高二数学教案211《合情推理》新人教A版选修12.docx
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高二数学教案211《合情推理》新人教A版选修12
2.1.1 合情推理
(教师用书独具)
●三维目标
1.知识与技能
(1)结合已学过的数学实例,了解归纳推理与类比推理的含义.
(2)能利用归纳和类比的方法进行简单的推理.
(3)体会并认识归纳推理、类比推理在数学发现中的作用.
2.过程与方法
让学生感受数学知识与实际生活的普遍联系,通过让学生积极参与,亲身经历归纳、类比推理定义的获得过程,培养学生归纳推理、类比推理的思想.
3.情感、态度与价值观
通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质,善于发现问题,探求新知识.
●重点难点
重点:
归纳推理与类比推理概念的理解,归纳推理与类比推理思想方法的掌握.
难点:
归纳推理、类比推理的应用.
通过举例分析归纳推理与类比推理的异同,让学生对两个概念有较深刻的理解,突出本节重点,通过例题讲解总结归纳推理与类比推理的应用方法及解题规律,强化训练有关题型,化解难点.
(教师用书独具)
●教学建议
1.关于归纳推理的教学
教学时要从具体的事例出发,让学生参与猜测,引导学生归纳,激发学生学习的兴趣,总结归纳推理的过程,让学生自己去发现归纳推理的应用方法与技巧.通过适量的练习使学生掌握观察、猜测、归纳、论证各环节的规律方法,并能灵活应用.
2.关于类比推理的教学
类比推理的难度要大于归纳推理,教学时应该借助实例帮助学生学会分析类比对象之间的异同点,学会由已知对象的性质、特征联想类比对象的相应性质特征.通过适量练习让学生逐步掌握类比的技巧方法.引导学生总结并掌握常见的类比结论.
●教学流程
创设问题情境,引出问题,猜想数列的项及三角形内角和,引入归纳推理的概念.创设问题情境,引出问题,由三角形的性质,推测空间四面体的性质,从而引出类比推理的概念.创设问题情境,通过归纳推理、类比推理的概念,引出合情推理的概念.引导学生分析例题1,找出图案的个数变化,猜想出排列规律,从而计算出第六个图案的个数.总结方法,完成变式训练.
完成当堂双基达标,巩固所学知识及应用方法.并进行反馈矫正.归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节所学知识,强调重点内容和规律方法.讲解例题3,指出解题误区及如何避免,总结合情推理的应用类型解题方法.引导学生分析例题2,指出相对应的类比元素,三边对四面,高对高推测结论,并给出证明,总结类比方法,引导学生完成互动探究.
课标解读
1.了解合情推理的含义,正确理解归纳推理与类比推理.(重点)
2.能用归纳和类比进行简单的推理.(难点)
3.了解合情推理在数学发现中的作用.
归纳推理
【问题导思】
1.数列{an}中,a1=,a2=,a3=,a4=.你能猜出a5的值吗?
【提示】 a5=.
2.直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°,你能猜想出什么结论?
【提示】 所有三角形内角和都是180°.
定义
特征
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
类比推理
【问题导思】
已知三角形的如下性质:
(1)三角形的两边之和大于第三边;
(2)三角形的面积等于高与底乘积的.
1.试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质.
【提示】
(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.
(2)四面体的体积等于底面积与高乘积的.
2.以上两个推理有什么共同特点?
【提示】 都是根据三角形的特征,类比四面体相关元素得出结论的.
定义
特征
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理
类比推理是由特殊到特殊的推理
合情推理
【问题导思】
1.归纳推理与类比推理有没有共同点?
【提示】 二者都是从具体事实出发,推断猜想新的结论.
2.归纳推理与类比推理得出的结论一定正确吗?
【提示】 不一定正确.
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.
归纳推理
有两种花色的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
图2-1-1
A.26 B.31
C.32D.36
【思路探究】 本题中图形的变化比较简单,可有两种思路:
第一种,直接查个数,找到变化规律后再猜想;第二种,看图形的排列规律,每相邻的两块无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形.
【自主解答】 法一 有菱形纹的正六边形个数如下表:
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.故选B.
法二 由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一块无纹正六边形,只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形),第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6+5×(6-1)=31,故选B.
【答案】 B
1.解答本题时,关键是找出相邻图形间正六边形个数的变化规律.
2.对于图形中的归纳推理问题,可从图形中相关元素(点、直线等)的变化规律入手直接求解,也可将其转化为数列问题进行求解.
(2012·陕西高考)观察下列不等式:
1+<,
1++<,
1+++<,
………
照此规律,第五个不等式为________.
【解析】 观察每行不等式的特点,每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等,且每行右端分数的分子构成等差数列.
∴第五个不等式为1+++++<.
【答案】 1+++++<
类比推理
如图2-1-2所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,可以得到结论++=1.
图2-1-2
证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.
【思路探究】 三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.
【自主解答】 ==,
同理,=,=.
∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,
∴++==1.
类比上述结论得出以下结论:
如图所示,在四面体ABCD中,设ha,hb,hc,hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离,P为该四面体内任意一点,P到相应四个面的距离分别为pa,pb,pc,pd,可以得到结论+++=1.
证明如下:
==,
同理,=,=,=.
∵VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD,
∴+++
==1.
1.类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论.
2.平面图形与空间图形类比如下:
平面图形
点
线
边长
面积
线线角
三角形
空间图形
线
面
面积
体积
二面角
四面体
在本例中,若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A、B、C,那么由a=b·cosC+c·cosB可类比四面体的什么性质?
【解】 在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积,
α,β,γ依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.
猜想S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.
合情推理的综合应用
在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项积,则有,,也成等比数列,且公比为4100;类比上述结论,相应地在公差为3的等差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和.
(1)写出相应的结论,判断该结论是否正确,并加以证明;
(2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明).
【思路探究】 结合已知等比数列的特征可类比等差数列每隔10项和的有关性质.
【自主解答】
(1)数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300.该结论是正确的.
证明如下:
∵等差数列{an}的公差d=3,
∴(S30-S20)-(S20-S10)
=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)
=10d+10d+…+10=100d=300,
同理可得:
(S40-S30)-(S30-S20)=300,
所以数列S20-S10,S30-S20,S40-S30
是等差数列,且公差为300.
(2)对于∀k∈N*,都有
数列S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是等差数列,且公差为k2d.
在等比数列与等差数列的类比中,要注意等差与等比、加与乘、减与除、乘法与乘方的类比特点.
等差数列有如下性质:
若数列{an}是等差数列,则当bn=时,数列{bn}也是等差数列;类比上述性质,相应地,若数列{cn}是正项等比数列,则当dn=________时,数列{dn}也是等比数列.
【解析】 类比等差数列与等比数列的性质:
定义中“差”与“商”,中项中“和”与“积”,可猜测当dn=时,{dn}为等比数列.
【答案】
归纳推理在数阵中的应用
(12分)观察如图所示的“三角数阵”
1…………第1行
2 2…………第2行
3 4 3…………第3行
4 7 7 4…………第4行
5 11 14 11 5…………第5行
…………
记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:
(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________;
(2)依次写出a2、a3、a4、a5;
(3)归纳出an+1与an的关系式.
【思路点拨】 观察数阵,总结规律:
除首末两数外,每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和,得出
(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.
【规范解答】 由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
(1)6,16,25,25,16,6.4分
(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11.8分
(3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,
由此归纳:
an+1=an+n.12分
对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律,问题即可迎刃而解.
1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发展结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向.
2.合情推理的过程概括为:
从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想
1.下列说法正确的是( )
A.由合情推理得出的结论一定是正确的
B.合情推理必须有前提有结论