高中数学典型例题.docx

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高中数学典型例题

点P是函数f（x）＝cosωx（其中ω≠0）的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的

对称轴的距离最小值是π，则函数f（x）的最小正周期是（　　）

A．πB．2πC．3πD．4π

解析：

函数f（x）的对称中心是1ωkπ＋π2，0，对称轴为x＝kπω，∴kπω－1ωkπ＋π2＝

π，k∈Z，即|ω|＝12，∴T＝2π12＝4π，故选D.

答案：

D

2．定义：

|a×b|＝|a|•|b|•sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a•b＝－6，

则|a×b|等于（　　）

A．8B．－8C．8或－8　D．6

解析：

a•b＝|a|•|b|•cosθ⇒cosθ＝a•b|a|•|b|＝－35

∴sinθ＝45，∴|a×b|＝|a|•|b|•sinθ＝2×5×45＝8.

答案：

A

3．函数y＝2sinπ6－2x，x∈[0，π]的增区间是（　　）

A.0，π3B.π12，7π12

C.π3，5π6D.5π6，π

解析：

y＝2sinπ6－2x＝－2sin2x－π6，由2kπ＋π2≤2x－π6≤2kπ＋3π2（k∈Z），解得kπ

＋π3≤x≤kπ＋5π6（k∈Z），故函数y＝2sinπ6－2x，x∈[0，π]的增区间是π3，5π6，故选

C.

答案：

C

4．（2010•全国Ⅱ）为了得到函数y＝sin2x－π3的图象，只需把函数y＝sin2x＋π6的图象

（　　）

A．向左平移π4个长度单位

B．向右平移π4个长度单位

C．向左平移π2个长度单位

D．向右平移π2个长度单位

解析：

y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π12，y＝sin2x－π3＝sin2x－π6，故应向右平移π12

－－π6＝π4个长度单位．

答案：

B

5．（2010•天津）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c若a2－b2＝3bc，

sinC＝23sinB，则A＝（　　）

A．30°B．60°C．120°D．150°

解析：

sinC＝23sinB⇒c＝23b，

a2－b2＝3bc⇒a2－b2－c2＝3bc－c2⇒b2＋c2－a2＝c2－3bc，

∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝c2－3bc2bc＝c22bc－32

＝c2b－32＝232－32＝32，

∴在△ABC中，∠A＝30°.

答案：

A

6．（2009•浙江理）已知a是实数，则函数f（x）＝1＋asinax的图象不可能是（　　）

解析：

图A中函数的最大值小于2，故0

是函数f（x）的图象，图B中，函数的最大值大于2故a应大于1，其周期小于2π，故

B中图象可以是函数f（x）的图象，当a＝0时，f（x）＝1，此时对应C中图象，对于D

可以看出其最大值大于2，其周期应小于2π，而图象中的周期大于2π，故D中图象

不可能为函数f（x）的图象．

答案：

D

二、填空题

7．已知函数f（x）＝2sinx，g（x）＝2sinπ2－x，直线x＝m与f（x），g（x）的图象分别交M、N

两点，则|MN|的最大值为________．

解析：

构造函数＝2sinx－2cosx＝22sinx－π4，故最大值为22.

答案：

22

8．曲线y＝2sinx＋π4cosx－π4与直线y＝12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记

为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于（　　）

A．πB．2πC．3πD．4π

解析：

y＝2sinx＋π4cosx－π4＝2sinx＋π4•cosx＋π4－π2＝2sin2x＋π4＝1－

cos2x＋π2＝1＋sin2x，|P2P4|恰为一个周期的长度π.

答案：

π

10．有下列命题：

①函数y＝4cos2x，x∈－10π，10π不是周期函数；

②函数y＝4cos2x的图象可由y＝4sin2x的图象向右平移π4个单位得到；

③函数y＝4cos（2x＋θ）的图象关于点π6，0对称的一个必要不充分条件是

θ＝k2π＋π6（k∈Z）；

④函数y＝6＋sin2x2－sinx的最小值为210－4.

