云南省丽江市玉龙五中学年九年级上第一次段考数学试题解析版 2.docx
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云南省丽江市玉龙五中学年九年级上第一次段考数学试题解析版2
2015-2016学年云南省丽江市玉龙五中九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（每题3分共30分）
1．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
2．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（ ）
A．
B．5
C．
D．3
3．以正方形ABCD的一组邻边AD、CD向形外作等边三角形ADE、CDF，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD平分∠EBFB．∠DEF=30°C．BD⊥EFD．∠BFD=45°
4．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（ ）
A．
cmB．
cmC．
cmD．
cm
5．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
6．党的“十六大”提出要全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在21世纪的头二十年（2001﹣2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每十年国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ）
A．（1+x）2=2B．（1+x）2=4C．1+2x=2D．（1+x）+2（1+x）=4
7．方程（x﹣1）2=x﹣1的根是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．1或2
8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（ ）
A．24B．24或16C．16D．22
9．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，方程可变形为（ ）
A．（x+
）2=
B．（x+
）2=
C．（x﹣
）2=
D．（x﹣
）2=
10．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
二、选择题答案表：
（每题3分共18分）
11．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠EAB，则∠EAC的度数为 ．
12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是 ．
13．方程（1﹣2x）（x+2）=1化为一般式为 ，一次项系数为 ．
14．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 ．
15．如果a是一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+3x﹣m=0的一根，那么a的值是 ．
16．已知方程5x2+kx﹣6=0有一个根是2，则另一个根是 ，k= ．
三、作图题（6分）
17．如图：
△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90度，工人师傅把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请你协助工人师傅用尺规画出裁割线．（不写画法，保留作图痕迹）
四、解下列一元二次方程（每题5分，共20分）
18．（20分）（2015秋•丽江校级月考）
（1）2x（x﹣3）=x﹣3（分解因式法）
（2）y2+6y+7=0（配方法）
（3）3t2﹣4t﹣5=0（公式法）
（4）（2x+1）2=（x﹣2）2．
五．解答题（共52分）
19．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，求k的取值范围．
20．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
21．已知：
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．
（1）求证：
AF=CE；
（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．
22．如图，某农户发展养禽业，准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB（墙长为25米）围成一个面积为120平方米的长方形养鸡场，这个养鸡场的长和宽各是多少？
23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E，求证：
四边形CDEF是菱形．
24．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从A点出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，当其中一点首先到达终点时运动停止，若P、Q分别同时从A，B出发，几秒后四边形APQB是△ABC面积的
？
2015-2016学年云南省丽江市玉龙五中九年级（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分共30分）
1．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，且E，F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数为（ ）
A．75°B．60°C．45°D．30°
考点：
菱形的性质．
分析：
画出图形：
根据菱形的性质求出∠C+∠EAF=180°，又因为∠B+∠C=180°，推出BE=
BC，AB=BC，BE=
