全国卷1理科数学试题及解析.docx
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全国卷1理科数学试题及解析
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷Ⅰ）
、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.复数2i的共轭复数是（）
12i
D.i
33
A.iB.iC.i
55
2.下列函数中，既是偶函数又在
0，+）单调递增的函数是（
A.yx3
B.yx1C.yx21D.y2
3.执行右面的程序框图，如果输入的那么输出的p是（）
A.120
B.720
C.1440
D.5040
N是6，
4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学
参加同一个兴趣小组的概率为（）
1123
A.B.C.D.
3234
5.已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，
终边在直线y2x上，则cos2=（）
4334
A.B.C.D.
5555
6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，
则相应的俯视图可以为
7.设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，
AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（
A.2
B.3
C.2
D.3
8.xa
x
2x
5
的展开式中各项系数的和为
x
2，则该展开式中常数项为（）
A.-40
B.-20
C.20
D.40
9.由曲线y
x，直线yx
2及y轴所围成的图形的面积为
10A.
3
10.已知a与b均为单位向量，其夹角为
B.4
16
C.
3
，有下列四个命题
D.6
P1:
ab
0,23
P2:
a
P3:
ab
0,3
P4:
a
其中的真命题是
A.P1,P4
B.P1,P3
C.P2,P3
D.P2,P4
11.设函数f（x）sin（
x）
cos（
）（0,
）的最小正周期为，且f（x）f（x），则（）2
A.f（x）在
0,单调递减
2
B.
f（x）在
3
3单调递减
4
C.f（x）在
0,单调递增
2
D.
f（x）在
3
3单调递增
4
12.函数y
1
1的图像与函数x1
2sinx（
4）的图像所有交点的横坐标之和等于（）
A.2
B.4
C.6
D.8
、填空题：
本大题共4小题，每小题5分.
13.若变量x,y满足约束条件32xy9,则zx2y的最小值为
6xy9,
14.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点
F1,F2在x轴上，离心率为
2.过F1的直线L交C于
2
A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为.
15.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥OABCD的体积为.
16.在VABC中，B60o,AC3，则AB2BC的最大值为.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
2等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.
Ⅰ）求数列an的通项公式；
Ⅱ）设bn
log3a1log3a2
log3an,求数列
bn
的前n项和.
18.（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
（Ⅰ）证明：
PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.
19.（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
频数
4
12
42
32
10
Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
2,t94
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为y2,94t1024,t102
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指
标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
20.
（本小题满分12分）
uuruuur在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满足MB//OA，
M点的轨迹为曲线C.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值
21.（本小题满分12分）
已知函数f（x）alnxb，曲线yf（x）在点（1,f
（1））处的切线方程为x2y30.x1x
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x0，且x1时，f（x）lnxk，求k的取值范围.
x1x
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号
22.（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且的顶点重合.已知AE的长为n，AD，AB的长是关于x的方
2
x214xmn0的两个根.
（Ⅰ）证明：
C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若A90，且m4,n6，求C，B，D，E所在圆的半径
23.
（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
（Ⅰ）求C2的方程
于极点的交点为B，求AB
24.（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
设函数f（x）xa3x,其中a0.
（Ⅰ）当a1时，求不等式f（x）3x2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）0的解集为x|x1，求a的值.
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案
、选择题
（1）C
（2）B
（3）
B
（4）A
（5）B
（6）D
（7）B
（8）D
（9）
C
（10）A
（11）A
（12）D
、填空题
2
2
（13）-6
（14）
x
y
1
（15）83
（16）27
16
8
（12...n）n（n1）
2
（18）解：
Ⅰ）因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD
从而BD2+AD2=AB2，故BDAD
又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，则
A1,0,0,B0，3,0,C1,3,0,P0,0,1。
uuuvuuvuuuv
AB（1,3,0）,PB（0,3,1）,BC（1,0,0）
uuur
设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），则{nuAuuBr0nPB0
因此可取n=（3,1,3）
uuur
设平面PBC的法向量为m，则{muPuBur0,mBC0
19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3，所以用A配方生产的产品的优质品
100
率的估计值为0.3。
3210
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品
100
率的估计值为0.42
Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90,94,94,102,102,110的频率分别为
0.04，,054,0.42，因此
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
（20）解：
（Ⅰ）设M（x,y）,由已知得B（x,-3）,A（0,-1）.
uuruuuru所以MA=（-x,-1-y）,MB=（0,-3-y）,
uuruuuuruuur
uuur
AB=（x,-2）.