其中正确命题的序号是________．

解析：

①中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数；因为②中函数y＝

4sin2x的图象向右平移π4个单位得到y＝4sin2x－π4，即y＝－4cos2x的图象，不

是y＝4cos2x的图象；③把点π6，0代入函数y＝4cos（2x＋θ），有4cosπ3＋θ＝0，

则π3＋θ＝kπ＋π2（k∈Z），所以θ＝kπ＋π6（k∈Z），又θ|θ＝k2π＋π6（k∈Z）⊇{θ|θ＝kπ＋π6（k

∈Z）}，所以③正确；④函数y＝6＋sin2x2－sinx＝（2－sinx）2－4（2－sinx）＋102－sinx

＝（2－sinx）＋102－sinx－4，如果它的最小值为210－4，那么（2－sinx）2＝10，而

（2－sinx）2的最大值为11，故不正确．

答案：

①③

三、解答题

11．（2010•天津）已知函数f（x）＝23sinxcosx＋2cos2x－1（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小正周期及在区间0，π2上的最大值和最小值；

（2）若f（x0）＝65，x0∈π4，π2，求cos2x0的值．

解：

（1）由f（x）＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f（x）＝3（2sinxcosx）＋（2cos2x－1）＝3

sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，

所以函数f（x）的最小正周期为π.

因为f（x）＝2sin2x＋π6在区间0，π6上为增函数，在区间π6，π2上为减函数，又f（0）

＝1，fπ6＝2，

fπ2＝－1，所以函数f（x）在区间0，π2上的最大值为2，最小值为－1.

（2）由

（1）可知f（x0）＝2sin2x0＋π6.

又因为f（x0）＝65，所以sin2x0＋π6＝35.由x0∈π4，π2，得2x0＋π6∈2π3，7π6，

从而cos2x0＋π6

＝－1－sin22x0＋π6＝－45.

所以cos2x0＝cos2x0＋π6－π6

＝cos2x0＋π6cosπ6＋sin2x0＋π6sinπ6＝3－4310.

12．（2010•福建）某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇

出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海

里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的

航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方

向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解：

解法一：

（1）设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S＝900t2＋400－2•30t•20•cos（90°－30°）

＝900t2－600t＋400＝900t－132＋300.

故当t＝13时，Smin＝103，

此时v＝10313＝303.

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（2）设小艇与轮船在B处相遇，则

v2t2＝400＋900t2－2•20•30t•cos（90°－30°），故v2＝900－600t＋400t2.

∵0

即2t2－3t≤0，解得t≥23.

又t＝23时，v＝30.

故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

解法二：

（1）若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航

行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．

在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝103，AC＝20sin30°＝10.

又AC＝30t，OC＝vt，

此时，轮船航行时间t＝1030＝13，

v＝10313＝303.

即艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

（2）猜想v＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD＝DO＝30t.

又∠OAD＝60°，所以AD＝DO＝OA＝20，解得t＝23.

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/小时．这样，小艇能以最短时间

与轮船相遇．

证明如下：

如图，由

（1）得OC＝103，AC＝10，故OC>AC.且对于线段AC上任意点P，有

OP≥OC>AC.

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A、C之间（包

含C）的任意位置相遇．

设∠COD＝θ（0°<θ<90°），则在Rt△COD中，CD＝103tanθ，OD＝103cosθ.

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t＝10＋103tanθ30和t＝103vcosθ，

所以，10＋103tanθ30＝103vcosθ.

由此可得，v＝153sin（θ＋30°）.

又v≤30，故sin（θ＋30°）≥32.

从而，30°≤θ≤90°.由于θ＝30°时，tanθ取得最小值，且最小值为33.

于是，当θ＝30°时，t＝10＋103tanθ30取得最小值，且最小值为23.

解法三：

（1）同解法一或解法二．

（2）设小艇与轮船在B处相遇．依据题意得：

v2t2＝400＋900t2－2•20•30t•cos（90°－30°），

（v2－900）t2＋600t－400＝0.