AB，最后可推出∠EAF=60°．
解答：
解：
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFC+AEC=180°，
∴∠C+∠EAF=180°．
又∵∠B+∠C=180°，
∴∠EAF=∠B．
又∵BE=
BC，AB=BC，
∴BE=
AB，
∴∠BAE=30°，
∴∠B=60°，
∴∠EAF=60°．
故选B．
点评：
此题主要考查的知识点：
（1）直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半的逆定理；
（2）菱形的两个邻角互补；（3）同角的补角相等；（4）菱形的四边相等．
2．矩形的一条长边的中点与另一条长边构成等腰直角三角形，已知矩形的周长是36，则矩形一条对角线长是（ ）
A．
B．5
C．
D．3
考点：
矩形的性质．
分析：
因为是等腰直角三角形，所以底角是45°，所以中点与矩形顶点的连线也是矩形直角的角平分线，即矩形被分成三个等腰直角三角形，因此矩形的长是宽的2倍．再根据周长即可求出长与宽，利用勾股定理就可以求出对角线的长．
解答：
解：
如图，∵△ABE是等腰直角三角形，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
又矩形ABCD，∴∠DAE=∠90°﹣45°=45°，
∴Rt△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=DE，
∵点E是中点，
∴CD=2AD，
又∵（AD+CD）×2=36，
∴AD=6，CD=12，
所以对角线的长=
=6
．
故选A．
点评：
判断出矩形被分成三个等腰直角三角形，然后根据中点得出矩形的长是宽的2倍，是解题的关键．
3．以正方形ABCD的一组邻边AD、CD向形外作等边三角形ADE、CDF，则下列结论中错误的是（ ）
A．BD平分∠EBFB．∠DEF=30°C．BD⊥EFD．∠BFD=45°
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：
证明题．
分析：
根据正方形对角线相互垂直平分相等的性质对各个选项进行分析验证即可．
解答：
解：
∵是正方形ABCD和等边三角形ADE、CDF
∴可得△BAE≌△BCF
∴∠ABE=∠CBF
∵BD平分∠ABC
∴BD平分∠EBF，A正确；
∠EDF=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°，DE=DF∴∠DEF=15°，B错．
故选B．
点评：
解决本题需充分利用正方形和等边三角形相等的边和角来构造全等，求得度数．
4．已知正方形ABCD的边长是10cm，△APQ是等边三角形，点P在BC上，点Q在CD上，则BP的边长是（ ）
A．
cmB．
cmC．
cmD．
cm
考点：
正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；勾股定理．
分析：
在Rt△ABP和△PCQ中，可将等边三角形的AP和PQ的长表示出来，根据等边三角形的性质，两边长相等进行求解．
解答：
解：
设BP的长为x，则PC=CQ=10﹣x
在Rt△ABP中，AP=
=
在Rt△PCQ中，PQ=
（10﹣x）
∵AP=PQ，∴
=
（10﹣x）
解得：
x1=
，x2=
＞10（舍去）
∴BP的边长是
；故选C．
点评：
本题主要考查正方形和等边三角形的性质及应用．
5．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角B．两组对边分别相等
C．内角和为360°D．对角线平分对角
考点：
正方形的性质；菱形的性质．
专题：
证明题．
分析：
根据正方形对角线相互垂直平分相等和菱形对角线相互垂直平分的性质对各个选项进行分析就不难得到答案．
解答：
解：
A正确，因为正方形的四个角都是直角而菱形不是；
B错误，因为正方形和菱形的两组对边都相等；
C错误，因为正方形和菱形的内角和均为360°；
D错误，因为正方形和菱形的对角线均平分对角．
故选A．
点评：
此题主要考查正方形和菱形的性质，应熟练掌握．
6．党的“十六大”提出要全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在21世纪的头二十年（2001﹣2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每十年国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（ ）
A．（1+x）2=2B．（1+x）2=4C．1+2x=2D．（1+x）+2（1+x）=4
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题；压轴题．
分析：
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案．
解答：
解：
设2000年生产总值为1，
则2020年的国民生产总值为22=4，
依题意得：
2010年的国民生产总值=1×（1+x）=1+x，
则2020年的国民生产总值=（1+x）（1+x）=（1+x）2=4
∴（1+x）2=4．
故选B．
点评：
此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：
原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．
7．方程（x﹣1）2=x﹣1的根是（ ）
A．1B．﹣1C．2D．1或2
考点：
解一元二次方程-因式分解法．
分析：
直接利用提取公因式法分解因式解方程求出答案．
解答：
解：
（x﹣1）2=x﹣1
（x﹣1）2﹣（x﹣1）=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
解得：
x1=1，x2=2．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了因式分解法解方程，正确提取公因式是解题关键．
8．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20=0的一个实数根，则此三角形的周长是（ ）