即（-x,-4-2y）?
（x,-2）=0.
再由题意可知（MA+MB）?
AB=0,
所以曲线C的方程式为y=1x2-2.
4
12（Ⅱ）设P（x0,y0）为曲线C：
y=x2-2
4
1因此直线l的方程为yy01x0（x
2
2
则O点到l的距离d|2y0x0|.又
x024
上一点，因为
x0），即x0x
y041x022，
4
11
y'=1x,所以l的斜率为1x0
220
2
2y2y0x0
所以
0。
当x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
21）解：
1,
考虑函数h（x）2lnx（k1）（x1）（x0），则
h'（x）（k1）（x21）2x。
k（x21）（x1）2
（i）设k0，由h'（x）2知，当x1时，h'（x）0。
而h
（1）0，故
设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-，0]
（22）解：
（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，
AD×AB=mn=A×EAC,
ADAE
即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB
ACAB
因此∠ADE=∠ACB
所以C,B,D,E四点共圆。
2
（Ⅱ）m=4,n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.
故AD=2，AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.
1
由于∠A=900，故GH∥AB,HF∥AC.HF=AG=5，DF=（12-2）=5.
2
故C,B,D,E四点所在圆的半径为52
23）解：
XY
I）设P（x,y）,则由条件知M（X,Y）.由于M点在C1上，所以
22
x
即x4cos
y44sin
2cos,
2
y22sin
2
从而C2的参数方程为
x4cosy44sin
为参数）
（Ⅱ）
曲线
C1的极坐标方程为
4sin
射线
与C1的交点A的极径为
3
1
射线
与C2的交点B的极径为
3
2
所以|AB|
21|23.
（24）
解：
（Ⅰ）
当a
1时，f（x）3x
2可化为
|x
1|2。
由此可得
x3或x1。
故不等式f（x）3x2的解集为
{x
|x3或x1}。
（Ⅱ）
由f（x）0得
xa
3x0
此不等式化为不等式组
x
x
ax
或
a3x0a
a
x
3x
xa
x
a
即
xa或
4
a
a
2
因为a0，所以不等式组的解集为x|x
，曲线C2的极坐标方程为8sin
4sin，
3
8sin。
3
0
由题设可得2=1，故a2
2011年普通高等学校招生全国统一考试
（新课标）理科数学解析
第I卷
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数
2i的共轭复数是
12i
3
3
（A）
i（B）
i
C.iD
5
5
解析：
2i=（2i）（1
2i）
i,共轭复数为C
12i5
2）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）单调递增的函数是
A）yx3（B）yx
1C.yx21（D）y2x
p是
小组，每位同学参
解析:
由图像知选B
（3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的
（A）120
（B）720
（C）1440
D.5040
解析：
框图表示annan1，且a11所求a6720选B
（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
解析;每个同学参加的情形都有
3种，故两个同学参加一组的情形有
9种，而参加同一组的情形只有3种，所求
3
的概率为p=
9
1选A
3
5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线
y2x上，则cos2=
222cossin1tan
解析：
由题知tan2,cos2222cossin1tan
53选B
433
（A）4（B）3（C）3
555
（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
D）
解析：
条件对应的几何体是由底面棱长为r
的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r
的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
故选D
7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与
C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，AB为C
的实轴长的2倍，则C的离心率为
A）2
B）3
C）2
D）3
解析：
通径|AB|=
2b2a得b22a2a
22ac
2a2，选B
8）x
2x
5
1的展开式中各项系数的和为
x
2，则该展开式中常数项为
A）
-40
B）-20
C）
20
解析1.令
x=1
得a=1.
