第03讲 平方差公式.docx

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第03讲平方差公式

第03讲平方差公式

熟练运用运算公式。

学会公式的变形。

题型一、平方差公式的适用条件

（1）只要符合公式的结构特征，就可以运用这一公式．

（2）速记口诀：

平方差公式有两项，符号相反切记牢，两数和乘两数差，等于两数平方差．

例1、下列各式能用平方差公式计算的是（　）

A．（a+b）（a-2b）B．（x+2y）（x-2y）C．（-a+2b）（a-2b）D．（-2m-n）（2m+n）

【趁热打铁】

1、下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）

A．

B．

C．

D．

2、下列各式中，不能运用平方差公式计算的是（）

A．

B．

C．

D．

3、下列各式中计算正确的是（）

A．（a+b）（-a-b）=a2-b2B．（a2-b3）（a2+b3）=a4-b6

C．（-x-2y）（-x+2y）=–x2-4y2D．（2x2+y）（2x2-y）=2x4-y4

4、计算

的结果是（）

A．

B．

C．

D．以上答案都不对

题型二：

应用平方差公式进行计算

例2、如果

，那么

等于（）

A．±4B．-4C．4D．-2

【趁热打铁】

1、已知m+n=3，m-n=2，那么m2-n2的值是__________．

2、已知

，且

，则

__________．

3、如果（3m＋n＋3）（3m ＋n－3）＝40，则3m ＋n的值为__________；

例3、计算：

__________．

【趁热打铁】

1、计算：

=____________．

2、计算：

20182﹣2019×2017＝　　．

3、将202×198变形正确的是（　　）

A．2002﹣4B．2022﹣4C．2002+2×200+4D．2002﹣2×200+4

例4、代数式（m﹣2）（m+2）（m2+4）﹣（m4﹣16）的结果为（　　）

A．0B．4mC．﹣4mD．2m4

【趁热打铁】

1、某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用两数和乘以这两数差公式计算：

3（4+1）（42+1）＝（4﹣1）（4+1）（42+1）＝（42﹣1）（42+1）＝162﹣1＝255．

请借鉴该同学的经验，计算：

．

2、

知识点三、乘法公式与图形面积

例5、如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）

A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a（a﹣b）＝a2﹣ab

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a（a+b）＝a2+ab

【趁热打铁】

1、图①所示是边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．图②是由图①中阴影部分拼成的一个长方形．

（1）设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请用含a，b的式子表示：

S1＝　　，S2＝　　；（不必化简）

（2）以上结果可以验证的乘法公式是　　；

（3）利用

（2）中得到的公式，计算：

20192﹣2020×2018．

2、如图1，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．

Ø课堂狙击

一、选择题

1．（2020春•娄星区期末）下列算式中能用平方差公式计算的是（　　）

A．（2x+y）（2y﹣x）B．（x﹣y）+（y﹣x）

C．（3a﹣b）（﹣3a+b）D．（﹣m+n）（﹣m﹣n）

2．（2020春•文山州期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　）

A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）

C．（x+y）（﹣x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）

3．（2020春•岑溪市期末）计算（a+2）（2﹣a）的结果为（　　）

A．2a﹣4B．a2﹣4C．4﹣a2D．a2﹣2a+4

4．（2020•盱眙县校级模拟）下列运算正确的是（　　）

A．（a5）2＝a7B．（a+b）2＝a2+b2

C．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣2a）2＝﹣4a2

5．（2020春•宁化县期末）在计算（x+2y）（﹣2y+x）时，最佳的方法是（　　）

A．运用多项式乘多项式法则B．运用平方差公式

C．运用单项式乘多项式法则D．运用完全平方公式

二、填空题

6．（2020春•靖远县期末）已知m+n＝12，m﹣n＝3，则m2﹣n2＝　　．

7．（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为　　．

8．（2020春•曲阳县期末）（m+4）（　　）＝m2﹣16．

9．（2020秋•海淀区校级月考）下列各式能用乘法公式进行计算的是　　（填序号）．

①（﹣4x+5y）（﹣4x﹣5y）②（﹣4y﹣5x）（﹣5y+4x）③（5y+4x）（﹣5y﹣4x）④（﹣4x+5y）（5y+4x）

三、解答题

10．计算：

（1）（an+b）（an﹣b）；

（2）（a+1）（a﹣1）（a2+1）

（3）（a+2）（a﹣2）；（4）（3a+2b）（3a﹣2b）；

（5）（﹣x﹣1）（1﹣x）；（6）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3）

11．你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？

遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．

①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1

②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1

③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1

…

由此我们可以得到：

（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）＝　　．

请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：

（1）（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+…+（﹣2）+1；

（2）若x3+x2+x+1＝0，求x2020的值．

12、

（1）如图①所示的大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　　．

（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是　　．（写成多项式相乘的积形式）

（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：

　　．

（4）应用公式计算：

（1

）（1

）（1

）．

Ø课堂反击

1．（2020春•锡山区期末）（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（　　）

A．4x2+1B．1﹣4x2C．1+4x2D．﹣4x2﹣1

2．（2020春•隆回县期末）计算（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）的结果是（　　）

A．x8+y8B．x8﹣y8C．x6+y6D．x6﹣y6

3．（2020春•三水区期末）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（　　）

A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b]B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]

C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）]D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]

4.下列各式：

①（x﹣2y）（2y+x）；②（x﹣2y）（﹣x﹣2y）；③（﹣x﹣2y）（x+2y）；④（x﹣2y）（﹣x+2y）．其中能用平方差公式计算的是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．②④

5.若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（　　）

A．25B．5C．10D．15

6．（2020春•凌海市期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）

A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2

C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）

7．（2020•红花岗区二模）如图

（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图

（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（　　）

A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2

C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）

二、填空题

8．（2020春•台儿庄区期末）若（x+ay）（x﹣ay）＝x2﹣16y2，则a的值为　　．

9．（2020春•平阴县期末）如果（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，则3m+n的值为　　．

10．（2020秋•海淀区校级月考）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，一定是“创新数”的有　　（填序号）．

①1②54③16④2k+1（k为正整数）

11．（2020春•石阡县期末）在边长为a的正方形中挖掉一边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是　　．

三、解答题

12．计算：

（1）（2m+3n）（2m﹣3n）；

（2）（﹣3a

b）（﹣3a

b）；

（3）（﹣4x+y）（y+4x）；（4）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）﹣（x+z）（x﹣z）．

13．（2020春•通州区期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．

（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：

S₁＝　　，S₂＝　　；（不必化简）

（2）以上结果可以验证的乘法公式是　　．

（3）利用

（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．

14．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图②是将图①中阴影部分拆开后拼成的一个长方形．

（1）设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2分别是：

S1=S2=；

（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式是；

（3）试利用这个公式计算：

①9×11×101

②（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）＋1．