A．24B．24或16C．16D．22
考点：
解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
专题：
计算题．
分析：
把方程左边因式分解得到（x﹣10）（x﹣2）=0，再把方程化为两个一元一次方程x﹣10=0或x﹣2=0，解得x1=10，x2=2，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为10，
然后计算三角形的周长．
解答：
解：
x2﹣12x+20=0，
∴（x﹣10）（x﹣2）=0，
∴x﹣10=0或x﹣2=0，
∴x1=10，x2=2，
而三角形两边的长分别是8和6，
∵2+6=8，不符合三角形三边关系，x=2舍去，
∴x=10，即三角形第三边的长为10，
∴三角形的周长=10+6+8=24．
故选A．
点评：
本题考查了利用因式分解法解一元二次方程的方法：
先把方程化为一般形式，然后把方程左边因式分解，这样就把方程化为两个一元一次方程，再解一元一次方程即可．也考查了三角形三边的关系．
9．用配方法解关于x的方程x2+px+q=0时，方程可变形为（ ）
A．（x+
）2=
B．（x+
）2=
C．（x﹣
）2=
D．（x﹣
）2=
考点：
解一元二次方程-配方法．
专题：
配方法．
分析：
首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方，右边是常数的形式．
解答：
解：
∵x2+px+q=0，
⇒x2+px=﹣q，
∴x2+px+
=﹣q+
，
∴（x+
）2=
，
故选A．
点评：
此题考查配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
10．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35°B．45°C．50°D．55°
考点：
菱形的性质．
专题：
几何图形问题．
分析：
延长PF交AB的延长线于点G．根据已知可得∠B，∠BEF，∠BFE的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF的度数，从而不难求得∠FPC的度数．
解答：
解：
延长PF交AB的延长线于点G．
在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF=PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP=90°，
∴EF=
PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∵PF=
PG（中点定义），
∴EF=PF，
∴∠FEP=∠EPF，
∵∠BEP=∠EPC=90°，
∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=
（180°﹣70°）=55°，
∴∠FPC=55°．
故选：
D．
点评：
此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．
二、选择题答案表：
（每题3分共18分）
11．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE=3∠EAB，则∠EAC的度数为 45° ．
考点：
矩形的性质．
专题：
计算题．
分析：
根据矩形的性质以及垂直的定义，结合已知条件即可求解；
解答：
解：
∵四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的对角线，
∴OA=OB，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠DAE=3∠BAE，∠DAE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°．
∵在矩形ABCD，∠DAE+∠ADB=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ABD=∠DAE=67.5°，即∠BAC=∠ABD=67.5°，
∴∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=67.5°﹣22.5°=45°，
故答案为：
45°．
点评：
本题考查矩形的性质，关键熟记矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分．
12．如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是
．
考点：
正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
专题：
压轴题．
分析：
连接CH，可知△CFH≌△CDH（HL），故可求∠DCH的度数；根据三角函数定义求解．
解答：
解：
连接CH．
∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，
∴∠F=∠D=90°，
∴△CFH与△CDH都是直角三角形，
在Rt△CFH与Rt△CDH中，
∵
，
∴△CFH≌△CDH（HL）．
∴∠DCH=
∠DCF=
（90°﹣30°）=30°．
在Rt△CDH中，CD=3，
∴DH=tan∠DCH×CD=
．
故答案为：
．
点评：
此题主要考查旋转变换的性质及三角函数的定义，作出辅助线是关键．
13．方程（1﹣2x）（x+2）=1化为一般式为 ﹣2x2﹣3x+1=0 ，一次项系数为 ﹣3 ．
考点：
一元二次方程的一般形式．
分析：
根据去括号、移项、合并同类项，可得一元二次方程的一般式．
解答：
解：
去括号、移项，合并同类项，得
﹣2x2﹣3x+1=0，
一次项系数为﹣3，
故答案为：
﹣2x2﹣3x+1=0，﹣3．
点评：
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
14．某种药品的价格经过两次连续降价后，由每盒100元下调至64元．假设每次降价的百分率是x，列出方程 100（1﹣x）2=64 ．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
