高中数学23二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式及其解法讲义新人教A版必修第一册.docx

高中数学23二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式及其解法讲义新人教A版必修第一册.docx

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高中数学23二次函数与一元二次方程不等式第1课时一元二次不等式及其解法讲义新人教A版必修第一册

第1课时　一元二次不等式及其解法

学习目标

核心素养

1.掌握一元二次不等式的解法（重点）.

2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）.

通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.

1．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

2．一元二次不等式的一般形式

（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）．

（2）ax2＋bx＋c≥0（a≠0）．

（3）ax2＋bx＋c＜0（a≠0）．

（4）ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．

思考1：

不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？

提示：

此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．

3．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

思考2：

类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？

提示：

不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．

4．三个“二次”的关系

设y＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

解不等式y＞0或y＜0的步骤

求方程y＝0的解

有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2）

有两个相等的实数根x1＝x2＝－

没有

实数根

画函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象

得等的集不式解

y＞0

{x|x＜x1_或x＞x2}

R

y＜0

{x|x1＜x＜x2}

∅

∅

思考3：

若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？

提示：

结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.

1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为（　　）

A.

B.

C.

D．R

C　[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒（x－3）（2x＋1）≥0⇒x≥3或x≤－.]

2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为（　　）

A.　B.

C．∅D．R

D　[因为Δ＝（－2）2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]

3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．

{x|x>5或x<－1}　[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，

故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]

4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．

∅　[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝（－5）2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．

由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]

一元二次不等式的解法

【例1】　解下列不等式：

（1）2x2＋7x＋3>0；

（2）－4x2＋18x－≥0；

（3）－2x2＋3x－2<0.

[解]　

（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.

（2）原不等式可化为2≤0，所以原不等式的解集为.

（3）原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.

2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.

3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.

5写解集.根据图象写出不等式的解集.

1．解下列不等式

（1）2x2－3x－2>0；

（2）x2－4x＋4>0；

（3）－x2＋2x－3<0；

（4）－3x2＋5x－2>0.

[解]　

（1）∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，

∴不等式2x2－3x－2>0的解集为

.

（2）∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，

∴不等式x2－4x＋4>0的解集为.

（3）原不等式可化为x2－2x＋3>0，

由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，

∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.

（4）原不等式可化为3x2－5x＋2<0，

由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，

∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为.

含参数的一元二次不等式的解法

【例2】　解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1<0.

[思路点拨]　①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？

②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？

[解]　当a＝0时，原不等式可化为x>1.

当a≠0时，原不等式可化为（ax－1）（x－1）<0.

当a<0时，不等式可化为（x－1）>0，

∵<1，∴x<或x>1.

当a>0时，原不等式可化为（x－1）<0.

若<1，即a>1，则

若＝1，即a＝1，则x∈∅；

若>1，即0

综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当01时，原不等式的解集为.

解含参数的一元二次不等式的一般步骤

提醒：

对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．

2．解关于x的不等式：

ax2－2≥2x－ax（a<0）．

[解]　原不等式移项得ax2＋（a－2）x－2≥0，

化简为（x＋1）（ax－2）≥0.

∵a<0，∴（x＋1）≤0.

当－2

当a＝－2时，x＝－1；

当a<－2时，－1≤x≤.

综上所述，

当－2

当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；

当a<－2时，解集为.

三个“二次”的关系

[探究问题]

1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？

这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？

提示：

y＝x2－2x－3的图象如图所示．

函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1

方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）或ax2＋bx＋c<0（a>0）是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元二次不等式．

2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？

观察结果你发现什么问题？

这又说明什么？

提示：

方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．

不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．

3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）和ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

提示：

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a>0）和ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集分别为{x|xx2}，{x|x1

【例3】　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[思路点拨]　→→→→

[解]　法一：

由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为.

法二：

由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

1．（变结论）本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．

[解]　由根与系数的关系知＝－5，＝6且a<0.

∴c<0，＝－，故不等式cx2－bx＋a>0，

即x2－x＋<0，即x2＋x＋<0.

解之得.

2．（变条件）若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2

[解]　法一：

由ax2＋bx＋c≥0的解集为知a＜0.又×2＝＜0，则c＞0.

又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，

∴－＝，∴＝－.

又＝－，∴b＝－a，c＝－a，

∴不等式变为x2＋x＋a＜0，

即2ax2＋5ax－3a＞0.

又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，

所求不等式的解集为.

法二：

由已知得a＜0且＋2＝－，×2＝知c＞0，

设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－，x1·x2＝，

其中＝＝－，

－＝＝＝＋＝－，

∴x1＝＝－3，x2＝.

∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为.

已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：

1根据解集来判断二次项系数的符号；

2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；

3约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

1．解一元二次不等式的常见方法

（1）图象法：

由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：

①化不等式为标准形式：

ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）；

②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；

③由图象得出不等式的解集．

（2）代数法：

将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．

当m

若（x－m）（x－n）＜0，则可得{x|m＜x＜n}．

有口诀如下：

大于取两边，小于取中间．

2．含参数的一元二次型的不等式

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑

（1）关于不等式类型的讨论：

二次项系数a＞0，