①若0

得v≥153.从而，

t＝－300±20v2－675v2－900，

v∈[153，30]．

（ⅰ）当t＝－300－20v2－675v2－900时，令x＝v2－675，则x∈[0,15），

t＝－300－20xx2－225＝－20x－15≥43，当且仅当x＝0

即v＝153时等号成立．

（ⅱ）当t＝－300＋20v2－675v2－900时，同理可得23

由（ⅰ）（ⅱ）得，当v∈[153，30）时，t>23.

②若v＝30，则t＝23；

综合①、②可知，当v＝30时，t取最小值，且最小值等于23.

此时，在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

13．向量m＝（sinωx＋cosωx，3cosωx）（ω>0），n＝（cosωx－sinωx,2sinωx），函数f（x）

＝m•n＋t，若f（x）图象上相邻两个对称轴间的距离为3π2，且当x∈[0，π]时，函数f（x）

的最小值为0.

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）在△ABC中，若f（C）＝1，且2sin2B＝cosB＋cos（A－C），求sinA的值．

解：

（1）f（x）＝m•m＋t＝cos2ωx－sin2ωx＋23cosωx•sinωx＋t＝cos2ωx＋3sin2ωx＋

t＝2sin（2ωx＋π6）＋t.

依题意f（x）的周期T＝3π，且ω>0，∴T＝2π2ω＝πω＝3π.

∴ω＝13，∴f（x）＝2sin23x＋π6＋t.∵x∈[0，π]，

∴π6≤2x3＋π6≤5π6，

∴12≤sin2x3＋π6≤1，

∴f（x）的最小值为t＋1，即t＋1＝0，∴t＝－1.

∴f（x）＝2sin23x＋π6－1.

（2）∵f（C）＝2sin2C3＋π6－1＝1，

∴sin2C3＋π6＝1.

又∵∠C∈（0，π），∴∠C＝π2.

在Rt△ABC中，

∵A＋B＝π2，2sin2B＝cosB＋cos（A－C），

∴2cos2A＝sinA＋sinA，sin2A＋sinA－1＝0.

解得sinA＝－1±52.

又∵0

∴sinA＝5－12.

1．已知极坐标平面内的点P2，－5π3，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分

别为（　　）

A.2，π3，（1，3）B.2，－π3，（1，－3）

C.2，2π3，（－1，3）D.2，－2π3，（－1，－3）

解析：

点P2，－5π3关于极点的对称点为2，－5π3＋π，

即2，－2π3，且x＝2cos－2π3＝－2cosπ3＝－1，

y＝2sin－2π3＝－2sinπ3＝－3，所以选D.

答案：

D

2．（2009•珠海模拟）圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为（　　）

A.22B.2C．2D．22

解析：

圆ρ＝4cosθ的圆心C（2,0），如图，|OC|＝2，在Rt△COD中，∠ODC＝π2，

∠COD＝π4，∴|CD|＝2.

即圆ρ＝4cosθ的圆心到直线tanθ＝1的距离为2.

答案：

B

3．已知直线l的参数方程为x＝－1－22ty＝2＋22t（t为参数），则直线l的斜率为（　　）

A．1B．－1C.22D．－22

解析：

直线l的参数方程可化为x＝－1＋tcos3π4y＝2＋tsin3π4，故直线的斜率为tan3π4＝

－1.

答案：

B

4．直线3x－4y－9＝0与圆：

x＝2cosθy＝2sinθ，（θ为参数）的位置关系是（　　）

A．相切B．相离

C．直线过圆心D．相交但不过圆心

解析：

圆的普通方程为x2＋y2＝4，∴圆心坐标为（0,0），半径r＝2，点（0,0）到直线3x

－4y－9＝0的距离为d＝|－9|32＋42＝95＜2，∴直线与圆相交，而（0,0）点不在直线上，

故选D.

