例函数
的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是（ ）.
A.y1>y2>y3B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2D.y3>y2>y1
（第1题）
（第2题）
2.（2014·山东济南二模）如图,过轴正半轴上的任意一点P,作y轴的平行线,分别与反比例函数
的图象交于A,B两点.若点C是y轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.10
3.（2013·新疆石河子中考一模）如图,矩形ABOC的面积为3,反比例函数
的图象过点A,则的值为（ ）.
（第3题）
A.3B.-1.5
C.-3D.-6
二、填空题
4.（2014·安徽安庆正月21校联考）如图,点P1（1,y1）,点P2（2,y2）,…,点Pn（n,yn）在函数
（>0）的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1,A1A2,A2A3,…,An-1An都在轴上（n是大于或等于2的正整数）,则点P3的坐标是 ;点Pn的坐标是 （用含n的式子表示）.
（第4题）
5.（2013·江西高安模拟）一个函数具有下列性质①它的图象经过点（-1,1）;②它的图象在第二、四象限内;③在每个象限内,函数值y随自变量的增大而增大,则这个函数的解析式可以为 .
三、解答题
（1）求的值及点E的坐标;
（2）若点F是边上一点,且△FCB∽△DBE,求直线FB的解析式.
（第6题）
7.（2014·江苏大丰模拟）如图,一次函数y=+b的图象与反比例函数
的图象交于A（-2,1）,B（1,m）两点.
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的关系式;
（2）求△AOB的面积.
（第7题）
8.（2013·河北一模）如图,一次函数y=m+5的图象与反比例函数
（≠0）在第一象限的图象交于A（1,n）和B（4,1）两点,过点A作y轴的垂线,垂足为M.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式;
（2）求△OAM的面积S;
（3）在y轴上求一点P,使PA+PB最小.
参考答案与解析
1.C [解析]根据图形,得0∴ 12.C [解析]△ABC的面积
3.C [解析]根据矩形面积,得与y的积等于3,图象过第二象限,所以=-3.
[解析]过点P1,P2向轴作垂线,分别求出这二点的坐标.
6.
（1）在矩形OABC中,
∵ B点坐标为
∴ BC边中点D的坐标为（1,3）.
又 双曲线y=的图象经过点D（1,3）,
∴
解得=3.
∵ 点E在AB上,
∴ 点E的横坐标为2.
又
经过点E,
∴ 点E坐标为.
（2）由
（1）,得BD=1,BE=
BC=2,
∵ △FBC∽△DEB,
（2）在y=--1中,当y=0时,得=-1.
∴ 直线y=--1与轴的交点为C（-1,0）.
∵ 线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC,
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