故原式=
1
（x1）（2x
x
（D）40
1）。
（x1）（2x1）的通项
xxx
Tr1C5r（2x）52r（
1rx）
C5r
（1）r25
rx52r，由5-2r=1
得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,
对应的常数项=-40，故所求的常数项为40，选D
若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出1；若第1个括号提出1，从余下的括号中选2个提出1，选3个提出x.
xxx
1故常数项=XC52（2X）2C33
（1）3
X
（9）由曲线yx，直线yx
解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，
11
x
121233
XC52（X）2C33（2X）3=-40+80=40
2及y轴所围成的图形的面积为
10
A）130
B）4
4
解析;用定积分求解s（x
0
（C）136
23124
x2）dx（x2x22x）|40
32
D）6
16
3
，选C
10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
P1:
ab1
0,23
P2:
a
P3:
ab
0,3
P4:
a
其中的真命题是
A）P1,P4
B）P1,P3
C）P2,P3
D）P2,P4
解析：
ab
a2b2
2abcos22cos1得，
1
cos，
2
0,23
。
由
ab
a2b2
2abcos
22cos1得cos
11）设函数f（x）sin（x
）cos（
）（
0,
2）的最小正周期为
，且f（x）
f（x），
A）f（x）在0,2单调递减
B）
3
f（x）在,3单调递减
44
C）f（x）在0,单调递增
2
D）
3
f（x）在,3单调递增
44
解析：
f（x）2sin（x），所以
4
f（x）2sin（2x）2cos2x，选A
1
（12）函数y的图像与函数y2sinx（2x1x
（A）2（B）4（C）6（D）8
1
解析：
图像法求解。
y1的对称中心是（1,0）也是y2sinx（2x4）的中心，x1
2，又f（x）
为偶函数，
42k
k,k
z，
4）的图像所有交点的横坐标之和等于
2x
4他
们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点。
不妨把他们的横坐标由小到大设为
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，则x1x8x2x7x3x6x4
x52，所以选D
第Ⅱ卷
、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
32xy9,
13）若变量x,y满足约束条件632xxyy9,9,则z
解析：
画出区域图知，
2y的最小值为
x
2x
当直线zx2y过2x
xy
，离心率为2。
2
过F1的直线L交C于A,B两点，且VABF2的周长为16，那么C的方程为
c2
解析：
由a2得a=4.c=22,从而b=8,
4a16
2
x
16
1为所求。
15）已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6,BC23,则棱锥O
ABCD
的体积为。
解析：
设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=1（23）26223,
OM=42（23）22，VOABCD31623283.
（16）
在VABC中，B
60o,AC
3，则AB2BC的最大值为。
解析：
AC
1200C
1200
0BCAC
A,A（0,1200）,2BC
2sinA
sinAsinB
AB
AC
2AB
2sinC
2sin（1200A）3cosAsinA；
sinC
sinB
AB
2BC
3cosA
5sinA
28sin（A）27sin（A），故最大值是
27
、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17）（本小题满分12分）
等比数列an的各项均为正数，且2a1
3a2
1,a32
9a2a6.
Ⅰ）求数列an的通项公式；
由条件可知a>0,故q
（12...n）n（n1）
解析1：
（Ⅰ）因为DAB60,AB2AD,由余弦定理得BD3AD
从而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD
所以BD平面PAD.故PABD
因此可取n=（3,1,3）
设平面PBC的法向量为m，则
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的
质量指标值，得到下面试验结果：
Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为
Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：
元）与其质量指标值t的关系式为
X（单位：
元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质
量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
228解析：
（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为228=0.3，所以用A配方生产的产品的优100
质品率的估计值为0.3。
3210
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为0.42，所以用B配方生产的产品的优质品
100
率的估计值为0.42
90,94,94,102,102,110的频率分别为
Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间
0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P（X=-2）=0.04,P（X=2）=0.54,P（X=4）=0.42,
即X的分布列为
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
20）（本小题满分12分）
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）uuuruurMB//OA，
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,-1），B点在直线y=-3上，M点满足
uuru
MA
uuruuurMBBA，
M点的轨迹为曲线C。
Ⅰ
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