答案：

D

5．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M3，π3，在直线OM上与点M的距离为4

的点的极坐标为________．

解析：

如图所示，|OM|＝3，∠xOM＝π3，在直线OM上取点P、Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，

∠xOP＝π3，∠xOQ＝4π3，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝

3＋1＝4.

答案：

7，π3或1，4π3

6．已知极坐标系中，极点为O，将点A4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B，且|OA|＝|OB|，

则点B的直角坐标为________．

解析：

依题意，点B的极坐标为4，5π12，

∵cos5π12＝cosπ4＋π6＝cosπ4cosπ6－sinπ4sinπ6

＝22•32－22•12＝6－24，

sin5π12＝sinπ4＋π6＝sinπ4cosπ6＋cosπ4sinπ6

＝22•32＋22•12＝6＋24，

∴x＝ρcosθ＝4×6－24＝6－2，y＝ρsinθ＝6＋2.

∴点B的直角坐标为（6－2，6＋2）．

答案：

（6－2，6＋2）

7．设y＝tx（t为参数），则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________．

解析：

把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0

得x＝4t1＋t2，y＝4t21＋t2，∴参数方程为x＝4t1＋t2y＝4t21＋t2.

答案：

x＝4t1＋t2y＝4t21＋t2

8．点M（x，y）在椭圆x212＋y24＝1上，则点M到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为

________，此时点M的坐标是________．

解析：

椭圆的参数方程为x＝23cosθy＝2sinθ（θ为参数），

则点M（23cosθ，2sinθ）到直线x＋y－4＝0的距离

d＝|23cosθ＋2sinθ－4|2＝|4sinθ＋π3－4|2.

当θ＋π3＝32π时，dmax＝42，此时M（－3，－1）．

答案：

42　（－3，－1）

9．（2010•新课标全国高考）已知直线C1：

x＝1＋tcosα，y＝tsinα，（t为参数），圆C2：

x＝cosθ，y＝sinθ，

（θ为参数）．

（1）当α＝π3时，求C1与C2的交点坐标；

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨

迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

解：

（1）当α＝π3时，C1的普通方程为y＝3（x－1），

C2的普通方程为x2＋y2＝1.

联立方程组y＝3（x－1），x2＋y2＝1，

解得C1与C2的交点为（1,0），12，－32.

（2）C1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.

A点坐标为（sin2α，－cosαsinα），

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

x＝12sin2α，y＝－12sinαcosα，（α为参数）．

P点轨迹的普通方程为x－142＋y2＝116.

故P点轨迹是圆心为14，0，半径为14的圆．

10．在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π6，半径r＝3，

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

解：

（1）设M（ρ，θ）为圆C上任一点，OM的中点为N，

∵O在圆C上，∴△OCM为等腰三角形，

由垂径定理可得|ON|＝|OC|cosθ－π6，

∴|OM|＝2×3cosθ－π6，

即ρ＝6cosθ－π6为所求圆C的极坐标方程．

（2）设点P的极坐标为（ρ，θ），因为P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，所

以点Q的坐标为35ρ，θ，由于点Q在圆上，所以35ρ＝6cosθ－π6.

故点P的轨迹方程为ρ＝10cosθ－π6.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若a＞b＞1，P＝lga•lgb，Q＝12（lga＋lgb），R＝lga＋b2，则

A．R＜P＜Q　　　　　　　　　B．P＜Q＜R

C．Q＜P＜RD．P＜R＜Q

【解析】　取a＝100，b＝10，

此时P＝2，Q＝32＝lg1000，R＝lg55＝lg3025，比较可知P＜Q＜R.

【答案】　B

2．（2010•龙岩模拟）设（3x＋1）25＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a25x25，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|等于

A．225B．－225

C．425D．－425

【解析】　（3x＋1）25＝（1＋3x）25展开式中项的系数都为正，故|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋…－|a25|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a25，所以只须令x＝－1即可．

【答案】　B

3．（2010•泉州模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3,1），B（－1,3），若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为

A．3x＋2y－11＝0B．（x－1）2＋（y－2）2＝5

C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0

【解析】　通过向量的坐标运算把OC→＝αOA→＋βOB→转化为

消去α得x＋2y－5＝0.

