高中数学 第二章 基本初等函数Ⅰ第2节 对数函数6教案 新人教A版必修1.docx

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高中数学第二章基本初等函数Ⅰ第2节对数函数6教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）第2节对数函数（6）教案新人教A版必修1

导入新课　　　　　

思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？

这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：

对数函数及其性质（3）．

思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：

对数函数及其性质（3）．

推进新课　　　　　

①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．

②通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？

③如果是，那么对应关系是什么？

如果不是，请说明理由．

④探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．

⑤探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．

⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系．

讨论结果：

①y＝2x与x＝log2y.

X

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

Y

…

1

2

4

8

…

y＝log2x.

Y

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…

X

…

1

2

4

8

…

图象如图7.

图7

②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数（x∈R，y∈R＋），而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．

③由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈（0，＋∞）〕叫做函数y＝2x（x∈R）的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈（0，＋∞）〕是指数函数y＝2x（x∈R）的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈（0，＋∞）〕是指数函数y＝2x（x∈R）的反函数；同时，指数函数y＝2x（x∈R）也是对数函数y＝log2x〔x∈（0，＋∞）〕的反函数．因此，指数函数y＝2x（x∈R）与对数函数y＝log2x〔x∈（0，＋∞）〕互为反函数．

以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈（0，＋∞）与y＝3x（x∈R）互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x（x∈R）互为反函数．

④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．

⑤通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．

⑥通过②与⑤类比归纳知道，y＝ax（a>0，且a≠1）的反函数是y＝logax（a＞0且a≠1），且它们的图象关于直线y＝x对称．

由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：

①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y＝log3x－1.

2从图象上观察它们之间有什么样的关系？

3用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：

①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y＝log3x－1.,4从图象上观察它们之间有什么样的关系？

5你能推广到一般的情形吗？

活动：

学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．

学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．

讨论结果：

（1）如图8.

图8

（2）观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3（x＋1），y＝log3（x－1）的图象间有如下关系：

y＝log3（x＋1）的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；

y＝log3（x－1）的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；

y＝log3（x－1）的图象由y＝log3（x＋1）的图象向右移动2个单位得到；

y＝log3（x＋1）的图象由y＝log3（x－1）的图象向左移动2个单位得到．

（3）如图9.

图9

（4）观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：

y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；

y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；

y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；

y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．

（5）由上面的观察讨论可知，一般情况如下：

①由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga（x＋h）的图象的变化规律为：

当h＞0时，只需将函数y＝logax的图象向左平移h个单位就可得到函数y＝loga（x＋h）的图象；

当h＜0时，只需将函数y＝logax的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝loga（x＋h）的图象．

②由函数y＝logax的图象得到函数y＝logax＋b的图象的变化规律为：

当b＞0时，只需将函数y＝logax的图象向上平移b个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象；

当b＜0时，只需将函数y＝logax的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象．

③由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga（x＋h）＋b的图象的变化规律为：

画出函数y＝logax的图象，先将函数y＝logax的图象向左（当h＞0时）或向右（当h＜0时）平移|h|个单位，可得到函数y＝loga（x＋h）的图象，再将函数y＝loga（x＋h）的图象向上（当b＞0时）或向下（当b＜0时）平移|b|个单位就可得到函数y＝loga（x＋h）＋b的图象．

这样我们就可以很方便地将函数y＝logax的图象进行平移得到与函数y＝logax有关的函数图象．那么，你能很方便地由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga|x|的图象吗？

留作思考练习，同学们课下完成．

例1已知a>0，a≠1，f（logax）＝（x>0）．

（1）求f（x）的表达式；

（2）求证：

函数f（x）在R上是增函数．

活动：

学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．

（1）把logax看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数的关系，求出logax中的x，然后代入求解．

（2）证明函数的增减性要用函数单调性的定义．学生回顾单调性的证明方法与步骤，要按规定的格式书写．

（1）解：

设t＝logax，则x＝at，f（t）＝.

所以f（x）＝.

（2）证明：

设x1，x2∈R，x1

f（x1）－f（x2）＝－＝，

当a>1时，ax1－ax2<0，a2－1>0，

当00，a2－1<0，

而ax1ax2及a·ax1·ax2＋1均为正，

所以对一切a>0，a≠1，总有f（x1）

所以f（x）在R上是增函数．

点评：

换元法是解题常用的数学方法，要注意体会．

例2已知F（x）＝f（x）－g（x），其中f（x）＝loga（x－1），并当且仅当（x0，y0）在f（x）的图象上时，点（2x0,2y0）在y＝g（x）的图象上．

（1）求y＝g（x）的解析式；

（2）当x在什么范围时，F（x）≥0?

活动：

学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．

（1）由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式．由于P0（x0，y0）与P1（2x0,2y0）是相关的，如果我们能把y＝g（x）上的点P1（2x0,2y0）的坐标通过变换，表示为P0（x0，y0）的坐标的相关形式，代入即可，也称相关点法；

（2）求字母的取值范围一般是转化为不等式．在

（1）的基础上，求出F（x），由F（x）≥0得不等式，根据不等式的类型来解．

解：

（1）由点（x0，y0）在y＝loga（x－1）的图象上，

得y0＝loga（x0－1）．

令2x0＝u,2y0＝v，则x0＝，y0＝，

所以＝loga（－1），即v＝2loga（－1）．

由（2x0,2y0）在y＝g（x）的图象上，即（u，v）在y＝g（x）的图象上，

故y＝g（x）＝2loga（－1）．

（2）F（x）＝f（x）－g（x）＝loga（x－1）－2loga（－1），

当a>1时，由F（x）≥0，可解得2

当0

点评：

（1）注意求函数解析式的方法，特别是相关点法．

（2）解对数不等式，当底数是字母时，应分情况求解，注意分类讨论的数学思想的运用．

已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N等于（　　）

A．∅B．{x|0

答案：

D

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有|f（x）－g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1（x）＝loga（x－3a）与f2（x）＝loga（a＞0，a≠1），给定区间[a＋2，a＋3]．

（1）若f1（x）与f2（x）在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；

（2）讨论f1（x）与f2（x）在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．

活动：

学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的定义解题．

解：

（1）依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，

所以0＜a＜1.

（2）|f1（x）－f2（x）|＝|loga（x2－4ax＋3a2）|.

令|f1（x）－f2（x）|≤1，得－1≤loga（x2－4ax＋3a2）≤1.①

因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，

所以g（x）＝loga（x2－4ax＋3a2）在[a＋2，a＋3]上为减函数．

从而g（x）max＝g（a＋2）＝loga（4－4a），g（x）min＝g（a＋3）＝loga（9－6a），

于是①成立，当且仅当

解此不等式组得0

故当0

当a＞且a≠1时，f1（x）与f2（x）在给定区间[a＋2，a＋3]上是非接近的．

1．互为反函数的概念及其图象间的关系．

2．对数函数图象的平移变换规律．

3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．

4．指数、对数函数图象性质对比．

课本习题2.2B组　1、4、5.

学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于