关系式为：
药品原价×（1﹣降低的百分比）2=下调后的价格，即可得出答案．
解答：
解：
设该药品平均每次降价的百分率是x，根据题意得出：
100（1﹣x）2=64．
故答案为：
100（1﹣x）2=64．
点评：
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到下调后价格的关系式是解决本题的关键．
15．如果a是一元二次方程x2﹣3x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+3x﹣m=0的一根，那么a的值是 0或3 ．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解．
分析：
根据方程的解的定义，把x=a，x=﹣a分别代入方程x2﹣3x+m=0和x2+3x﹣m=0，可得m的值，再求解以a为未知数的方程即可．
解答：
解：
把x=a，x=﹣a分别代入方程x2﹣3x+m=0和x2+3x﹣m=0得
a2﹣3a+m=0，a2﹣3a﹣m=0
即a2﹣3a=﹣m且a2﹣3a=m
两式相加得：
2a2﹣6a=0，即2a（a﹣3）=0
解得a=0或a=3．
点评：
此题主要考查了方程解的定义，关键是要得到以a为未知数的方程．
16．已知方程5x2+kx﹣6=0有一个根是2，则另一个根是 ﹣
，k= ﹣7 ．
考点：
一元二次方程的解；根与系数的关系．
分析：
首先设方程5x2+kx﹣6=0的另一个根为x1，利用根与系数的关系，即可得2x1=﹣
，x1+2=﹣
，解此方程组即可求得答案．
解答：
解：
设方程5x2+kx﹣6=0的另一个根为x1，
∵方程5x2+kx﹣6=0有一个根是2，
∴2x1=﹣
，
∴x1=﹣
，
∵x1+2=﹣
，
即﹣
+2=﹣
，
解得：
k=﹣7．
故答案为：
﹣
，﹣7．
点评：
此题考查了一元二次方程的解的定义与根与系数的关系．此题难度适中，解此题的关键是注意掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣
，x1x2=
．
三、作图题（6分）
17．如图：
△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90度，工人师傅把它加工成一个正方形零件，使C为正方形的一个顶点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，请你协助工人师傅用尺规画出裁割线．（不写画法，保留作图痕迹）
考点：
作图—应用与设计作图．
专题：
压轴题．
分析：
C为正方形的一个顶点，那么∠C就是正方形的一个内角，正方形的对角线平分一组对角，那么作出∠C的平分线交AB于一点，其余三个顶点分别在AB、BC、AC边上，那么那点就是正方形的另一顶点．根据正方形对角线互相垂直平分和平行线性质、等腰三角形的判定，过M作AC、BC的垂线，就可得到正方形．
解答：
解：
（1）作∠ACB平分线交AB于点M；（2分
（2）作ME⊥AC于点E，MD⊥BC于于D，（3分）
则正方形CDME为所求作的图形．（1分）
点评：
本题主要应用了正方形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角性质得到相应的正方形．
四、解下列一元二次方程（每题5分，共20分）
18．（20分）（2015秋•丽江校级月考）
（1）2x（x﹣3）=x﹣3（分解因式法）
（2）y2+6y+7=0（配方法）
（3）3t2﹣4t﹣5=0（公式法）
（4）（2x+1）2=（x﹣2）2．
考点：
解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法．
分析：
（1）方程整理后，利用因式分解法求出解即可；
（2）方程整理配方后，开方即可求出解；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）方程利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数求出解即可．
解答：
解：
（1）方程整理得：
2x（x﹣3）﹣（x﹣3）=0，
分解因式得：
（x﹣3）（2x﹣1）=0，
解得：
x=3或x=
；
（2）方程整理得：
y2+6y=﹣7，
配方得：
y2+6y+9=2，即（y+3）2=2，
开方得：
y+3=±
，
解得：
y=﹣3+
或y=﹣3﹣
；
（3）这里a=3，b=﹣4，c=﹣5，
∵△=16+60=76，
∴x=
=
；
（4）开方得：
2x+1=x﹣2或2x+1=2﹣x，
解得：
x=﹣3或x=
．
点评：
此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
五．解答题（共52分）
19．若关于y的一元二次方程ky2﹣4y﹣3=3y+4有实根，求k的取值范围．
考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．
分析：
首先把方程化为一般形式ax2+bx+c=0，再根据方程有实根可得△=b2﹣4ac≥0，再代入a、b、c的值再解不等式即可．
解答：
解：
ky2﹣4y﹣3=3y+4，
移项得：
ky2﹣4y﹣3﹣3y﹣4=0，
合并同类项得：
ky2﹣7y﹣7=0，
∵方程有实数根，
∴△≥0且k≠0，
（﹣7）2﹣4k×（﹣7）=49+28k≥0，
解得：
k≥﹣
．
∴k的取值范围为：
k≥﹣
且k≠0．
点评：
此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
20．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，商店想在月销售成本不超过1万元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
考点：
二次函数的应用．
分析：
设每件需涨价的钱数为x元，每天获利y元，则可求出利润y与降价x之间的函数关系式，然后令y=8000，解出x．
解答：
解：
设每件需涨价x元
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