【答案】　D

4．如图，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积（见图中阴影部分）为y，则函数y＝f（t）的大致图象为

C.D.

【解析】　当t＝1时，面积为32，故排除A、B，当t＞1时，随t增大，面积增大越来越慢．

【答案】　D

5．（2010•芜湖质检）4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是

A．2枝牡丹花贵B．3枝月季花贵

C．相同D．不确定

【解析】　由已知设牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，则

作出可行域和目标函数t＝2x－3y，可求得2x－3y＞0，故选A.

体现了实际问题与数学理论的转化．

【答案】　A

6．（2010•聊城模拟）设x∈R，如果a＜lg（|x－3|＋|x＋7|）恒成立，那么

A．a≥1B．a＞1

C．0＜a≤1D．a＜1

【解析】　要使不等式恒成立，只须求lg（|x－3|＋|x＋7|）的最小值．

∵y＝lg（|x－3|＋|x＋7|）为增函数，且|x－3|＋|x＋7|的最小值为10，

∴ymin＝lg10＝1，∴a小于y的最小值．

【答案】　D

7．如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么（1－xy）（1＋xy）有

A．最小值12和最大值1B．最小值34而无最大值

C．最大值1而无最小值D．最大值1和最小值34

【解析】　∵（1－xy）（1＋xy）＝1－x2y2，

∴当x＝0或y＝0时，有最大值1，而x2＋y2≥2xy，

∴x2y2≤14，∴当x2＝y2＝12时，1－x2y2取得最小值34.

【答案】　D

8．（2010•三明模拟）已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为

A.14，－1B.14，1

C．（1,2）D．（1，－2）

【解析】　依题意，抛物线的焦点F的坐标为（1,0），

设P到准线的距离为d，则由抛物线的定义知：

|PF|＋|PQ|＝d＋|PQ|.

如图，当PQ∥x轴时，|PF|＋|PQ|最小，此时P14，－1，故选A.

【答案】　A

9．不等式x2－logax＜0当x∈0，12时恒成立，则a的取值范围是

A.116≤a＜1B.116＜a＜1

C．0＜a≤116D．0＜a＜116

【解析】　构造函数y＝x2与y＝logax，x2－logax＜0，

当x∈0，12时恒成立，

即当x∈0，12时，y＝x2的图象在y＝logax图象的下方，

所以首先a＜1.

当a＜1时，如图，当x＝12时，y＝14即14＝loga12，

∴a＝116，当y＝logax图象绕点（1,0）顺时针旋转时a增大，∴116≤a＜1.

【答案】　A

10．（2010•杭州模拟）若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有

A．x＋y≥0B．x＋y≤0

C．x－y≤0D．x－y≥0

【解析】　把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.

【答案】　B

11．（2010•信阳模拟）已知函数f（x）＝13x，等比数列{an}的前n项和为f（n）－c，则an的最小值为

A．－1B．1

C.23D．－23

【解析】　a1＝f

（1）－c＝13－c，a2＝[f

（2）－c]－[f

（1）－c]＝－29，

a3＝[f（3）－c]－[f

（2）－c]＝－227.又数列{an}成等比数列，

所以a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，

所以c＝1；

又公比q＝a2a1＝13，

所以an＝－2313n－1＝－213n，n∈N*，

因此，数列{an}是递增数列，n＝1时，an最小，为－23，选D.

【答案】　D

12．（2010•福建质检）已知函数f（x）＝1－1－x2，x∈[0,1]，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1，x2，给出下列结论：

①（x2－x1）[f（x2）－f（x1）]＜0；

②f（x2）－f（x1）＞x2－x1；

③f（x1）＋f（x2）2＞fx1＋x22.

其中正确结论的序号是

A．①B．②

C．③D．①③

【解析】　函数f（x）＝1－1－x2，x∈[0,1]的图象